طرق الاستكمال

• الاستكمال الرياضي له العديد من الطرق، منها
• الاستكمال بطريقة لاجرانج (Lagrangian Interpolation).
• الاستكمال بطريقة لاجرانج على الفترات المتساوية (Lagrangian Interpolation at equal intervals).
• الاستكمال بالفروق المنتهية (Finite Differences Formulas).
• الاستكمال بطريقة نيوتن الأمامية والخلفية (Newton’s Forward/Backward Formulas) .
• الاستكمال بطريقة جاوس الأمامية والخلفية (Gauss Forward/Backward Formulas).
• الاستكمال بطريقة سترلينغ (Stirling’s Formula).
• الاستكمال بطريقة بيزييل (Bessel’s Formula).

ونظرًا لأهمية طرق الاستكمال باستخدام الفروق في الكثير من المسائل والتطبيقات الحسابية، خصصنا هذا الموضوع لمناقشة إحدى أهم هذه الطرق، ألا وهي الاستكمال بفروق نيوتن الأمامية والخلفية.

تقديم رياضي للاستكمال

نفترض أن لدينا دالة (رياضيات) دالة f(x) معرفة وقابلة للاشتقاق ، لها قيم معينة عند مجموعة محددة من النقاط، حيث أن هذه المجموعة من النقاط تسمى بالنقاط المجدولة (tabular points) التي يتم الاعتماد عليها كثيرًا أثناء الاستكمال. الآن الهدف من الاستكمال يكمن في الحصول على قيمة تقريبة للدالة عند واحدة أو أكثر من النقاط الأخرى الغير مدرجة في الجدول، بحيث أن هذا التقريب سيحد من الخطأ الناتج بين القيمة الفعلية والصحيحة للدالة عند النقطة والقيمة التقريبية لها بعد الاستكمال. وصلتنا الرياضية التالية هي الحصول على تقريب دالة (رياضيات) للدالة f(x) من خلال اعتبار أن النقاط و القيم المجدولة المعطاة تمثل الدالة y(x) التي تعطي قيمًا متساوية مع قيم دالة (رياضيات) الدالة f(x) ( وكذلك بالنسبة لقيم مشتق (رياضيات) مشتقتها إن وجدت ).

الدالة المستكملة تُعطى بالعلاقة

(1) f(x) sum_ j 1 ^n l_j(x)f(a_j)+E(x) y(x) + E(x)

والعلاقة العامة أكثر للاستكمال هي

(2) f(x) sum_ j 1 ^nsum_ i 0 ^ m_j A_ ij (x)f^ (i) (a_j)+E(x)
الهدف هو تحديد l_j(x) بحيث أن
(3) E(a_j) 0,qquad j 1, …,n
تكون مستقلة عن دالة (رياضيات) الدالة f(x) . و بصورة عامة، لأي نقطة غير مجدولة E(x)
e 0 نحن نسعى بطرق الاستكمال إلى تحديد l_j(x) بحيث أن (3) تتحقق، ولإيجاد تمثيل لـ E(x) بحيث يمكننا تقدير الخطأ أو على الأقل حده للقيم x
e a_j, j 1, …,n

الاستكمال بطريقة نيوتن

صيغة نيوتن الأمامية

تُعطى صيغة نيوتن الأمامية بالعلاقة التالية

(4) y(m) f_o + (m)_1 riangle f_o + (m)_2 riangle^2 f_o +…+ (m)_n riangle^n f_o sum_ j 0 ^n (m)_j riangle^j f_o
حيث أن هذه الصيغة تم توليدها كغيرها من الصيغ باستخدام ما يعرف بمخطط لوزيينغ (The lozenge diagram)،حيث عمليات التوليد هذه من المخطط تؤكد أن أي صيغة للفروق تحوي n من الحدود،هي مكافئة جبريًا لصيغة لاجرانج على الفترات المتساوية. وسنقدم برهانًا يوضح كيف أن صيغة نيوتن الأمامية تحقق هذه النتيجة.

كما أن برهان النتيجة السابقة يتطلب توضيح أن

1. على الأقل واحدة من صيغ الفروق المنتهية للاستكمال لها هذه الخاصية، وسنعنى بإثبات تحقق ذلك على صيغة نيوتن الأمامية في الفقرة التالية.
2. جميع الصيغ التي تنتهي بنفس الفروق تكون متكافئة جبريًا، بغض النظر عن المسارات التي تم المرور عليه اأثناء العمل على مخطط لوزيينغ.

البــرهان

نريد أن نثبت أن العلاقة (4) تكافئ جبريًا صيغة لاجرانج الاستكمالية على الفترات المتساوية للنقاط a_o, a_1, …, a_n .

من كون (m)_n كثيرة حدود من الدرجة n في m، فيكفي إثبات أن y(i) في العلاقة (4) تساوي f_i ,i 0, …,n
ومن ثم فإن y(m) ستكون كثيرة حدود وحيدة من الدرجة n، والمارة بال n+1 نقطة للدالة f_i .

باستخدام (4) والعلاقة riangle^i f(x) sum_ k 1 ^j (-1)^ j-k j choose K f(x+kh)

نجد أن

y(i) sum_ j 0 ^n (i)_j riangle^j f_o sum_ j 0 ^nsum_ k 0 ^j (-1)^ j-k (i)_j j choose k f_k
(5) sum_ k 0 ^nsum_ j k ^n (-1)^ j-k (i)_j j choose k f_k quad i 0, …,n

عوامل f_r في y(i) تُعطى بالعلاقة

(6) sum_ j r ^i (-1)^ j-r (i)_j j choose r

لكل r>i فإن هذا المعامل مساوي للصفر؛ من كون (i)_j 0 عندما i

اكتشف طريقة الاستكمال العالم الهندي القديم آرياباتا حينما كان يقيس أطوال الأقواس المناظرة للزوايا في الدائرة حيث وصل الي الاستكمال من الدرجه الثانية .

ويعتبر الاستكمال الرياضي الموضوع الأبرز في التحليل العددي ، إذ يشكل قلب ونواة التحليل العددي الكلاسيكي. وذلك لسبيبن رئيسيين، السبب الأول يعود لحاجتنا المستمرة في البحث عن قيمة لدالة من بيانات مجدولة أثناء معظم المسائل الحسابية، أما في تلك المسائل والنقاشات الغير مجدولة فلكي نجد قيمة للدالة عند واحدة أو أكثر من النقاط الغير مدرجة في جدول البيانات ،فلابد لنا من أن نستكمل تلك الدالة ونستخدم طرق الاستكمال. والأكثر من ذلك أن الحاجة للاستكمال تكمن في كون أن البيانات المجدولة التي تُعطى إلينا في معظم المسائل تكون لها من الدقة العالية الشيء الكثير، حتى وإن كانت بيانات محدودة. لذلك قدم التحليل العددي الكلاسيكي مجموعة متطورة جدا من الطرق المختلفة للاستكمال الرياضي. أما بالنسبة للسبب الثاني لأهمية الاستكمال الرياضي فيعود لكون أن معظم الطرق العددية الكلاسيكية في شتى القطاعات قد تم استناتجها واشتقاقها من طرق الاستكمال(Interpolation Formulas])، فتلك الطرق العددية المستخدمة في مشتق (رياضيات) الاشتقاقات ، التكامل تكاملات معادلة تفاضلية عادية المعادلات التفاضلية العادية]، المعادلات التربيعية، وغيرها من قطاعات التحليل العددي الكلاسيكي قد طُورت واشتُـقّـت مباشرةً انطلاقًا من طرق الاستكمال الرياضي. بالرغم من أن الطرق المستخدمة في التحليل العددي الحديث لا تعتمد ذاك الاعتماد الكبير على طرق الاستكمال؛ لوجود طرق أخرى اشتُقت منها إلا أن هذا لا يتعارض مع الدور الكبير والفائدة الجمة للاستكمال وطرق الاستكمال.