استنتاج القاعدة

يمكن استنتاج قاعدة سمبسون بطرق مختلفة.

الاستكمال التربيعي

ولكي نحصل على صيغة سمبسون لابد بالتعويض في الصيغة الإستكمالية



P_2(x) c_circ+c_1x +c_2x^2

int_a^bf(x)dx int_ x_circ ^ x_2 [frac (x-x_1)(x-x_2) (x_circ-x_1)(x_circ-x_2) f(x_circ)+frac (x-x_circ)(x-x_2) (x_1-x_circ)(x_1-x_2) f(x_1)+frac (x-x_circ)(x-x_1) (x_2-x_circ)(x_2-x_1) f(x_2)]dx + int_ x_circ ^ x_2 frac (x-x_circ)(x-x_1)(x-x_2) 6 f^ (3) (xi(x))dx

f(x) f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)+frac f< >(x_1) 2 (x-x_1)^2+frac f(x_1) 6 (x-x_1)^3+frac f^ (4) (xi(x) 24 (x-x_1)^4





and



int_ x_circ ^ x_2 f(x)dx - [f(x_1)(x-x_1)+frac f'(x_1) 2 (x-x_1)^2+frac f(x_1) 6 (x-x_1)^3+frac f(xi(x) 24 (x-x_1)^4
ight]_ x_circ ^ x_2 + frac 1 24 int_ x_circ ^ x_2 f^ (4) (xi(x))(x-x_1)^ 4 dx





frac 1 24 int_ x_circ ^ x_2 f^ (4) (xi(x))(x-x_1)^ 4 dx frac f^ (4) (xi_1) 24 int_ x_circ ^ x_2 (x-x_1)^4dx [frac f^ (4) (xi_1) 120 (x-x_1)^5
ight]_ x_circ ^ x_2

لبعض قيم xi_1 في (x_circ,x_1)

أيضا



h x_2 - x_1 x_1-x_circ

بالتالي



(x_2-x_1)^2-(x_circ-x_1)^2 (x_2-x_1)^4-(x_circ-x_1)^4 0

(x_2-x_1)^3-(x_circ-x_1)^3 2h and (x_2-x_1)^5-(x_circ-x_1)^5 2h^5

int_ x_circ ^ x_2 f(x)dx 2hf(x_1)+frac h^3 3 f< >(x_1)+frac f^ (4) (xi_1) 60 h^5





وبتعويض قيمة f(x_1) يصبح لدينا





int_ x_circ ^ x_2 f(x)dx 2hf(x_1)+frac h^3 3 frac 1 h^2 [f(x_circ)-2f(x_1)+f(x_2)]-frac h^2 12 f^ (4) (xi_2)
ight +frac f^ (4) (xi_1) 60 h^5

اذاً



int_ x_circ ^ x_2 f(x)dx frac h 3 [f(x_circ)+4f(x_1)+f(x_2)]-frac h^5 12 [frac 1 3 f^ (4) (xi_2)-frac 1 5 f^ (4) (xi_1)
ight]

أخذ متوسط قاعدتا نقطة المنتصف و شبه المنحرف

المعاملات الغير محددة

قاعدة سمبسون البسيطة

صيغة سمبسون البسيطة


الفكرة التي قامت عليها صيغة سمبسون البسيطة



تقوم على أساس تقريب مساحة المساحة المطلوبة تحت منحنى الدالة f(x) بالمساحة تحت منحنى حدودية من الدرجة الثانية P_2(x) تمر بالنقاط الثلاث

(x_circ,f(x_circ),(x_1,f(x_1),(x_2,f(x_2)

frac h 3 [f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)] , int_ x_0 ^ x_2 f(x), dx

بحيث تكون المساحة محصورة بين الخطين

a x_circ , b x_2

مثال على سمبسون البسيطة

استخدام قاعدة سمبسون البسيطةلإيجاد قيمة التكامل , int_ 0 ^ 2 x^2, dx

الحل



, int_ x_0 ^ x_2 f(x), dx

frac h 3 [f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]

x_0 0

x_1 1

x_2 2

h x_1 - x_0 1-0 1

o , int_ 0 ^ 2 x^2, dx frac 1 3 [f(0)+4f(1)+f(2)]

frac 1 3 [(0)^2+4(1)^2+(2)^2]

frac 1 3 [8] frac 8 3

قاعدة سمبسون المركبة

قد لا يكون استخدام صيغ نيوتن-كوتس عمليا في الكثير من الحالات خصوصا اذا كانت فترة التكامل كبيرة نسبيا ؛ حيث أننا نضطر ففي مثل هذه الحالات إلى استخدام متعددة الحدود كثيرات حدود ذات درجات عالية من الذبذبة وهذا بدوره يترك أثر سيئا على دقة الحلول العددية , وللتغلب على هذه المشكلة و تقليل الخطأ الناتج عن تطبيق صيغة تكامل ذات رتبة منخفضة أي قيمة n صغيرة فإننا نقسم فترة التكامل [a,b] إلى فترات أصغر و نطبق صيغة التكامل على كل فترة جزئية على حدة . والصيغة الناتجة من التطبيق المتكرر لصيغة ذات رتبة منخفضة تسمى صيغة تكامل مركبة . وفيما يلي نحصل على الصيغة المركبة الناتجة من التطبيق المتكرر لصيغة سمبسون البسيطة عندما (n 2) . ولكن من شروط قاعدة سمبسون ان تكون n عدد زوجي


وكي نكرر تطبيق قاعدة سمبسون عدد r من المرات نحتاج معرفة قيم الدالة عند عدد 2r+1 من نقاط الأساس x_0,x_1,x_2.....x_2r
كتاب الطرق العددية والتحليل العددي - أ.د. أبو بكر أحمد السيد، جامعة الكويت ISBN9789957171353

وتكون قاعدة سمبسون المركبة كالتالي

int_a^b f(x) , dxapprox frac h 3 igg[f(x_0)+2sum_ j 1 ^ n/2-1 f(x_ 2j )+

4sum_ j 1 ^ n/2 f(x_ 2j-1 )+f(x_n)


igg]

مثال على قاعدة سمبسون المركبة

int_ -0.5 ^ 0.5 xln(x+1)dx,

n 6

الحل بستخدام قاعدة سمبسون المركبة



x_0 -0.5

x_1 -0.333

x_2 -0.166

x_3 0

x_4 0.166

x_5 0.333

x_6 0.5

h frac 0.5 -(-0.5) 6 frac 1 6

int_ -0.5 ^ 0.5 xln(x+1)dx, frac frac 1 6 3 [f(-0.5)+4f(-0.333)+2f(-0.166)+4f(0)+2f(0.166)+4f(0.333)+f(0.5)]

f(-0.5) (-0.5)ln(-0.5+1) 0.346

f(-0.333) (-0.333)ln(-0.333+1) 0.134

f(-0.166) (-0.166)ln(-0.166+1) 0.030

f(0) (0)ln(0+1) 0

f(0.166) (0.166)ln(0.166+1) 0.025

f(0.333) (0.333)ln(0.333+1) 0.095

f(0.5) (0.5)ln(0.5+1) 0.202

int_ -0.5 ^ 0.5 xln(x+1)dx,

frac 1 18 [0.346+0.536+0.06+0+0.05+0.38+0.202]

frac 1.574 18 0.0874

الخطأ

وفي بعض التكاملات على الفترات الكبيرة كان الحل بصيغة سمبسون يحتوي نسبة خطأ أكبر من لو قام بتقسيم الفترة



نلاحظ أن الخطأ يقل بعد تقسيم الفترة ومن هذا المنطلق نتجت صيغة سمبسون المركبة و لها العديد من الصيغ



int_a^bf(x)dx frac h 3 [ f(x_circ)+2sum_ j 1 ^ (frac n 2 )-1 f(x_ 2_j )+4sum_ j 1 ^ frac n 2 f(x_ 2_ j-1 )+f(x_n)
ight]-frac h^5 90 sum_ j 1 ^ frac n 2 f^ (4) (xi_j)

h frac b-a n

والخطأ مرتبط بالتقريب



E(f) -frac h^5 90 sum_ j 1 ^ frac n 2 f^ (4) (xi_j)


حسب نظرية القيمة المتوسطة يوجدmuin(a,b) بحيث

f^ (4) (mu) frac n 2 sum_ j 1 ^ frac n 2 f^ (4) (xi_j)

بالتالي



E(f) -frac h^5 90 sum_ j 1 ^ frac n 2 f^ (4) (xi_j) -frac h^5 180 nf^ (4) (mu)

وبما أن



h frac b-a n

و أيضاً



E(f) -frac b-a 180 h^4nf^ (4) (mu)

انظر ايضًا

• قاعدة شبه المنحرف


• روجر كوتس


• إسحاق نيوتن


• تكامل عددي التكامل العددي


• تحليل عددي التحليل العددي

قاعدة سمبسون إنج Simpson's rule في تحليل عددي التحليل العددي هي طريقة من طرق تكامل عددي التكامل العددي و هي في الحقيقة حالة خاصة من صيغ نيوتن-كوتس المغلقة لتقريب تكامل الدالة f باستخدام متعددة الحدود كثيرة الحدود التربيعية وهي طريقة محسنة لطريقة شبه المنحرف كما أنها أسرع تقارباً و أدق ويفسر ذلك من خلال أن قاعدة سمبسون تحتوي على نقطة المنتصف التي توفر توازن أفضل للتقريب. لأنه كلما زادت عدد التقسيمات في الفترة الجزئية كانت الطريقة أدق.




و تحسب صيغة قاعدة شبه المنحرف شبه المنحرف القيمة الفعلية للتكامل عندما تكون f دالة كثيرة حدود من الدرجة الأولى على الأكثر . بينما صيغة سمبسون فإنها تحسب القيمة الفعلية للتكامل إذا كانت f دالة متعددة الحدود كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة أو أقل.“Numerical Analysis”, Richard L. Burden & J. Douglas Faires, Brooks/Cole, Cengage Learning,( ) ISBN 0-534-38216-9

في الواقع تعتبر صيغة سمبسون من أكثر الصيغ استخداما حيث انها تستخدم على نطاق واسع لحل المسائل التطبيقية التي تتضمن تكاملات محدودة لدقتها الحسابية وسهولة استخدامها.



Image simpsons method illustration.svg right يمكن أن تستمد قاعدة سمبسون بتقريب المساحة المطلوبة تحت المنحنى الدالة f باللون الأزرق بالمساحة تحت منحنى حدودية من الدرجة الثانية لP باللون الأحمر