تم النشر اليوم 2024/06/06 | تحليل القوس التكعيبي

طريقة تحليل القوس التكعيبي

يتكوّن القوس التكعيبي من حدين أو أكثر وهو مرفوع للقوة 3، ويكون عادة على الصيغة الآتية: (أ±ب)3، ويعني تحليل القوس التكعيبي أو فك القوس التكعيبي ضرب كثير الحدود بنفسه ثلاث مرات كما يأتي: (أ±ب)3= (أ±ب)×(أ±ب)×(أ±ب)، وذلك باتباع الخطوات الآتية:

ضرب أول قوسين ببعضهما البعض وفق خاصية التوزيع:
(أ+ب)×(أ+ب) = (مربع الحد الأول + 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ+ب)×(أ+ب) = أ2+2×أ×ب+ب2.
(أ-ب)×(أ-ب) = (مربع الحد الأول – 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ-ب)×(أ-ب) = أ2-2×أ×ب+ب2.
ضرب ناتج التحليل السابق بـ (أ+ب) مرة أخرى لينتج أن: (أ+ب) × (أ2+2×أ×ب + ب2)= أ3+3×أ2×ب + 3×أ×ب2 + ب3.
بناء على ما سبق تكون القاعدة كما يلي:
(أ+ب)3 = (مكعب الحد الأول) + (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3×الحد الأول×مربع الحد الثاني) + (مكعب الحد الثاني) = أ³+(3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) + ب³.
(أ-ب)3 = (مكعب الحد الأول) – (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3× الحد الأول×مربع الحد الثاني) – (مكعب الحد الثاني) = أ³ – (3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) – ب³.

الفرق بين القوس التكعيبي والفرق بين مكعبين

يختلف تحليل الفرق بين مكعبين (أ3- ب3)، أو تحليل مجموع المكعبين، عن تحليل القوس التكعيبي (أ±ب)3؛ حيث يكون تحليل القوس التكعيبي كما ذُكر سابقاً، أما تحليل الفرق بين مكعبين، ومجموع المكعبين فيكون باتباع القواعد الآتية:

فتح قوسين: في الأول يتم وضع الجذر التكعيبي للحد الأول مطروحاً منه الجذر التكعيبي للحد الثاني (أ-ب).
وضع مربع الحد الأول في القوس الثاني ثم الحد الأول مضروباً بالحد الثاني، ثم مربع الحد الثاني: (أ2 + أ×ب + ب2): حيث تكون إشارة الحد الأوسط دائماً عكس إشارة (ب)، أما إشارة الحد الأخير فدائماً موجبة، لتكون النتيجة في النهاية كما يلي:
(أ3- ب3) = (أ-ب)(أ2 + أ×ب + ب2).
(أ3+ب3) = (أ+ب)(أ2 – أ×ب + ب2).

مثال: حلّل ما يلي: (س3-8). تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (س-2)(س2+2س+4).

مثال: حلّل ما يلي: 27ص³+س³. تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (3ص+س)(9ص2-3س ص+س²).

أمثلة على تحليل القوس التكعيبي

وفيما يأتي بعض الأمثلة على تحليل القوس التكعيبي:

المثال الأول: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (س+1)3. الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: س3+3س2+ 3س+1

المثال الثاني: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (أ-2ب)3. الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: أ3-6أ2ب +12أ×ب2-8ب3.

المثال الثالث: اكتب ما يلي بأبسط صورة: (س+ص)³ + (س-ص)³. الحل:
بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس الأول والثاني كالآتي:
(س+ص)³ = س³ + (3×س²×ص) + (3×س×ص²) + ص³.
(س-ص)³ = س³- (3×س²×ص) + (3×س×ص²) – ص³.
(س+ص)³ + (س-ص)³ = س³ + (3×س²×ص) + (3×س×ص²) + ص³ + س³- (3×س²×ص) + (3×س×ص²) – ص³ = 2س³ + 6×س×ص².

المثال الرابع: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س+1)³. الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
(2س+1)³ = 8س³ + 12س² + 6س+ 1.

المثال الخامس: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س-3ص)³. الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
(2س-3ص)³ = 8س³ – 36س²ص+ 54س ص² – 27ص³.