تم النشر اليوم 2024/05/12 | دالة الكثافة الاحتمالية

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي {displaystyle X} دالة كثافة احتمالية f (
) {displaystyle fleft(Xright)} ، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق: P [ a
≤
≤
b ] = ∫ a
b
f (
x
) d
x
{displaystyle Pleft[aleq Xleq bright]=int _{a}^{b}fleft(xright)dx}
أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير {displaystyle X} قيمًا في الفترة
[ a
,
b ] {displaystyle left[a,bright]} مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت F
F هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير {displaystyle X} ، يتحقق: ,
F (
x
) = ∫ −
∞
x
f (
u
) d
u
{displaystyle ,Fleft(xright)=int _{-infty }^{x}fleft(uright)du}
وكذلك، فإنّ: f (
x
) =
d d
x F (
x
) {displaystyle fleft(xright)={frac {d}{dx}}Fleft(xright)}
من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة f (
x
) {displaystyle fleft(xright)} ، عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي
[ x
,
x
+
d
x ] {displaystyle left[x,x+dxright]} هو f (
x
) d
x
{displaystyle fleft(xright)dx} .

دوال كثافة احتمالية مهمة

التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغيّر العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة
[ a
,
b ] {displaystyle left[a,bright]} إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة
[ a
,
b ] {displaystyle left[a,bright]} مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة
[ a
,
b ] {displaystyle left[a,bright]} ، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة
[ a
,
b ] {displaystyle left[a,bright]} ، أي:
f (
x
) =
{ 1 b
−
a
a
≤
x
≤
b
0
x

b
{displaystyle fleft(xright)={begin{cases}{frac {1}{b-a}}quad aleq xleq b\0quad quad xbend{cases}}}
بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:
f (
x
) =
1 2
π
e − x 2
2
{displaystyle fleft(xright)={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{frac {x^{2}}{2}}}}
هذا في حالة كون المتغيّر عشوائي تابعا لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقعة مساوية لـ- μ
mu والتباين مساويًا لـ-
σ 2
{displaystyle sigma ^{2}} تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:
f (
x
) =
1 2
π σ 2
e −
( x
−
μ )
2 2 σ 2 {displaystyle fleft(xright)={frac {1}{sqrt {2pi sigma ^{2}}}}e^{-{frac {left(x-mu right)^{2}}{2sigma ^{2}}}}}