تم النشر اليوم 2024/06/06 | قيم خاصة لدالة زيتا لريمان

دالة زيتا لريمان عند الصفر وعند الواحد

عند الصفر، يتوفر ما يلي
ζ
(
0
)
=
B 1
− =
−
B 1
+ =
− 1
2
{displaystyle zeta (0)={B_{1}^{-}}=-{B_{1}^{+}}=-{tfrac {1}{2}}!} عند الواحد تملك الدالة زيتا قُطبا. إذن، ζ(1) هو عدد غير منته ولكن النهايتان من جهتي اليمين واليسار تساويان ما يلي: lim ε
→ 0 ±
ζ
(
1
+
ε
)
=
±
∞
{displaystyle lim _{varepsilon to 0^{pm }}zeta (1+varepsilon )=pm infty }
بما أن الواحد قطب من الدرجة الأولى، فإن له باقيا عقديا lim ε
→
0
ε
ζ
(
1
+
ε
)
=
1 .
{displaystyle lim _{varepsilon to 0}varepsilon zeta (1+varepsilon )=1,.}

الأعداد الصحيحة الموجبة

الأعداد الصحيحة الموجبة الزوجية
انظر إلى عدد برنولي. ζ
(
2
n
)
=
(
−
1 ) n
+
1 (
2
π ) 2
n B 2
n
2
(
2
n
)
!
{displaystyle zeta (2n)=(-1)^{n+1}{frac {(2pi )^{2n}B_{2n}}{2(2n)!}}!} الأعداد الصحيحة الموجبة الفردية
المتسلسلة المتناسقة تتباعد كما يظهر في المعادلة التالية:
ζ
(
1
)
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
=
∞ {displaystyle zeta (1)=1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+cdots =infty !} تُعرف ζ(3) باسم ثابتة أبيري. تظهر هذه الثابتة في قانون بلانك.
بعضٌ من قيم دالة زيتا لريمان مطبقةً على أعداد طبيعية فردية
القيمة الكتابة العشرية المصدر
ζ
(
3
)
{displaystyle zeta (3)} 1.2020569031595942853…  A02117
ζ
(
5
)
{displaystyle zeta (5)} 1.0369277551433699263…  A013663
ζ
(
7
)
{displaystyle zeta (7)} 1.0083492773819228268…  A013665
ζ
(
9
)
{displaystyle zeta (9)} 1.0020083928260822144…  A013667
ζ
(
11
)
{displaystyle zeta (11)} 1.0004941886041194645…  A013669
ζ
(
13
)
{displaystyle zeta (13)} 1.0001227133475784891…  A013671
ζ
(
15
)
{displaystyle zeta (15)} 1.0000305882363070204…  A013673 يُعلم من خلال مبرهنة أبيري أن ثابتة أبيري هي عدد غير جذري.

شرح مبسط

في الرياضيات، دالة زيتا لريمان هي دالة في التحليل العقدي، مهمة أيضا في نظرية الأعداد. عادة ما يرمز إليها بالرمز ζ(s). سُميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان. عندما يكون المدخل s عددا حقيقيا أكبر قطعا من الواحد، تحقق دالة زيتا لريمان المعادلة التالية: