تم النشر اليوم 2024/05/15 | نهاية (رياضيات)

نهاية دالة

المقالة الرئيسة: نهاية دالة
تعريف: نقول ان لدالة f
(
x
)
{displaystyle f(x)} نهاية تساوي L
L لما يؤول x
x إلى a
a ، إذا استطعنا جعل قيم f
(
x
)
{displaystyle f(x)} تقترب بشكل تعسفي من قيم L
L وذلك بأخذ قيم x
x لتكون قريبة من قيم a
a بشكل كافي دون أن يتساويا. ونكتب هذا على الشكل:
lim x
→
a
f
(
x
)
=
L
{displaystyle lim _{xto a}f(x)=L} . ويجدر الذكر هنا أن المساوة في الشكل اعلاه غير حقيقة وتكتب اصطلاحا فقط لسهولتها والاًصل هو:
lim x
→
a
f
(
x
)
→
L
{displaystyle lim _{xto a}f(x)rightarrow L} في عام 1821م قدم العالم أوغستين لوي كوشي متبوعا كارل ويرستراس تعريفا رسميا وأكثر دقة لنهاية وهو ما يعرف الآن بتعريف ϵ
−
σ
{displaystyle epsilon -sigma } لنهاية.

نهاية متتالية

المقالة الرئيسة: نهاية متتالية
نقول أن المتتالية
u n
{displaystyle u_{n}} العددية تقبل العدد الحقيقي L
L كنهاية إذا وفقط إذا كان كل مجال مفتوح يشمل L
L يشمل أيضا كل حدود المتتالية ابتداء من رتبة معينة ونكتب:
lim n
→
+
∞ u n
=
L
{displaystyle lim _{nto +infty }u_{n}=L} أو نكتب: lim u n
=
L
{displaystyle lim u_{n}=L} (حيث أن النهاية لا تحسب إلا عند +
∞
{displaystyle +infty } ). ويتلخص مفهوم النهاية في أنه طريقة لإيجاد القيمة التي يجب أن يأخذها متغير تابع عندما يؤول المتغير المستقل إلى قيمة معينة، وذلك حتى عندما يتعذر حساب المتغير التابع مباشرة من قواعد الحساب والجبر. كمثال: ما القيمة التي يصل إليها المقدار sin
⁡
(
x
) / x
{displaystyle sin(x)/x} عندما تؤول x
x إلى الصفر؟ من الواضح أن التعويض المباشر في هذه الصيغة يعطي خارج قسمة صفر على صفر، وهي كمية غير معينة، لذلك نلاحظ أن المقدار sin
⁡
(
x
) / x
{displaystyle sin(x)/x} أقل من الواحد الصحيح وأكبر من cos
⁡
x
{displaystyle cos x} لأي قيمة للمتغير x
x قريبة من الصفر، وحيث أن cos
⁡
(
0
)
=
1
{displaystyle cos(0)=1} فإننا نستنتج أن نهاية المقدار sin
⁡
(
x
) / x
{displaystyle sin(x)/x} هي الواحد. مثال آخر: فإذا افترضنا أن المتغير المستقل س معرف على المجال المفتوح ]+1,+2[ واقتربت س من منتصف المجال +1.5 دون أن تصل لها، ورافق ذلك أن الدالة تا (س)= س – 1.5 تقترب نتيجة ذلك من القيمة ولنقل (0) فهذا يعني أن نهاية التابع تا (س) هي 0 عندما تقترب س من القيمة +1.5. إذا افترضنا أن الدالة f
f معرفة على المجال المفتوح الذي يحتوي العدد c
c وكان L
L من مجموعة الأعداد الحقيقية: وكان من أجل أي عدد ε
>
0
{displaystyle varepsilon >0} يوجد عدد
δ
>
0
{displaystyle delta >0} بحيث يتحقق الشرط: مهما كانت x
{displaystyle x} ضمن المجال فإن: 0
< | x
−
c | <
δ

{displaystyle 0<|x-c|<delta } فإن هذا يقتضي أن
| f
(
x
)
−
L | <
ε

{displaystyle |f(x)-L|<varepsilon } . لنفترض أن الدالة (f(x هي دالة حقيقية وأن c عدد حقيقي أيضا: عندئذ نقول:
lim x
→
c
f
(
x
)
=
L
{displaystyle lim _{xto c}f(x)=L}
مما يعني أن الدالة f
(
x
)
{displaystyle f(x)} تكون قريبة جدا حسبما نريد من
L
L عندما تقترب x
x من العدد c
c ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية f
(
x
)
{displaystyle f(x)} ، عندما تقترب
x
x من c
c ، هي L
L ).

التاريخ

نشأ مفهوم النهاية في إطار الحاجة لحساب الأطوال والمساحات والأحجام لأشكال مثل الدائرة والكرة، ويعد مفهوم النهاية تطويرا لطريقة الاستنفاذ التي عرفها اليونانيون القدماء والتي استخدمها أرخميدس لحساب مساحة الدائرة.

شرح مبسط

تعديل – تعديل مصدري – تعديل ويكي بيانات