- [ تعرٌف على ] حي الخليفة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سامي راشد بن عوض الله المطيري ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] عدد برنولي
- [ متاجر السعودية ] جي ار ام ... الدمام ... المنطقة الشرقية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] رنا عبدالرحمن عبدالله العمري ... تبوك ... منطقة تبوك
- [ محامين السعودية ] مبارك معجب جلوي الدوسري ... الرياض
- [ متاجر السعودية ] خلل وعلل ... المدينة المنورة ... منطقة المدينة المنورة
- [ حكمــــــة ] إن العلماء هم الذين يسوسون العباد والبلاد والممالك فموتهم فساد لنظام العالم ولهذا لا يزال الله يغرس في هذا الدين منهم خالفا عن سالف يحفظ بهم دينه وكتابه وعباده وتأمل إذا كان في الوجود رجل قد فاق العالم في الغنى والكرم وحاجتهم الى ما عنده شديدة وهو محسن اليهم بكل ممكن ثم مات وانقطعت عنهم تلك المادة فموت العالم اعظم مصيبة من موت مثل هذا بكثير ومثل هذا يموت بموته أمم وخلائق .
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مبارك سعيد راشد الدوسري ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ حكمــــــة ] قال عمر بن عبد العزيز رحمه الله: "يا أهل الدنيا إنكم لم تخلقوا للفناء، وإنما خلقتم للأبد والبقاء، وإنما تنقلون من دار إلى دار".
- [ تعرٌف على ] كياي ماجا
- [ تعرٌف على ] ريزدنت إيفل: ريفليشنز
- [ تعرٌف على ] هانغل
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد عايض غازي العتيبي ... الحويه ... منطقة مكة المكرمة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فاطمه عطاء سليمان السكيت ... البديعه ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] شركة بغداد للمشروبات الغازية
- [ حكمــــــة ] "لا يحل للمؤمن أن يهجر أخاه أخاه فوق ثلاثة أيام" ما أوسع رحمة الله بعباده مع تحريم القطيعة أذن لهم بثلاثة أيام لابتلاع جراحهم
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سلطان مفرح متعب حريصي ... جازان ... منطقة جازان
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] شيماء عبدالله رمثان القحطاني ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] ولاية شمال دارفور
- [ تعرٌف على ] قاسم الناصر
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالله محمد عبدالله العنزي ... عرعر ... منطقة الحدود الشماليه
- [ تعرٌف على ] قاطور
- [ متاجر السعودية ] حصاد المتخصصة للتسويق الإلكتروني ... ينبع ... منطقة المدينة المنورة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالله أبوبكر عبدالله باحميد ... جدة ... منطقة مكة المكرمة
- [ صيدليات السعودية ] صيدلية الدواء رقم 149
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فيصل بن عبداللطيف بن عبدالرحمن الدريويش ... الدمام ... المنطقة الشرقية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] منى سعيد ظافر العمري ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] نشر نظرية داروين
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالرحمن محمد بن عبدالله بن عيسى ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] إسحاق خالاتنيكوف
- [ متاجر السعودية ] مسفر للعود ... حائل ... منطقة حائل
- [ مقاولون السعودية ] مؤسسة ماهر الشليان للإنارة
- [ مطاعم السعودية ] شاورما لهيب | Laheeb Shawarma
- [ تعرٌف على ] سياسة التأشيرات في باربادوس
- [ تعرٌف على ] ديفيد أسولين
- [ تعرٌف على ] العلاقات التنزانية اللوكسمبورغية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالله ابن محمد ابن علي القحطاني ... تبوك ... منطقة تبوك
- [ تعرٌف على ] العلاقات السعودية الجنوب سودانية
- [ تعرٌف على ] برنامج جنو لمعالجة الصور
- [ تعرٌف على ] فرس (قوم)
- [ تعرٌف على ] محمد بن عبد الملك
- [ تعرٌف على ] ماريوت سلاترفيل
- [ تعرٌف على ] بل برياسون
- [ الدليل على افتراض الصلاة على الانبياء والرسل عليهم وعلى نبينا الصلاة والسلام تعظيم قدر الصلاة - محمد بن نصر المروزى ] قال أبو عبد الله : وقال الله في قصة يونس حين التقمه الحوت: {فلولا أنه كان من المسبحين للبث في بطنه إلى يوم يبعثون} [الصافات: 144] ، عن عاصم بن أبي النجود، عن أبي رزين، عن ابن عباس ، " {فلولا أنه كان من المسبحين} [الصافات: 143] قال : من المصلين " .
- [ مدارس السعودية ] الابتدائية التاسعة بنات
- [ سيارات السعودية ] معرض الرزق لبيع وشراء السيارات
- [ أكلات خفيفة ] أكلات سريعة
- [ شركات المفروشات والسجاد قطر ] معرض ألتامودا قطر Altamoda Qatar Showroom ... الدوحة
- [ تعرٌف على ] الألعاب الإفريقية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] جمعان فايز حسين القحطاني ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ حكمــــــة ] قال مجاهد –رحمه الله: "من لمن يتب إذا أمسى، وأصبح، فهو عن الظالمين".
- [ مدارس السعودية ] مدارس الابتكار الاهلية
- [ تعرٌف على ] بيشوفسفيزن
- [ متاجر السعودية ] إف ايه فاشن ... القطيف ... المنطقة الشرقية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] بثينه مبارك محمد الجدعاني ... جدة ... منطقة مكة المكرمة
- [ خدمات السعودية ] شروط السفر إلى تايلند للسعوديين 2023
- [ تعرٌف على ] الأركان الأربعة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالعزيز عبدالله بن حمد المسعودي ... مكه المكرمه ... منطقة مكة المكرمة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] حمد علي بن عتيق الدوسري ... الدمام ... المنطقة الشرقية
- [ صفات اﻷبراج ] 7 من أهم عيوب امرأة برج السرطان .. ما هي هذه العيوب؟
- [ سيارات السعودية ] عبد الكريم لقطع الغيار
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد وليد محمد الدباسي ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تقنيات منوعة ] ما هي الحوسبة السحابية
- [ تكييف هواء و تبريد السعودية ] مؤسسة على حسن رجب للتبريد
- [ سيارات السعودية ] مؤسسة عبد الله عبد الرحمن لقطع غيار السيارات
- [ تعريفات إسلامية ] 5 معلومات مفيدة عن الأخلاق
- [ متاجر السعودية ] تسويق و بيع المنتجات ... المدينة المنورة ... منطقة المدينة المنورة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مشهور محمد نواوى فلمبان ... مكه المكرمه ... منطقة مكة المكرمة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سلطان شريم علي العتيبي ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] فيل برونستين
- [ تعرٌف على ] العلاقات البوليفية الموريشيوسية
- [ تعرٌف على ] قومية شاملة
- [ تعرٌف على ] العلاقات الصينية الغانية
- [ خذها قاعدة ] فهلا اجتمعتم .. قبل أن يأتي عليكم الطوفان ؟ - مصطفى محمود
- [ تعرٌف على ] عقد 1940
- [ خذها قاعدة ] أفعالنا تصنعنا أو تفسدنا، فنحن أبناء أعمالنا. - فيكتور هوغو (أديب وشاعر ومسرحي فرنسي)
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالله عيسى هنيد الحربي ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد احمد بن حطيحط الصبحي ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة
- [ محامين السعودية ] محمد عبدالرحمن بن فرحان السبيعي ... الاحساء
- [ تعرٌف على ] إسبرانتو
- [ حكمــــــة ] قال أبو المنذر إسماعيل بن عمر : دخلنا على ورقاء بن عمر وهو في الموت ، فجعل يهلل ويكبر ويذكر الله ، وجعل الناس يدخلون عليه أرسالا ، يسلمون فيرد عليهم ويخرجون . فلما كثروا عليه أقبل على ابنه فقال : « يا بني اكفني رد السلام على هؤلاء لا يشغلوني عن ربي »
- [ محامين السعودية ] ساره صالح ناصر القحطاني ... الرياض
- [ حكمــــــة ] إن الدين كلُُ واحد ، لا يصلح فيه الترقيع " ادْخُلُواْ فِي السِّلْمِ كَآفَّة " [ البقرة /208 ] أي جملة واحدة بجميع جوانبه ولابد أن توزع طاقاتك من أجل خدمة هذه الجوانب الثلاثة ، علم وعمل ودعوة ، ومتى ضاع منك الوقت دون أن تثمر شيئًا في هذه الجوانب فاعلم أنَّ هذا من الخذلان ، وأنَّ هذا لا يكون إلا بكسبك ، فينبغي أن تتوب سريعًا ، وإلا فمن يدريك أن الموت لن يكون أسرع مما تتوقع ، وعلى هذا نتعاهد ونتواصى ، وليأخذ كل منكم بيد أخيه ، فإنها النجاة .
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نوره لافي معوض الحربي ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة
- [ تعرٌف على ] سورة النحل
- [ شركات المقاولات قطر ] لينو للمقاولات leno trading ... الدوحة
- [ تعرٌف على ] ترقيع الجلد
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سميه ابراهيم سعيد باداوود ... جدة ... منطقة مكة المكرمة
- [ تأمين السعودية ] الشركة الإسلامية العربية للتأمين
- [ تعرٌف على ] التقسيم الإداري في الأردن
- [ خذها قاعدة ] بداخلي هناك دوماً أحمقين, أحدهما لا يطلب أكثر من أن يظل حيث هو ,والآخر يتصور أن الحياة ربما تكون أقل بشاعة نسبياً لو تحرك قليلاً. - صامويل بيكيت
- [ متاجر السعودية ] ليق أب ... بيشه ... منطقة عسير
- [ تعرٌف على ] فضاء هيلبرت
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد عبدالله بن بريق المالكي ... مكه المكرمه ... منطقة مكة المكرمة
- [ حكمــــــة ] كانت معاذة العدوية أرضعت أم الأسود. وقالت أم الأسود: قالت لي معاذة العدوية: لا تفسدي رضاعي بأكل الحرام، فإني جهدت جهدي حين أرضعتك حتى أكلت الحلال فاجتهدي أن لا تأكلي إلا حلالا لعلك أن توفقي لخدمة سيدك والرضا بقضائه. فكانت أم الأسود تقول: ما أكلت شبهة إلا فاتتني فريضة أو ورد من أورادي.
- [ حكمــــــة ] قال طلق بن حبيب رحمه الله : «يا ابن آدم الدنيا ليست لك بدار، وإنك لا تكون منها بِحَرِيزٍ، فاتق الله يا ابن آدم في السر المفضى به إليك» .
- [ سوبر ماركت السعودية ] لوريت
- [ شركات مقاولات السعودية ] مؤسسة نور عالم الابداع للمقاولات المعمارية ... الدوادمي ... الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد بركي عامر المطيري ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة
- شركة نقل اثاث بالرياض|ظواهر الخليج
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
[ تعرٌف على ] عدد برنولي # أخر تحديث اليوم 2024/05/22
تم النشر اليوم 2024/05/22 | عدد برنولي
علاقته بأعداد أويلر وπ
أعداد أويلر هي متتالية من الأعداد الصحيحة مرتبطة ارتباطا شديدا بأعداد برنولي. π
∼
2 (
2 2
n
− 4 2
n )
B 2
n E 2
n
.
{displaystyle pi sim 2left(2^{2n}-4^{2n}right){frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}
تمثيل التكامل والاستمرارية
ملحق
قيم أعداد بيرنولي الأولى
n البسط المقام التقدير العشري
0 1 1 +1.00000000000
1 −1 2 −0.50000000000
2 1 6 +0.16666666667
4 −1 30 −0.03333333333
6 1 42 +0.02380952381
8 −1 30 −0.03333333333
10 5 66 +0.07575757576
12 −691 2730 −0.25311355311
14 7 6 +1.16666666667
16 −3617 510 −7.09215686275
18 43867 798 +54.9711779448
موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت قالب:OEIS link قالب:OEIS link
تقريب المقارب
مجموع القوى
المقالة الرئيسة: صيغة فاولهابر
تظهر أعداد برنولي بشكل بارز في الصورة المغلقة لمجاميع القوى ل n الأعداد الطبيعية الأولى مرفوعة إلى القوة m حيث m ثابت، كما يلي:
S m
(
n
)
= ∑ k
=
1
n k m
= 1 m
+ 2 m
+
⋯
+ n m {displaystyle S_{m}(n)=sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+cdots +n^{m},}
هذا المجموع يمثل متعددة حدود متغيرها n ودرجتها m+1. معاملات متعددات الحود هذه لها صلة بأعداد بيرنولي كما تُبين ذلك صيغة بيرنولي:
S m
(
n
)
=
1 m
+
1
∑ k
=
0
m ( m
+
1
k )
B k
n m
+
1
−
k
,
{displaystyle S_{m}(n)={1 over {m+1}}sum _{k=0}^{m}{m+1 choose {k}}B_{k};n^{m+1-k},}
العلاقة السابقة تتطلب الأخذ في الاعتبار الاصطلاحَ B1=+1/2. ( ( m
+
1 k
)
{displaystyle {tbinom {m+1}{k}}} يعني المعامل الثنائي k عنصرا من بين m + 1 عنصرا) لتكن n≥0. بجعل m مساوية ل 0 وB0=1 تعطي أعداد طبيعية 0,1,2,3,…. 0
+
1
+
1
+
⋯
+
1
=
1
1 (
B 0
n ) =
n
.
{displaystyle 0+1+1+cdots +1={frac {1}{1}}left(B_{0}nright)=n.}
بجعل m مساوية ل 1 وB1 = 1/2, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد مثلثية 0,1,3,6, وهكذا. 0
+
1
+
2
+
⋯
+
n
=
1
2 (
B 0 n 2
+
2 B 1 n 1 ) =
1
2 (
n 2
+
n ) .
{displaystyle 0+1+2+cdots +n={frac {1}{2}}left(B_{0}n^{2}+2B_{1}n^{1}right)={frac {1}{2}}left(n^{2}+nright).}
بجعل m مساوية ل 2 وB2=1/6, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد هرمية مربعة 0,1,5,14, وهكذا. 0
+ 1 2
+ 2 2
+
⋯
+ n 2
=
1
3 (
B 0 n 3
+
3 B 1 n 2
+
3 B 2 n 1 ) =
1
3 (
n 3
+
3
2 n 2
+
1
2
n ) .
{displaystyle 0+1^{2}+2^{2}+cdots +n^{2}={frac {1}{3}}left(B_{0}n^{3}+3B_{1}n^{2}+3B_{2}n^{1}right)={frac {1}{3}}left(n^{3}+{frac {3}{2}}n^{2}+{frac {1}{2}}nright).}
مع أن صيغة بيرنولي تعكس صراحة ما كتبه بيرنولي إلا أن بعض المؤلفين يعاملون صيغة بيرنولي بطريقة أخرى لا أنها متوافقة مع تعبير بيرنولي ولا أن لها ميزة واضحة مقارنة بالتعبير. فهم يكتبون:
S m
(
n
)
=
1 m
+
1
∑ k
=
0
m
(
−
1 ) k ( m
+
1
k )
B k n m
+
1
−
k
{displaystyle S_{m}(n)={1 over {m+1}}sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{m+1 choose {k}}B_{k}n^{m+1-k}}
لتجنب التناقض مع الصيغة أعلاه، كان على هؤلاء المؤلفين أن يضعوا B1=−1/2. في القسم التالي سوف يتم التعليق على عواقب الفروق الناتجة سيما أن من المحتمل أن ينجم عنها بعض اللبس. يطلق عادة على صيغة بيرنولي صيغة فاولابر تقديرا لجون فاولابر الذي أوجد أيضا طرقا جديرة بالاهتمام لحساب مجاميع القوى. عمم صيغةَ فاولابر غو وجاي زيغ V. Guo & J. Zeng إلى q-analog (Guo & Zeng 2005).
التعريفات التوافقية
العلاقة بعدد فوربتزكي
العلاقة بمجموعة أعداد سترلنغ
العلاقة بعدد دورة سترلنغ
العلاقة بالأعداد الأويلرية
انظر إلى عدد أويلري.
تمثيل الشجرة الثنائي
نظرة خواريزمية: مثلث سيدل
انظر إلى فيليب فون لوديش سيدل. Seidel’s algorithm for Tn
الخصائص الحسابية لأعداد برنولي
مبرهنات كومر
ترتبط أعداد برنولي بمبرهنة فيرما الأخيرة من خلال مبرهنة كومر,(برهن عليها عام 1850) والتي تنص على ما يلي: إذا كان p عددا أوليا فرديا، لا يقسم أيا من بسط أعداد برنولي B2,B4,…,Bp−3، إذا، فإن المعادلة xp+yp+zp=0 لا تقبل حلولا طبيعية تختلف عن الصفر.
الأعداد الأولية التي تملك هاته الخاصية تسمى أعدادا أولية نظامية. لماذا تنعدم أعداد برنولي الفردية ؟
المجموع:
φ k
(
n
)
= ∑ i
=
0
n i k
− n k
2
{displaystyle varphi _{k}(n)=sum _{i=0}^{n}i^{k}-{frac {n^{k}}{2}}}
يمكن أن يحسب عند قيم سالبة ل n. بعمل ذلك، يتبين أن هذه الدالة فردية عندما يكون k زوجيا. الدالة المولدة لأعداد برنولي هي كما يلي:
t
e t
−
1 = ∑ m
=
0
∞ B m t m m
! {displaystyle {frac {t}{e^{t}-1}}=sum _{m=0}^{infty }B_{m}{frac {t^{m}}{m!}}} t
e t
−
1 = B 0
+ B 1 t 1 1
! + ∑ m
=
2
∞ B m t m m
! {displaystyle {frac {t}{e^{t}-1}}=B_{0}+B_{1}{frac {t^{1}}{1!}}+sum _{m=2}^{infty }B_{m}{frac {t^{m}}{m!}}} t
e t
−
1 =
1
−
t
2
+ ∑ m
=
2
∞ B m t m m
! {displaystyle {frac {t}{e^{t}-1}}=1-{frac {t}{2}}+sum _{m=2}^{infty }B_{m}{frac {t^{m}}{m!}}} t
e t
−
1 +
t
2
=
1
+ ∑ m
=
2
∞ B m t m m
! {displaystyle {frac {t}{e^{t}-1}}+{frac {t}{2}}=1+sum _{m=2}^{infty }B_{m}{frac {t^{m}}{m!}}} بتوحيد المقامات في الجانب الأيسر: t
( e t
+
1
)
2
( e t
−
1
) =
1
+ ∑ m
=
2
∞ B m t m m
! {displaystyle {frac {t(e^{t}+1)}{2(e^{t}-1)}}=1+sum _{m=2}^{infty }B_{m}{frac {t^{m}}{m!}}} الدالة في الجانب الأيسر من الصيغة أعلاه هي دالة زوجية.
f
(
x
)
= t
( e t
+
1
)
2
( e t
−
1
) =
f
(
−
x
)
{displaystyle f(x)={frac {t(e^{t}+1)}{2(e^{t}-1)}}=f(-x)} بتعويض x ب -x، نجد ما يلي: B m t m m
! = B m (
−
t ) m
m
! {displaystyle B_{m}{frac {t^{m}}{m!}}=B_{m}{frac {(-t)^{m}}{m!}}} من خلال هذه الصيغة، تستنتج أن تنعدم
B m
{displaystyle B_{m}} عندما يكون المؤشر m
m فرديا. إعادة لصياغة نص فرضية ريمان
الارتباط بين أعداد برنولي ودالة زيتا لريمان قوي بما فيه الكفاية لإعطاء نص آخر لفرضية ريمان، مستعملا أعداد برنولي فقط. بالفعل، برهن مارسل ريز في عام 1916، على أن فرضية ريمان تكافئ ما يلي:
وجهات نظر واصطلاحات مختلفة
يمكن النظر إلى أعداد بيرنولي من وجهات أربعة مختلفة: كائنات رياضياتية قائمة بذاتها،
كائنات توافقياتية
قيما لمتعددات حدود متعاقبة،
قيما من دالة ريمان-زيتا.
تقود كل وجهة نظر مما سبق إلى مجموعة أخرى من الاصطلاحات. أعداد بيرنولي كائنات قائمة بذاتها.
تعاقب مصاحب: 1/6, −1/30, 1/42, −1/30,… هذه هي وجهة نظر جاكوب بيرنولي. انظر مقتطفات من كتابه أرس كونجكتاندي، الطبعة الأولى، 1713. تفهم أعداد بيرنولي على أنها أعداد تكرارية بطبيعتها، ابتُكرت لحل مشكلة رياضياتية معينة ألا وهي مجموع القوى، أو التطبيق البارادياغماتي – paradigmatic application لأعداد بيرنولي. هناك لبس في القول بأن وجهة النظر هذه ‘archaic’. يستخدم هذه العبارة مثلاً جان-بيير سير في كتابه دورة في الحساب وهو كتاب معتمد في العديد من الجامعات اليوم. أعداد بيرنولي كائنات توافقياتية.
تعاقب مصاحب: 1,+1/2,1/6,0,…. تركز هذه النظرة على العلاقة بين أعداد ستيرلنغ وأعداد برنولي وتظهر بطبيعة الحال في التفاضل والتكامل للفوارق المحدودة. ( z e z e z
−
1 )
x
=
x ∑ n
≥
0 σ n
(
x
) z n
{displaystyle left({frac {ze^{z}}{e^{z}-1}}right)^{x}=xsum _{ngeq 0}sigma _{n}(x)z^{n}}
وبشكل متعاقب Bn=n! σn(1) for n≥0. أعداد برنولي قيما لمتعددات حدود متعاقبة.
المقصود هنا هو كثيرات حدود برنولي والتي سبق الحديث عنها. يمكن تعريف أعداد برنولي بطريقتين مختلفتين:
Bn=Bn(0). تعاقب مصاحب: 1, −1/2, 1/6, 0,….
Bn=Bn(1). تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,….
يختلف التعريفان فقط في إشارة B1. الخيار Bn=Bn(0) هو الاصطلاح الذي تم اعتماده في كتاب الدوال الرياضيايتية – Handbook of Mathematical Functions. أعداد بيرنولي قيما لدالة زيتا لريمان
التعاقب المصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,…. أعداد برنولي كما تصفها دالة زيتا لريمان.
يتوافق هذا الاصطلاح مع الاصطلاح Bn=Bn(1) (مثلاً J. Neukirch وM. Kaneko). الإشارة ‘+’ for B1 متلائمة مع تمثيلات أعداد بيرنولي من دالة ريمان زيتا.
B n
=
n
! σ n
(
1
)
= B n
(
1
)
=
−
n
ζ
(
1
−
n
) (
n
≥
0
)
{displaystyle B_{n}=n!sigma _{n}(1)=B_{n}(1)=-nzeta (1-n)quad (ngeq 0) }
الملاحظات
. وصف الخوارزمية
بالرغم من إمكانية استعمال الصيغة التكرارية السابقة للحساب فإنها تستعمل بشكل رئيس لتأسيس اتصال مع مجاميع القوى نظراً لأنها مكلفة حسابياً. مع ذلك، إن كل من الخوارزميات البسيطة والعالية النهاية متوفرة لحساب أعداد بيرنولي. الطريقة البسيطة تعطى في الخوارزم العام التالي في مربع النص ‘خوارزم أكياما تانيغاوا’ والمؤشرات لخوارزميات النهاية العليا معطاة في القسم التالي.
حساب أعداد برنولي بكفاءة
من المفيد في بعض التطبيقات القدرة على حساب أعداد بيرنوليB0 حتى Bp−3 متبقيا p, حيث p هو عدد أولي; فمثلاً لفحص ما إذا كان تخمين فانديفير صحيحاً، أو حتى للتحقق من أن p عدد أولي شاذ. ليس مناسباً أن نقوم بحساب كهذا باستعمال الصيغة التكرارية السابقة، لأنه على الأقل (ثابت من مضاعفات) p2 سيتطلب عمليات حسابية. لحسن الحظ فقد طورت طرق أسرع (Buhler et al. 2001) والتي تتطلب O(p(logp)2) عملية فقط (انظر علامة أو الكبرى). يصف ديفيد هاري (Harvey 2008) خوارزمية لحساب أعداد بيرنولي عن طريق حساب Bn متبقياً p لأعداد أولية صغيرة عديدة p، ومن ثم يعيد إنشاء Bn عن طريق نظرية المتبقي الصينية. كتب هارفي بأن المقارب معقدة زمنياً لهذا الخوارزم هي O(n2 log(n) 2+eps) ويصرح بأن هذه الرؤية أسرع بشكل ملحوظ من الرؤى المعتمدة على الطرق الأخرى. طريقة هاري هي مضمنة في سايج منذ الإصدار 3.1. باستخدام هذه الرؤية قام هارفي بحساب Bn لقيم n=108 وهي رقم قياسي جديد (أكتوبر 2008). قبل بيرنارد كيلنر (Kellner 2002) حسب Bn لأعلى دقة لقيم n=106 في ديسمبر 2002 وOleksandr Pavlyk (Pavlyk 2008) لقيم n=107 بواسطة ‘ماثماتيكا’ في أبريل 2008.
الحاسب
السنة
n
المراتب* ياكوب بيرنولي
~1689
10
1
ليونهارد أويلر
1748
30
8
J.C. Adams
1878
62
36
D.E. Knuth, T.J. Buckholtz
1967
360
478
G. Fee, S. Plouffe
1996
10000
27677
G. Fee, S. Plouffe
1996
100000
376755
B.C. Kellner
2002
1000000
4767529
O. Pavlyk
2008
10000000
57675260
D. Harvey
2008
100000000
676752569 تاريخ حساب أعداد بيرنولي
المراتب ينبغي فهمها على أنها قوى 10 عندما تكتب B(n) كعدد حقيقي في العلامة العلمية الموحدة.
شرح مبسط
تعديل – تعديل مصدري – تعديل ويكي بيانات