تم النشر اليوم 2024/05/16 | مصفوفة دوران

عكس الدوران

رأينا فيما سبق مصفوفة الدوران التي تحول من نظام x إلى نظام ‘x. وأن التعبير المختصر لتلك العملية هو x
′
=
R x {displaystyle mathbf {x’} =Rmathbf {x} }
أما إذا أردنا أن نعبر عن التحويل من نظام ‘x إلى نظام x فإن معادلة التحويل العكسي تصير
x = R T
x
′
{displaystyle mathbf {x} =R^{T}mathbf {x’} }
يمكن إثبات ذلك ببساطة عن طريق فك المعادلة الأولى وإعادة ترتيبها بدلالة (x, y, z) عوضا عن (‘x’, y’, z) فينتج المطلوب. وهكذا تكون المصفوفة التي تعبر عن تحويل ‘x إلى x هي RT. ونلاحظ أن عملية التحويل تلك تكافئ تماما الدوران في الإتجاه العكسي. أي أنه إذا كانت R هي مصفوفة الدوران بزاوية θ في الإتجاه الموجب (عكس عقارب الساعة) فإن RT هي مصفوفة الدوران بنفس الزاوية لكن في الإتجاه العكسي. نلاحظ كذلك أن RT = R-1، أي أنها تساوي المصفوفة العكسية.
بوابة رياضيات

الدوران في بعدين

كما ذُكِر بالأعلى، فإن تدوير نقطة ما بزاوية معينة يكافئ تماما لتدوير نظام الإحداثيات نفسه بالاتجاه المعاكس. تدوير الإحداثيات عكس عقارب الساعة
يمكننا دراسة الحالة حيث يتم تدوير نظام الإحداثيات بزاوية θ عكس عقارب الساعة (وهو الإتجاه الموجب للدوران) حول نقطة الأصل. يمكننا أن نرى أن
P x
=
P
cos
⁡
ϕ
{displaystyle P_{x}=Pcos phi } P y
=
P
sin
⁡
ϕ
{displaystyle P_{y}=Psin phi }
حيث P هي طول متجه الموضع للنقطة العامة (x, y)، و θ هي الزاوية بين المحورين x و ‘x، و Φ هي الزاوية بين متجه موضع النقطة ومحور x. كذلك
P x ′ =
P
cos
⁡
(
ϕ
−
θ
)
{displaystyle P’_{x}=Pcos(phi -theta )} P x ′ =
P
cos
⁡
ϕ
cos
⁡
θ
+
P
sin
⁡
ϕ
sin
⁡
θ
{displaystyle P’_{x}=Pcos phi cos theta +Psin phi sin theta } P y ′ =
P
sin
⁡
(
ϕ
−
θ
)
{displaystyle P’_{y}=Psin(phi -theta )} P y ′ =
P
sin
⁡
ϕ
cos
⁡
θ
−
P
cos
⁡
ϕ
sin
⁡
θ
{displaystyle P’_{y}=Psin phi cos theta -Pcos phi sin theta }
أي أن
P x ′ = P x
cos
⁡
θ
+ P y
sin
⁡
θ
{displaystyle P’_{x}=P_{x}cos theta +P_{y}sin theta } P y ′ =
− P x
sin
⁡
θ
+ P y
cos
⁡
θ
{displaystyle P’_{y}=-P_{x}sin theta +P_{y}cos theta }
ويمكن التعبير عن هاتين المعادلتين عن طريق المصفوفات [
P x ′
P y ′
]
=
[ cos
⁡
θ
sin
⁡
θ
−
sin
⁡
θ
cos
⁡
θ ]
[
P x P y ]
{displaystyle {begin{bmatrix}P’_{x}\P’_{y}\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}cos theta &sin theta \-sin theta &cos theta \end{bmatrix}}{begin{bmatrix}P_{x}\P_{y}\end{bmatrix}}}
تذكر أن المصفوفة المذكورة في المعادلة السابقة هي لتدوير الإحداثيات عكس اتجاه الساعة، مما يكافي تدوير النقطة ذاتها مع عقارب الساعة. عناصر المصفوفة
بما أن sin
⁡
θ
=
cos
⁡
(
π
2
−
θ
)
{displaystyle sin theta =cos({frac {pi }{2}}-theta )}
و −
sin
⁡
θ
=
cos
⁡
(
π
2
+
θ
)
{displaystyle -sin theta =cos({frac {pi }{2}}+theta )}
يمكننا كتابة مصفوفة الدوران على النحو التالي R
=
[ cos
⁡
θ
cos
⁡
(
π
2
−
θ
)
cos
⁡
(
π
2
+
θ
)
cos
⁡
θ ]
{displaystyle R={begin{bmatrix}cos theta &cos({frac {pi }{2}}-theta )\cos({frac {pi }{2}}+theta )&cos theta \end{bmatrix}}}
ونلاحظ أن مدخلات المصفوفة هي نفسها جيوب تمام اتجاه المحاور الجديدة نسبة إلى القديمة. للتسهيل يمكننا أن نكتب R
=
[ r
x
′ x r
x
′ y
r
y
′ x r
y
′ y ]
{displaystyle R={begin{bmatrix} r_{x’x}&r_{x’y}\\r_{y’x}&r_{y’y}\end{bmatrix}}}
حيث rx’x هو جيب تمام إتجاه المحور ‘x بالنسبة لمحور x والباقي بالمثل.

الدوران في ثلاثة أبعاد

كما رأينا في حالة تدوير نظام الإحداثيات في بعدين فإن الدوران يكون حول نقطة الأصل. أما في حالة الثلاثة أبعاد فإن الدوران يكون حول محور ما I يمر بنقطة الأصل. يمكننا أن نرمز لمصفوفة الدوران بالرمز
R I
,
θ
{displaystyle R_{I,theta }} أي الدوران حول محور I بزاوية θ. الدوران حول المحاور الأساسية
من السهل دائما القيام بالدوران حول أحد المحاور الأساسية، فالعملية مشابهة تماما للدوران في بعدين حول نقطة الأصل مع تعديل بسيط. تُعطى مصفوفات الدوران بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحاور الأساسية x و y و z على الترتيب كالآتي
R x
,
θ
=
[ 1
0
0
0
cos
⁡
θ
sin
⁡
θ
0
−
sin
⁡
θ
cos
⁡
θ ]
, R y
,
θ
=
[ cos
⁡
θ
0
−
sin
⁡
θ
0
1
0
sin
⁡
θ
0
cos
⁡
θ ]
, R z
,
θ
=
[ cos
⁡
θ
sin
⁡
θ
0
−
sin
⁡
θ
cos
⁡
θ
0
0
0
1 ]
{displaystyle R_{x,theta }={begin{bmatrix}1&0&0\0&cos theta &sin theta \0&-sin theta &cos theta end{bmatrix}},R_{y,theta }={begin{bmatrix}cos theta &0&-sin theta \0&1&0\sin theta &0&cos theta end{bmatrix}},R_{z,theta }={begin{bmatrix}cos theta &sin theta &0\-sin theta &cos theta &0\0&0&1end{bmatrix}}}
الدوران حول محور z
بالفعل يمكننا أن نمثل تدوير نظام الإحداثيات حول محور z بزاوية θ [
x
′
y
′
z
′
]
=
[ cos
⁡
θ
sin
⁡
θ
0
−
sin
⁡
θ
cos
⁡
θ
0
0
0
1 ]
[ x
y
z ]
{displaystyle {begin{bmatrix}x’\y’\z’end{bmatrix}}={begin{bmatrix}cos theta &sin theta &0\-sin theta &cos theta &0\0&0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\y\zend{bmatrix}}}
كما نرى فإن المحور z لم يتغير. الدوران حول محور y
يمكننا بالمثل القيام بالدوران حول المحور y، وتكون المعادلة [
x
′
y
′
z
′
]
=
[ cos
⁡
θ
0
−
sin
⁡
θ
0
1
0
sin
⁡
θ
0
cos
⁡
θ ]
[ x
y
z ]
{displaystyle {begin{bmatrix}x’\y’\z’end{bmatrix}}={begin{bmatrix}cos theta &0&-sin theta \0&1&0\sin theta &0&cos theta end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\y\zend{bmatrix}}}
عندما نقوم بفك المعادلة السابقة وإعادة ترتيبها، سنجد أن
x
′ =
x
cos
⁡
θ
−
z
sin
⁡
θ
{displaystyle x’=xcos theta -zsin theta } y
′ =
y
{displaystyle y’=y} z
′ =
x
sin
⁡
θ
+
z
cos
⁡
θ
{displaystyle z’=xsin theta +zcos theta }
والتي يمكن إعادة التعبير عنها كالتالي [
z
′
x
′
y
′
]
=
[ cos
⁡
θ
sin
⁡
θ
0
−
sin
⁡
θ
cos
⁡
θ
0
0
0
1 ]
[ z
x
y ]
{displaystyle {begin{bmatrix}z’\x’\y’end{bmatrix}}={begin{bmatrix}cos theta &sin theta &0\-sin theta &cos theta &0\0&0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}z\x\yend{bmatrix}}}
يرجى ملاحظة الفرق في ترتيب الإحداثيات في المصفوفتين العموديتين. الدوران حول محور x
بأسلوب مماثل نجد أن الدوران حول المحور x يتم التعبير عنه كالتالي [
x
′
y
′
z
′
]
=
[ 1
0
0
0
cos
⁡
θ
sin
⁡
θ
0
−
sin
⁡
θ
cos
⁡
θ ]
[ x
y
z ]
{displaystyle {begin{bmatrix}x’\y’\z’end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&0&0\0&cos theta &sin theta \0&-sin theta &cos theta end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\y\zend{bmatrix}}}
الدوران حول محور عام
رأينا فيما سبق ثلاث حالات خاصة لتدوير نظام الإحداثيات حول المحاور الأساسية. سنعطي الآن مصفوفة الدوران بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة حول أي محور يمر بنقطة الأصل و I هي وحدة المتجه لهذا المحور.
R I
,
θ
=
[ cos
⁡
θ
+ I x
2 ( 1
−
cos
⁡
θ )
I x I y ( 1
−
cos
⁡
θ ) + I z
sin
⁡
θ I x I z ( 1
−
cos
⁡
θ ) − I y
sin
⁡
θ I y I x ( 1
−
cos
⁡
θ ) − I z
sin
⁡
θ
cos
⁡
θ
+ I y
2 ( 1
−
cos
⁡
θ )
I y I z ( 1
−
cos
⁡
θ ) + I x
sin
⁡
θ I z I x ( 1
−
cos
⁡
θ ) + I y
sin
⁡
θ I z I y ( 1
−
cos
⁡
θ ) − I x
sin
⁡
θ
cos
⁡
θ
+ I z
2 ( 1
−
cos
⁡
θ )
]
{displaystyle R_{I,theta }={begin{bmatrix}cos theta +I_{x}^{2}left(1-cos theta right)&I_{x}I_{y}left(1-cos theta right)+I_{z}sin theta &I_{x}I_{z}left(1-cos theta right)-I_{y}sin theta \I_{y}I_{x}left(1-cos theta right)-I_{z}sin theta &cos theta +I_{y}^{2}left(1-cos theta right)&I_{y}I_{z}left(1-cos theta right)+I_{x}sin theta \I_{z}I_{x}left(1-cos theta right)+I_{y}sin theta &I_{z}I_{y}left(1-cos theta right)-I_{x}sin theta &cos theta +I_{z}^{2}left(1-cos theta right)end{bmatrix}}}
حيث Ix و Iy و Iz هي مركبات وحدة المتجه I.

شرح مبسط

في الجبر الخطي، مصفوفة الدوران هي مصفوفة حسابية تستخدم لتدوير متجه ما أو (بعملية مكافئة) تدوير نظام الإحداثيات ذاته.[1][2][3] مثلا لتدوير متجه موضع لنقطة (x, y) بزاوية θ عكس عقارب الساعة أو تدوير نظام الإحداثيات بنفس الزاوية لكن مع عقارب الساعة فإن مصفوفة الدوران تكون