تم النشر اليوم 2024/05/16 | معادلات كوشي-ريمان

مثال

افترض أن الدالة f
(
z
)
= z 2
{displaystyle f(z)=z^{2}} ، حيث z
=
x
+
i
y
{displaystyle z=x+iy} ، هي دالة قابلة للاشتقاق عند أي نقطة z
∈ C {displaystyle zin mathbb {C} } f
(
z
)
=
(
x
+
i
y ) 2
= x 2
− y 2
+
2
i
x
y
{displaystyle f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}
فيكون الجزء الحقيقي هو: u
(
x
,
y
)
{displaystyle u(x,y)} حيث u
(
x
,
y
)
= x 2
− y 2
{displaystyle u(x,y)=x^{2}-y^{2}} والجزء التخيلي هو: v
(
x
,
y
)
{displaystyle v(x,y)} حيث v
(
x
,
y
)
=
2
x
y
{displaystyle v(x,y)=2xy} ومشتقاتهم الجزئية هي:
v y
=
2
x
{displaystyle v_{y}=2x} v x
=
2
y
{displaystyle v_{x}=2y} u y
=
−
2
y
{displaystyle u_{y}=-2y} . u x
=
2
x
{displaystyle u_{x}=2x} .
ويلاحظ تحقق شروط معادلات كوشي-ريمان:
u x
= v y
{displaystyle u_{x}=v_{y}} . u y
=
− v x
{displaystyle u_{y}=-v_{x}} .

شرح مبسط

في الرياضيات، معادلات كوشي-ريمان التفاضلية (بالإنجليزية: Cauchy–Riemann equations)‏ في التحليل العقدي تنسب إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي وعالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان.[1][2][3] تتكون من نظام من اثنين من المعادلات التفاضيلية الجزئية