[ رياضيات ] بحث عن المصفوفات .. تعرف على 9 معلومات رياضية هامة حول العمليات الحسابية لها # أخر تحديث اليوم 2024/05/22

تم النشر اليوم 2024/05/22 | بحث عن المصفوفات .. تعرف على 9 معلومات رياضية هامة حول العمليات الحسابية لها

تطبيقات حياتية يمكن الاستفادة منها من خلال الاعتماد على المصفوفات الرياضية

هناك العديد من المصفوفات الرياضية التي يمكن الاستفادة منها في التطبيقات الحياتية، وذلك من خلال تمثيل مجموعة من الأرقام في المصفوفة والاعتماد على مجموعة من البدائل للعمليات الرياضية المعقدة ووجود نظريات لحل الاحتمالات وهو ما يمكن الاستفادة منه في العديد من المجالات مثل مجال الإحصاء الرياضي والرسم البياني، كما يمكن الاستفادة من المصفوفات في الهندسة والنظريات التحليلية، وتركيبات خطية رياضية، كما يمكن الاستفادة منها في تطبيقات عملية في مجال البصريات الهندسية ومجال الإلكترونيات.
ويمكن تطبيق المصفوفات الرياضية في الفيزياء الحديثة خاصة في مجال الجسيمات، وغيرها من التطبيقات الحياتية الأخرى.

أنواع المصفوفات الرياضية

هناك العديد من أنواع المصفوفات الرياضية التي يجب أن نتعرف عليها لكي يكون الأمر واضح من خلال شرح هذه المصفوفات، فالعلماء في مجال الرياضيات قسموا الأنواع لعدة أقسام وهي:
المصفوفة الرياضية المربعة: وهي التي تعتمد على أن عدد الصفوف فيها تكون مساوية لعدد الأعمدة.المصفوفة الرياضية ذات الصف الواحد: وهي المصفوفة التي تعتمد على صف واحد فقط.المصفوفة ذات العمود الواحد: وهي التي تتكون من عمود واحد فقط.المصفوفة الصفرية: وتلك المصفوفة الرياضية تعتمد على وجود صفرين فيها فقط دون وجود أعمدة أخرى مكوّنة من عدة أرقام أخرى.المصفوفة القُطرية: وهي تلك المصفوفة التي تعتمد على أن تكون مربعة تقع عناصرها فقط على طول القطر الممتد من الطرف العلوي الأيمن إلى الطرف السفلي الأيسر، وباقي العناصر الموجودة في المصفوفة عبارة عن أصفار.المصفوفة القياسية: وهي من أهم المصفوفات، وهي عبارة عن مصفوفة قطرية تتساوى جميع العناصر فيها مع القطر الممتد من الطرف العلوي الأيمن نحو الطرف السفلي الأيسر من المصفوفة.المصفوفة العليا المثلثة: وتلك المصفوفة تعتمد على أن تكون مصفوفة مربعة تقع جميع عناصرها فوق القطر، وتكون هناك بعض من عناصرها أسفل المصفوفة لتكون مساوية للصفر.المصفوفة المثلثة السفلى: وهي تلك المصفوفة الرياضية التي تقع جميع عناصرها الواقعة فوق القطر مساوية للصفر.مصفوفة الوحدة الرياضية: وهي مصفوفة رياضية عبارة عن مصفوفة قطرية ومربعة لها نفس العناصر من الصفوف والأعمدة، والتي تتكون من العدد الممكن من الصفوف والأعمدة، وهذه لا يمكن أن يكون حجمها ليكون 100 × 100 ثلاً، كما يجب أن يكون القطر فيها من العدد واحد فقط، وهذه حالة من المصفوفات استثنائية وخاصة تختلف عن باقي المصفوفات الرياضية الأخرى، وذلك بسبب أن نتيجة الضرب في أية من المصفوفات الأخرى تكون نتيجتها هي أن المصفوفة أ.

حجم المصفوفة الرياضية

حجم المصفوفة الرياضية يعتمد على عدد الصفوف والأعمدة التي توجد داخل المصفوفة، فالمصفوفة لها في الغالب صف واحد تعرف بنواقل التوالي أو ناقلات العود، بالرغم من وجود أنواع المصفوفات لا يحتوي على صفوف ولا أعمدة وهو المصفوفة الفارغة وهي أحد أهم الأنواع في المصفوفات الرياضية التي لها العديد من التطبيقات الرياضية.

بحث عن المصفوفات

المصفوفات هي أحد الأشكال الرياضية، حيث تتشكل من مجموعة من الأرقام أو الرموز والعبارات ولها العديد من الأسماء الأخرى مثل الإدخالات أو العناصر والتي تترتب في الصفوف والأعمدة، من خلال هذا المقال نتحدث عن المصفوفات من خلال المعلومات التي نتناولها في بحث عن المصفوفات الرياضية وتطبيقاتها الحياتية وأهميتها.

المصفوفات الرياضية والعمليات الحسابية التي تحتوي عليها

ككل شىء في مجال الرياضيات، فإن المصفوفات الرياضية تخضع بلا شك إلى العديد من العمليات الحسابية الخاصة، وهذه العمليات الحسابية نجدها في الجمع والطرح والضرب والقسمة، أي في العمليات الحسابية البسيطة غير المعقدة، ولمزيد من الفهم والأمثلة على هذه العمليات الحسابية، فإننا نعرض اهم العمليات الحسابية على المصفوفات الرياضية من خلال النقاط التالية:

عملية جمع وطرح المصفوفات الرياضية
يجب عند القيام بالعملية الحسابية الخاصة بالمصفوفة الرياضية خاصة عملية الجمع والطرح، فيجب أن تكون المصفوفة الرياضية متساوية في الحجم، أو بمعنى آخر، أن تكون المصفوفة لها عدد الصفوف المتساوية، وتكون هناك تساوياً بين كلا المصفوفتين.
كما أن عدد الصفوف يجب أن يكون في مصفوفة ما لها 3 صفوف و5 أعمدة لا يمكن جمعها إلى مصفوفة أخرى فقط، وفي حالة إذا كان عدد صفوفها 3 صفوف وعدد الأعمدة هو 5 أعمدة على سبيل المثال، فإنه لا يمكن جمعها لمصفوفة أخرى.
أما إذا كانت المصفوفة لها 3 صفوف مثلاً وعدد الأعمدة في المصفوفة حوالي 4 أعمدة فقط، فإنه يتم جمع المصفوفتين من خلال جمع كل عنصرين متطابقين في الموقع بين المصفوفتين، وما قمنا به في جمع المصفوفات الرياضية، يمكن أن نطبقه بنفس الشكل في عملية الطرح، وفيما يلي نتعرف على بعض الأمثلة حتى نفهم عملية جمع وطرح المصفوفات الرياضية، وذلك من خلال الأمثلة التالية:
المثال الأول: احسب نتيجة جمع المصفوفتين التاليتين:
| +3 +8 | + | +4 صفر | = | +7 +8 |
| +4 +6 | + | +1 − 9 | = | +5 – 3 |
الحل من خلال: 3+4=7، 8+0=8، 4+1=5، و 6-9= -3.
المثال الثاني: احسب نتيجة طرح المصفوفتين التاليتين:
| +3 +8 | – | +4 صفر | = | – 1 + 8 |
| +4 +6 | – | +1 − 9 | = | +3 +15 |

الحل يكون من خلال المعادلة الحسابية التالية: 3-4 = -1، 8-0 = 8، 4-1 = 3، 6-(-9) = 15.
عملية ضرب المصفوفات الرياضية
أما عملية ضرب المصفوفات فإن علماء الرياضيات قسموها لعدة أمور منها مثلاً الضرب القياسي، وهذه العملية الحسابية تعتمد على ضرب عدد واحد في كل عنصر من العناصر المتواجدة في المصفوفة الرياضية.
وهناك القسم الثاني من عملية الضرب بالنسبة للمصفوفات الرياضية، وهي طريقة ضرب المصفوفات، وهو النوع الثاني الذي يعتمد على ضرب مصفوفتين ببعضهما البعض، وضرب المصفوفتين يتم في حالة إذا كان الأعمدة وعددها في المصفوفة الأولى مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية، ليكون حجم المصفوفة الناتجة = عدد الصفوفة في الأولى × عدد الأعمدة في الثانية،
وهناك العديد من الخطوات التي يجب أن نتبعها عند ضرب المصفوفات بهذه الطريقة مثل:
نتأكد أولاً من عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى على أن يكون مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية.نضرب كل عنصر من عناصر الصف في الصفوف في المصفوفة الأولى في كل عنصر المقابلة له من كل عمود من الأعمدة في المصفوفة الثانية على الترتيب.الخطوة الثالثة والأخيرة إضافة النواتج.
وعلينا أن نلاحظ مع هذه العملية (عملية ضرب المصفوفات) أنها عملية رياضية تبادلية وهو المعروف عن عملية الضرب تماماً، لكن هذا لا يعني أن تنطبق على عملية ضرب المصفوفات سواء في النوع الأول أو النوع الثاني، حيث أن حاصل ضرب مصفوفة أ × مصفوفة ب ليس هي نتيجة حاصل ضرب مصفوفة ب × مصفوفة أ، لذلك لا يمكن الاعتماد على العملية التبادلية العادية في عملية الضرب.
محدد المصفوفات الرياضية
محدد المصفوفات الرياضية هي إحدى الجوانب التي وضعها العلماء من أجل حل بعض المصفوفات الرياضية، وتستخدم في العديد من التطبيقات مثل حل نظام المعادلات الخطية، وأيضاً إيجاد معكوس المصفوفة الرياضية وغيرها من التطبيقات الأخرى في مجال الرياضيات.
ومحدد المصفوفات الرياضية له العديد من المزايا، وهو أنه عدد حقيقي لا يمكن معرفته في حالة إذا كانت المصفوفة مربعة، كما لا يمكن إيجاد المعكوس في المصفوفة فقط، خاصة إذا كانت هذه المصفوفة لا تساوي الصفر، وبالتالي لا يمكن استخدامها للتعبير عن محدد المصفوفة لنفس الرمز الذي يستخدم في التعبير عن القيم المطلقة للمصفوفة، وهذا من خلال رمز لمحدد المصفوفة أ والتي يمكن ان نجدها على سبيل المثال من خلال اختلاف أبعادها من خلال عدد الصفوف والأعمدة،

وذلك يمكن معرفته من خلال بعض الأمثلة الهامة والتي نتعرف عليها من خلال النقاط التالية:
في حالة إذا كانت أبعاد المصفوفة 2× 2 وهذا من خلال أنها مكوّنة من صفين وعمودين، لذلك فيمكن إيجاد المصفوفة من خلال تطبيق المعادلة التالية: محدد المصفوفة = ( القيمة العليا في اليمين × القيمة السفلى في اليسار ) – ( القيمة العليا في اليسار × القيمة السفلى في اليمين ) وبالتالي نتعرف على ناتج المصفوفة عبر هذه المعادلة.في حالة إذا كانت المصفوفة بأبعادها عبارة عن 3 × 3 أي أنها تتكوّن من ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة، فإنه يمكن إيجاد المصفوفة باستخدام قانون معين وهو: أ×(ج×ت-ك×ي) – ب×(د×ت-ز×ي) + ث×(د×ك-ز×ج).
والقانون السابق له قاعدة وهي ضرب كل العناصر الموجودة في الصف الذي يتم اختياره في المصفوفة، مثل أن نقوم بضرب كل عنصر في الصف الأول ( أ ب ج ) على الترتيب، وذلك في المصفوفة ثنائية الأبعاد، وبذلك يمكننا الحصول على النتيجة بعد استثناء عمود وصف توجد فيه العناصر الي تم اختياره من الصف الأول. ولمزيد من الفهم على هذا تعرف على المثال التالي لحل المصفوفة ثلاثية الأبعاد:
| +3 +2 +4 |
| – 5 +6 +3 |
| +4 +7 +2 |
والحل يتم من خلال تطبيق القانون السابق، وبالتالي فإن الحل يكون: 3×(6×2 – 7×3) – 2×(-5×2 -3×4) + 4×(-5×7 – 6×4) = -219.
كيفية إيجاد معكوس المصفوفة الرياضية
أما عن تعريف المعكوس فهو عبارة أن المصفوفة التي يكون حاصل الضرب فيها في المصفوفة الأصلية هي مصفوفة الوحدة، وهي عبارة عن مصفوفة تكون جميع عناصر قطرها هي عدد واحد أما باقي العناصر هي أصفار، وتكون مختلفة بطرق إيجاد معكوس المصفوفة باختلاف أبعادها، فعلى سبيل المثال فإن كانت المصفوفة ثنائية الأبعاد ( 2 × 2 ) فإن هذا يمكن إيجاد المعكوس من خلال:
إيجاد المصفوفة الرياضية المصاحبة من خلال عكس ترتيب العناصر في أحد الأقطار، وبالتالي إيجاد عكس ترتيب العناصر في أحد الأقطار وإيجاد القيمة السالبة للقطر الآخر.إيجاد محدد المصفوفة عبر الطرق والقوانين التي تناولناها في السابق.إيجاد طريقة حساب حاصل الضرب كل من (1/محدد المصفوفة)×المصفوفة المصاحبة، وهذا ينتج منه معكوس المصفوفة، وبطريقة حسابية أخرى فإن معكوس المصفوفة = (1/محدد المصفوفة) × المصفوفة المصاحبة.أما بالنسبة للمصفوفة ثلاثية الأبعاد 3 × 3 أو أكثر من هذه العناصر، فإنه يمكنك إيجاد المعكوس الخاص بالمصفوفة الرياضية هذه من خلال الطريقة التي تستخدم الخطوات التالية:اكتب مصفوفة الوحدة إلى جانب المصفوفة الرياضية التي تريد إيجاد معكوسها.يمكنك تحويل المصفوفة الأصلية إلى مصفوفة الوحدة من خلال بعض العمليات الحسابية مثل أن نقوم بتحويل العنصر الثاني من العمود الأول للعدد صفر، ثم ضرب الصف الأول من العدد -1 ثم جمع الصف الثاني ووضع النتيجة في الصف الثاني.ثم نقوم بتحويل العنصر الثالث في العمود الأول من المصفوفة الرياضية وتحويلها للعدد صفر وذلك من خلال المعادلة: ضرب الصف الأول في المصفوفة بالعدد -1 ثم القيام بجمعه للصف الثالث مع وضع النتيجة في الصف الثالث.نقوم بتحويل العنصر الثاني من الصف الأول للعدد صفر من خلال طريق المعادلة الحسابية التالية: ضرب الصف الثاني بالعدد -3 ثم جمعه بالصف الأول ونضع النتيجة في هذا الصف ( الصف الأول من المصفوفة الرياضية ).ويمكن إيجاد المعكوس أيضاً من خلال تحويل العنصر الثالث من الصف الأول من المصفوفة للعدد صفر، وذلك من خلال المعادلة التالية: ضرب الصف الثالث بالعدد -3 ثم القيام بجمعه للصف الأول، ونضع النتيجة في الصف الأول.كما يمكنك التحقق من الحل وصحته بالخطوات السابقة من خلال ضرب المصفوفة التي قمنا بالعمل على حلها ( المصفوفة الأصلية) حتى نحصل على مصفوفة الوحدة.
وبعد أن تعرفنا على العمليات الحسابية الهامة حول المصفوفات الرياضية، فهناك العديد من الأمثلة التي يجب أن نتعرف على جانباً منها من أجل الاستفادة من جميع العمليات السابقة، والتي تساعدنا جيداً على فهم هذه المصفوفات، وهذه الأمثلة المتنوّعة سنتعرف عليها من خلال النقطة الأخيرة من هذا المقال.

أمثلة متنوّعة على حل المصفوفات الرياضية
فيما يلي نتعرف على بعض الأمثلة المحلولة والتي تدل على حساب المصفوفات الرياضية، وكيفية تطبيق العمليات الحسابية والقوانين والخطوات التي عرضناها منذ قليل في الحل، وذلك من خلال الأمثلة التالية:
المثال الأول
في حالة إذا كان حاصل الضرب بين المصفوفتين أ × ب يساوي حاصل ضرب ب × أ فما هي قيمة س، في حالة إذا عرفنا أن قيمة المصفوفة أ و المصفوفة ب هي:
المصفوفة أ = | 1 س | | 2 +3 |
المصفوفة ب = | 1 1 | | 1 2 |
الحل: يتم الحل من خلال الخطوات التالية:
أ × ب = | (1×1)+(س×1) (1×1) + (س×2) | | (2×1) + (3×1) (2×1) + (3×2) |
ب × أ = | (1×1)+(1×2) (1×س) + (1×3) | | (1×1) + (2×2) (1×س)+(2×3) |
وبالتالي عليه فإن قيمة س = 1×1+1×2 = 1×1+ س×1، وبالتالي: 3 = 1+س، فإن قيمة: س= 2.
المثال الثاني
اوجد من خلال قوانين المصفوفات الرياضية معكوس المصفوفة أ والتي تساوي: | 3 1| | 4 2 |
الحل: يمكن معرفة معكوس المصفوفة أ السابقة من خلال الخطوات التالية:
معرفة تطبيق خطوات معكوس المصفوفة ثنائية الأبعاد، وبالتالي فإن معكوس هذه المصفوفة يساوي: 1/((3×2)-(1×4)) × | +2 -1| | -4 +3 |
ضرب 1/((3×2)-(1×4)) = 1/2 وبالتالي فإن معكوس المصفوفة التالية هو | 1 -1/2 | | -2 3/2 | وذلك اعتماداً على المعادلة التالية: المصفوفة × معكوسها = مصفوفة الوحدة.
المثال الثالث
يعتمد هذا المثال على تطبيق عملي لعملية حسابية يمكن تطبيقها من خلال المصفوفات الرياضية، وهذا المثال هو ذهبت مجموعة من الأفراد في رحلة وذلك عن طريق الأتوبيس في الذهاب، وعادوا من خلال القطار، وكانت أجرة كل واحد 3.2 دينار، بينما كل طفل في الأتوبيس 3 دينار، وكان مجموع ما تم دفعه في الأتوبيس حوالي 118.40 دينار.
أما في القطار فكانت اجرة كل طفل حوالي 3.50 دينار، بينما الشخص البالغ 3.60 دينار، وكان المجموع حوالي 135.20 دينار، فما هو عدد البالغين والأطفال على حد سواء من خلال قوانين المصفوفات الرياضية؟

الحل: يتم من خلال الخطوات التالية:
المصفوفة الأول س= | عدد الأطفال عدد البالغين| أو | س1 س2 |
المصفوفة الثانية أ = أجرة الأوتوبيس لكل فرد في الرحلة (| 3.0 3.5| | 3.2 3.6| )
المصفوفة الثانية ب = مجموع الأجرة للأتوبيس لكل مجموع الأفراد في الرحلة | 118.4 1325.2|
وبالتالي فإن المصفوفة س والمصفوفة أ والثالث ب نعتمد على إيجاد المعكوس من خلال المعادلة : س= ب×أ-1
وبالتالي يكون الحل: | -9.0 +8.75 | | +8.0 -7.50 |
وبعد ضرب المصفوفة ب في المعكوس للمصفوفة أ فإن النتيجة للمصفوفة التالية والتي عرفنا من خلالها عدد الأطفال والبالغين في الرحلة وذلك في العمود الثاني وهي: | 16 22 |
المصفوفات الرياضية لها أهمية كبيرة من خلال التطبيقات الرياضية والفيزيائية التي تعرفنا عليها من خلال السطور السابقة، كما تعرفنا أيضاً على حجم المصفوفة الرياضية والعمليات الحسابية التي لها أهمية من خلال المصفوفة الرياضية، شاركنا الرأي هل كنت تعرف من قبل المصفوفة الرياضية وأهميتها وتطبيقاتها الحياتية؟ شاركنا الرأي.

المصفوفات لها تاريخ طويل في عالم الرياضيات

قام علماء الرياضيات باختراع المصفوفات للاستفادة منها في حل المعادلات الخطية، وقد أسموها في بداية الأمر الصفائف، وذلك في بداية ظهورها في العام 1800م، وقد انتشرت في الصين وفي بلاد أوروبا ثم تم اعتمادها في مجال الرياضيات في العالم كله.

جوانب حسابية حول المصفوفات الرياضية

المصفوفات الرياضية تعتمد على الخوارزميات بشكل مباشر في حل المعادلات الخطية، ومن خلال حل المسائل العددية للجبر الخطي، كما تقوم على تعقيد الخوارزمية في إيجاد الحدود العليا وبعض العمليات الحسابية مثل الإضافات والضرب.

كما أن المصفوفة الرياضية ليس لها عدد معين من الصفوف والأعمدة، لذلك قد تكون لانهائية، وهناك العديد من أنواع المصفوفات الرياضية من أهم هذه المصفوفات، المصفوفة الفارغة وهي المصفوفة التي تعرف بالفارغة وهي المصفوفة الرياضية التي لا تحتوي على صفوف او أعمدة.