- [ خذها قاعدة ] بداخلي هناك دوماً أحمقين, أحدهما لا يطلب أكثر من أن يظل حيث هو ,والآخر يتصور أن الحياة ربما تكون أقل بشاعة نسبياً لو تحرك قليلاً. - صامويل بيكيت
- [ متاجر السعودية ] ليق أب ... بيشه ... منطقة عسير
- [ تعرٌف على ] فضاء هيلبرت
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد عبدالله بن بريق المالكي ... مكه المكرمه ... منطقة مكة المكرمة
- [ حكمــــــة ] كانت معاذة العدوية أرضعت أم الأسود. وقالت أم الأسود: قالت لي معاذة العدوية: لا تفسدي رضاعي بأكل الحرام، فإني جهدت جهدي حين أرضعتك حتى أكلت الحلال فاجتهدي أن لا تأكلي إلا حلالا لعلك أن توفقي لخدمة سيدك والرضا بقضائه. فكانت أم الأسود تقول: ما أكلت شبهة إلا فاتتني فريضة أو ورد من أورادي.
- [ حكمــــــة ] قال طلق بن حبيب رحمه الله : «يا ابن آدم الدنيا ليست لك بدار، وإنك لا تكون منها بِحَرِيزٍ، فاتق الله يا ابن آدم في السر المفضى به إليك» .
- [ سوبر ماركت السعودية ] لوريت
- [ شركات مقاولات السعودية ] مؤسسة نور عالم الابداع للمقاولات المعمارية ... الدوادمي ... الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد بركي عامر المطيري ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة
- [ تعرٌف على ] ما قبل التاريخ بالسويد
- [ تعرٌف على ] الدوري الأوروبي 2016–17
- [ تعرٌف على ] خوسيه إييرو
- [ متاجر السعودية ] شركة الزاج التجارية ... منطقة مكة المكرمة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد راشد بن محمد الدوسري ... الخفجى ... المنطقة الشرقية
- [ حكمــــــة ] العلماء ثلاثة مراتب: أ- عالم عقله أكبر من علمه، عنده علم قليل، ولكن عنده حكمة وبصيرة في توجيه الناس وإرشادهم إلى ما يكون فيه خير كثير. ب- عالم علمه أكبر من عقله، عنده علم كثير ويحفظ ويقرأ، ولكنه لا يحسن وضع الأمور في نصابها. ج- عالم استوى عقله وعلمه، وهذه مرتبة الكمال، فلا بد من الأمرين للمتصدر. العلم: وهو الركيزة الأولى، والعقل: الذي يعرف به محاسن الأمور ومساوئها، وهذه الركيزة الثانية.
- [ تعرٌف على ] عين أم السجور
- [ متاجر السعودية ] خدمات عامة وحكومية ... بيش ... منطقة جازان
- [ مبيعات وخدمات تأجير السعودية ] مؤسسة محمد سعيد بابيضان التجارية
- [ ماذونين السعودية ] احمد بن عبدالله بن خضران الزهراني ... الباحة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] خالد عبدالله سليمان العنقري ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مؤسسة رشا حسين عبدرب النبى الثقفى للخدمات الطلابية ... صامطه ... منطقة جازان
- [ حكمــــــة ] عن وهب بن منبه قال : ينزل البلاء ليستخرج الدعاء . قال سفيان الثوري : لقد أنعم الله على عبد في حاجته أكثر من تضرعه اليه فيها .
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد ناصر عبدالرحمن المبيريك ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] حرب التنظيم
- [ تعرٌف على ] ميوتو
- [ متاجر السعودية ] شركة السلطان ... منطقة القصيم
- [ سيارات السعودية ] شركة الوفاء
- [ مبيعات وخدمات تأجير السعودية ] مكتب الشوندر للعقارات
- [ تعرٌف على ] سوزان سارندون
- [ العناية بالبشرة ] 10 من أهم فوائد الجلسرين السائل للوجه
- [ تعرٌف على ] العلاقات السويدية الباربادوسية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ياسر محمد عبدالله ابوعجمه ... ابها ... منطقة عسير
- [ تعرٌف على ] أخلاقيات الاستنساخ
- [ تعرٌف على ] العلاقات البوليفية الزيمبابوية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبير ظافر عبدالله بن خرصان ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] حكومة محمود الزعبي الأولى
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] احمد فائز محمدامين خوجه ... جدة ... منطقة مكة المكرمة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فهد ابن مانع ابن سيف القحطاني ... خميس مشيط ... منطقة عسير
- [ تعرٌف على ] العلاقات الإثيوبية المالطية
- [ مقاولون السعودية ] مؤسسة حسين عبد الوهاب للمقاولات
- [ تعرٌف على ] قائمة المجازر خلال الحرب الأهلية السورية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نوره عبدالرحمن بن حمد الحمد ... القريات ... منطقة الجوف
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] بندر عبدالرحمن مرزوق المطوع ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] العلاقات المجرية السويسرية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عمار يحي علي ابوهديه ... بحره ... منطقة مكة المكرمة
- [ تعرٌف على ] الجامعة العالمية للعلوم الإسلامية
- [ اثاث منزلى السعودية ] مفروشات النصار للأثاث
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] حسين هاشم بن علي الحسن ... الاحساء ... المنطقة الشرقية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] راكان احمد عيفان الحارثي ... الطائف ... منطقة مكة المكرمة
- [ اثاث منزلى السعودية ] مؤسسة درب السعادة للمفروشات
- [ متاجر السعودية ] بوتيك إيفان ... الخرج ... منطقة الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] خالد بن محسن بن حسن الزهراني ... جدة ... منطقة مكة المكرمة
- [ تعرٌف على ] العلاقات الإثيوبية الباكستانية
- [ محامين السعودية ] فهد عبدالله ماجد العتيبي ... الرياض
- [ متاجر السعودية ] بيطري الكمبيوتر ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] تشيمالهواكان
- [ تعرٌف على ] شادي سوقية
- [ ملابس السعودية ] مركز الخزان للملابس الجاهزة
- [ شركات طبية السعودية ] شركة تقنية السلامة البيئية للخدمات المتخصصة ... الدمام
- [ تعرٌف على ] أفضل الصلوات على سيد السادات (كتاب)
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] باسل طالب ضيف الله الغويري ... الدمام ... المنطقة الشرقية
- [ تعرٌف على ] إي. كوبهام بروير
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مطيره سعد عليان المحمادي ... جدة ... منطقة مكة المكرمة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عايد سلمان حافظ الرشيدي ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة
- [ مدن وبلدان ] أين تقع مدينة الخليل
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فاطمه عليوي معلا الطلحي ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة
- [ مهارات فردية ] كيف تحقق الهدف
- [ تعرٌف على ] غدة جارة الدرقية
- [ العسل ] أهم 14 مرض يتم معالجتهم بوضع العسل على السرة قبل النوم
- [ تعرٌف على ] كأس السوبر الآسيوي
- [ شركات مقاولات السعودية ] مؤسسة نوره علي يحي حنش للمقاولات العامة ... جازان ... جازان
- [ ملابس السعودية ] مؤسسة سعيد عايض للملابس الجاهزة
- [ شركات طبية السعودية ] شركه بسام التجاريه المحدوده ... الرياض
- [ وزارات وهيئات حكومية السعودية ] مديرية الشرطة
- [ سيارات السعودية ] السراني لقطع غيار السيارات
- [ شركات مقاولات السعودية ] شركة رؤى المشاريع للمقاولات ... الرياض ... الرياض
- [ تعرٌف على ] طائرة
- [ تعرٌف على ] أغنية المسيح
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مكتب صالح بن علي بن مسفر القحطاني للعقارات ... صامطه ... منطقة جازان
- [ تعرٌف على ] كأس العالم 2022 المجموعة الثانية
- [ خدمات السعودية ] اسئلة مسابقات عائلية حماسية مع الحل 2023
- [ تعرٌف على ] إيميلى روزا
- [ متاجر السعودية ] رؤية ابداع ... قياء ... منطقة مكة المكرمة
- [ تعرٌف على ] أوهلاند
- [ تعرٌف على ] قائمة وزراء المالية (مصر)
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عيضه رده فرج المالكي ... الطائف ... منطقة مكة المكرمة
- [ مقاولون السعودية ] مؤسسة محمد العجيمى للمقاولات
- [ مطاعم السعودية ] مطعم شاورما
- [ مطاعم السعودية ] دومينوز بيتزا
- [ مقاولون السعودية ] مؤسسة علي الجبالي للمقاولات
- [ تعرٌف على ] الآثار الاجتماعية للنظرية التطورية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ابراهيم محمد مفلح غالطي ... جازان ... منطقة جازان
- [ حكمــــــة ] 10- بلادة الحواس ؛ لأن بوابات الفكر ومنافذ العقل هي الحواس من سمع وبصر وذوق وحس وشمّ. فإذا عوَّد الإنسان حواسه على دقة الملاحظة وسرعة الاستجابة نشطت للعمل وكانت نعم العون للتفكير، وإذا عوَّدها على الخمول والكسل تعطلت عن أداء وظائفها وأصبح حال صاحبها كما قال الله تعالى: ( وَلَقَدْ ذَرَأْنَا لِجَهَنَّمَ كَثِيراً مِنَ الْجِنِّ وَالْأِنْسِ لَهُمْ قُلُوبٌ لا يَفْقَهُونَ بِهَا وَلَهُمْ أَعْيُنٌ لا يُبْصِرُونَ بِهَا وَلَهُمْ آذَانٌ لا يَسْمَعُونَ بِهَا أُولَئِكَ كَالْأَنْعَامِ بَلْ هُمْ أَضَلُّ أُولَئِكَ هُمُ الْغَافِلُونَ ).
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] هديل علي عبدالرحمن الميمان ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] كليجا
- [ متاجر السعودية ] نوارا ستار ... الافلاج ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] منتخب أستراليا تحت 20 سنة لكرة القدم
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] طلال صالح علي القحطاني ... خميس مشيط ... منطقة عسير
- [ شركات مقاولات السعودية ] مؤسسة الاتقان المهني للمقاولات العامة ... الطائف ... مكة المكرمة
- [ متاجر السعودية ] مؤسسة رهف نظمي محمد نظام الدين لتنظيم الرحلات ... جدة ... منطقة مكة المكرمة
- شركة نقل اثاث بالرياض|ظواهر الخليج
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
[ تعرٌف على ] فضاء هيلبرت # أخر تحديث اليوم 2024/05/22
تم النشر اليوم 2024/05/22 | فضاء هيلبرت
تاريخ
ديفيد هيلبرت
قبل فضاءات هلبرت، كانت التعميمات الأخرى للفضاءات الإقليدية معروفة لعلماء الرياضيات والفيزياء. على وجه الخصوص، اكتسبت فكرة الفضاء الخطي المجرد (فضاء المتجهات) بعض الزخم قرب نهاية القرن التاسع عشر: ففي فضاء المتجهات يمكن للمرء جمع المتجهات معا أو ضربها في كميات قياسية (مثل الأعداد الحقيقية أو المركبة) ولا يشترط بالضرورة أن تكون معبرة عن عناصر هندسية فيزيائية، مثل متجهات الموقع والزخم. في مطلع القرن العشرين درس علماء الرياضيات أيضًا فضاءات يمكن اعتبارها خطية كـ المتواليات (بما في ذلك المتسلسلات) والدوال. فعلى سبيل المثال، في فضاءات الدوال يمكن إضافة الدوال معًا أو ضربها بعدد قياسي ثابت، وهذه العمليات تخضع لنفس القواعد الجبرية التي تنطبق على عمليات الجمع والضرب القياسي في فضاء المتجهات. في العقد الأول من القرن العشرين، أدت تطورات موازية لظهور فضاءات هلبرت. كان أولها أثناء دراسة ديفيد هيلبرت وإيرهارد شميدت للمعادلات التكاملية، حيث لاحظوا أن الدالتين f و g لهم قيم حقيقية قابلين للتكامل تربيعيا على a, b لهما جداء داخلي بالشكل التالي:
⟨
f
,
g
⟩
= ∫ a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d x
{displaystyle langle f,grangle =int _{a}^{b}f(x)g(x),mathrm {d} x} له العديد من الخصائص المعروفة للجداء النقطي الإقليدي. بالتحديد، خاصية فئة الدوال المتعامدة. استغل شميدت تشابه هذا الجداء الداخلي مع الجداء النقطي المعروف لإثبات وجود تناظر بين التفريق الطيفي والمؤثر من الشكل التالي f
(
x
)
↦ ∫ a
b
K
(
x
,
y
)
f
(
y
)
d y
{displaystyle f(x)mapsto int _{a}^{b}K(x,y)f(y),mathrm {d} y}
حيث K دالة متصلة متناظرة في x و y. ويعبر التوسع الذاتي عن الدالة K في صورة متسلسلة من الشكل التالي: K
(
x
,
y
)
= ∑ n λ n φ n
(
x
) φ n
(
y
)
{displaystyle K(x,y)=sum _{n}lambda _{n}varphi _{n}(x)varphi _{n}(y)}
حيث الدوال φn متعامدة بمعنى أن ⟨φn, φm⟩ = 0لجميع القيم n ≠ m يشار أحيانًا للحدود الفردية في هذه المتسلسلة على أنها حلول جداء أولية “elementary product solutions”. ومع ذلك، هناك توسعات للدالة الذاتية تفشل في التقارب نحو دالة كمولة تربيعيا: وهنا نشير لأهمية الاكتمال، الذي يضمن حدوث التقارب. كان التطور الثاني هو تكامل لوبيغ الذي طوره هنري لوبيغ عام 1904 كبديل لتكامل ريمان. وأصبح من الممكن تكامل فئة أوسع بكثير من الدوال. في عام 1907، أثبت كلا من Frigyes Riesz و Ernst Sigismund Fischer بشكل مستقل أن الفضاء L2 لدوال لوبيغ القابلة للتكامل (الكمولة) هو فضاء متري كامل. بسبب مفهوم الاكتمالوتوظيفه هندسيا، فإن نتائج القرن التاسع عشر لجوزيف فورييه وفريدريك بيسيل ومارك أنطوان بارسيفال “Marc-Antoine Parseval” على المتسلسلات المثلثية تم استخدامها بيسر في هذه الفضاءات العامة، مما أنتج أداة هندسية وتحليلية تعرف الآن عادة باسم نظرية ريش فيشر “Riesz–Fischer theorem”. اُثبتت المزيد من النتائج الأساسية في أوائل القرن العشرين. على سبيل المثال، وُضِعَتْ نظرية تمثيل ريش “Riesz representation theorem” بشكل مستقل من قبل موريس فريشيه وفريغيس ريش “Frigyes Riesz” في عام 1907. كما صاغ جون فون نيومان مصطلح فضاء هيلبرت المجرد في عمله على المؤثرات الهرميتية “Hermitian operators” غير المحدودة. على الرغم من أن علماء رياضيات آخرين مثل هيرمان فايل ونوربرت وينر قد درسوا بالفعل بتعمق فضاءات معينة من فضاءات هلبرت، غالبًا من وجهة نظر فزيائية، فإن فون نيومان قدم أول معالجة كاملة مع مسلماتها. واستخدمها فون نيومان لاحقًا في عمله الأساسي في أسس ميكانيكا الكم، وفي عمله مع يوجين ويغنر. وسرعان ما تبنى آخرون اسم «فضاء هلبرت»، مثل هيرمان فايل في كتابه عن ميكانيكا الكم ونظرية المجموعات. تأكدت أهمية مفهوم فضاء هلبرت بتوفيره واحدة من أفضل الصيغ الرياضية لميكانيكا الكم. وإختصارًا، فإن حالات نظام ميكانيكي كمي هي متجهات في فضاء هيلبرت معين، والمرصودات “observables” هي مؤثرات هرميتية “Hermitian operators” في هذا الفضاء، والمتناظرات في النظام هي مؤثر واحدي “Unitary operator”، والقياسات هي إسقاط عمودي. قدمت العلاقة بين التناظرات الميكانيكية الكمومية والمؤثرات الواحدية حافزًا لتطوير نظرية التمثيل الوحدوي للمجموعات، التي بدأت في عمل هيرمان فايل عام 1928. من ناحية أخرى، في أوائل الثلاثينيات من القرن العشرين أصبح من الممكن وصف الميكانيكا الكلاسيكية بمصطلحات فضاء هيلبرت (ميكانيكا كوبمان-فون نيومان الكلاسيكية “Koopman–von Neumann classical mechanics”) وتحليل خصائص معينة للأنظمة الديناميكية الكلاسيكية باستخدام تقنيات فضاء هلبرت في إطار نظرية إرجوديك. وفقًا لصياغة فيرنر هايزنبرغ لميكانيكا المصفوفة الكمية فإن جبر المرصودات [الإنجليزية] في ميكانيكا الكم هو بطبيعة الحال جبر المؤثرات المعرفة في فضاء هيلبرت. بدأ فون نيومان دراسة جبر المؤثرات في ثلاثينيات القرن العشرين، كحلقة مؤثرات في فضاء هيلبرت. يُعرف نوع الجبر الذي درسه فون نيومان ومعاصروه الآن باسم جبر فون نيومان “Von Neumann algebra”. في الأربعينيات من القرن العشرين، قدم إسرائيل جيلفاند ومارك نيمارك “Mark Naimark” وإيرفينغ سيغال تعريفًا لنوع من جبر المؤثرات يُدعى “C*-algebra” الذي لم يشر إلى فضاء هيلبرت، ولكنه استنبط العديد من المميزات المفيدة في جبر المؤثرات السابق دراستها. النظرية الطيفية للمؤثرات الهرميتية على وجه الخصوص والتي تكمن وراء الكثير من نظرية فضاء هلبرت الحالية عُممت على “C * -algebras”. هذه التقنيات هي الآن أساسية في التحليل التوافقي التجريدي ونظرية التمثيل.
تعريف وتوضيح
مثال تحفيزي: فضاء المتجه الإقليدي
أحد الأمثلة الأكثر شيوعًا لفضاء هيلبرت هو فضاء المتجه الإقليدي المكون من متجهات ثلاثية الأبعاد، وعملية الجداء النقطي، ويُشار إليه بالرمز R3. عملية الجداء القياسي تأخذ متجهين x وy وينتج عنها عدد حقيقي x ⋅ y. لو مثلنا x وy بالإحداثيات الديكارتية، فإن حاصل الجداء القياسي يكون: (
x 1 x 2 x 3 )
⋅
(
y 1 y 2 y 3 )
= x 1 y 1
+ x 2 y 2
+ x 3 y 3 .
{displaystyle {begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}}cdot {begin{pmatrix}y_{1}\y_{2}\y_{3}end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3},.} الجداء النقطي يستوفي الخصائص التالية: متماثل في x و y: x ⋅ y = y ⋅ x
خطي لأول جزء من العنصر: (ax1 + bx2) ⋅ y = ax1 ⋅ y + bx2 ⋅ y لأي قيمة عددية a و b والمتجهات x1 وx2 وy
محدد إيجابيا: لجميع المتجهات x، x ⋅ x ≥ 0 ، ويساوي الصفر إذا وفقط إذا كان x = 0
الجداء النقطي الذي يتم إجراؤه على أزواج المتجهات والمستوفي لهذه الخصائص الثلاث، يعرف بالجداء الداخلي (الحقيقي). فضاء المتجه الحاوي لهذا الجداء الداخلي الحقيقي يُعرف كـ فضاء جداء داخلي (حقيقي). كل فضاء جداء داخلي ذو أبعاد محدودة هو أيضًا فضاء هيلبرت. الخاصية الأساسية للجداء النقطي التي تربطه بالهندسة الإقليدية هي أنه مرتبط بطول (أو معيار) المتجه، المشار إليه بـ ||x|| ، والزاوية θ بين متجهين x و y عن طريق الصيغة:
x ⋅ y = ‖ x ‖
‖ y ‖
cos
θ .
{displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {y} =left|mathbf {x} right|left|mathbf {y} right|,cos theta ,.} الاكتمال يعني أنه إذا تحرك جسيم على طول المسار المتعرج (باللون الأزرق) قاطعًا مسافة إجمالية محدودة، فإن الجسيم لديه إزاحة صافية محددة جيدًا (باللون البرتقالي).
حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات في الفضاء الإقليدي يعتمد على حساب النهايات، وللحصول على معايير مفيدة لاستنتاج وجود النهايات. فإن المتسلسلة الرياضية
∑ n
=
0
∞
x
n
{displaystyle sum _{n=0}^{infty }mathbf {x} _{n}} المكونة من متجهات في R3 تتقارب بشكل مطلق شريطة أن يتقارب مجموع الأطوال كأي متسلسلة عادية من الأعداد الحقيقية:
∑ k
=
0
∞
‖
x
k
‖
<
∞ .
{displaystyle sum _{k=0}^{infty }|mathbf {x} _{k}|
0
if x
≠
0
,
⟨
x
,
x
⟩
=
0
if x
=
0 .
{displaystyle {begin{alignedat}{4}langle x,xrangle >0&quad {text{ if }}xneq 0,\langle x,xrangle =0&quad {text{ if }}x=0,.end{alignedat}}}
نستنتج من الخاصيتين 1 و 2 أن الجداء الداخلي المركب هو اقتران غير خطي “antilinear map”، ويسمى أيضًا “conjugate linear”، للجزء الثاني من العنصر، بمعنى أن: ⟨
x
,
a y 1
+
b y 2
⟩
= a
¯ ⟨
x
, y 1
⟩
+ b
¯ ⟨
x
, y 2
⟩ .
{displaystyle langle x,ay_{1}+by_{2}rangle ={bar {a}}langle x,y_{1}rangle +{bar {b}}langle x,y_{2}rangle ,.} فضاء الجداء الداخلي الحقيقي يُعرف بنفس الطريقة، عدا أن H هو فضاء متجهي حقيقي وأن الجداء الداخلي يأخذ قيمًا حقيقية. مثل هذا الجداء الداخلي سيكون اقترانا ثنائي الخطوط و (
H
,
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{displaystyle (H,H,langle cdot ,cdot rangle )} سيشكل نظام ثنائي. المعيار هي دالة حقيقية القيمة تعرف على النحو التالي:
‖
x
‖
=
⟨
x
,
x
⟩ ,
{displaystyle |x|={sqrt {langle x,xrangle }},,} والمسافة d
{displaystyle d} بين نقطتين x
,
y
{displaystyle x,y} في H تُعَرَّف عن طريق المعيار بالشكل التالي: d
(
x
,
y
)
=
‖
x
−
y
‖
=
⟨
x
−
y
,
x
−
y
⟩ .
{displaystyle d(x,y)=|x-y|={sqrt {langle x-y,x-yrangle }},.} ودالة المسافة هذه تعني أولاً أنها متناظرة في x
x و y
{displaystyle y} (نفس القيمة سواء من x
x إلى y
{displaystyle y} أو من y
{displaystyle y} إلى x
x ) وثانيا أن المسافة بين x
x ونفسها صفر، وعدا ذلك فالمسافة بين x
x و y
{displaystyle y} يجب أن تكون موجبة، وأخيرًا تظل متباينة المثلث قائمة، مما يعني أن طول أحد أضلاع المثلث xyz لا يمكن أن يتجاوز مجموع طولي الساقين الآخرين: d
(
x
,
z
)
≤
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
z
) .
{displaystyle d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z),.}
هذه الخاصية الأخيرة هي في الأخير نتاج لمتباينة كوشي -شوارتز، والتي تؤكد أن:
| ⟨
x
,
y
⟩ | ≤
‖
x
‖
‖
y
‖
{displaystyle left|langle x,yrangle right|leq |x||y|} ويتساوون إذا وفقط إذا كان x
x و y
{displaystyle y} غير مستقلين خطيًا. بوجود دالة مسافة مُعَرَّفة بهذا الشكل، فإن أي فضاء جداء داخلي هو فضاء متري، ويُعرف أحيانًا باسم «فضاء هاوسدورف ما قبل هلبرت» (Hausdorff pre-Hilbert space). أي فضاء ما قبل هلبرت وأيضًا فضاء كامل فهو فضاء هيلبرت. يُعبر عن اكتمال H باستخدام نموذج من اختبار كوشي للمتسلسلات في H: ففضاء ما قبل هلبرت H مكتمل إذا كان كل متسلسلة كوشية تتقارب بالنسبة للمعيار إلى عنصر في الفضاء. يمكن وصف الاكتمال بالشرط المكافئ التالي: إذا كانت متسلسلة المتجهات
∑ k
=
0
∞ u k
{displaystyle sum _{k=0}^{infty }u_{k}} تتقارب بشكل مطلق بمعنى أن
∑ k
=
0
∞
‖ u k
‖
<
∞ ,
{displaystyle sum _{k=0}^{infty }|u_{k}|<infty ,,} فإن المتسلسلة تتقارب في H، بمعنى أن المجاميع الجزئية تتقارب إلى عنصر في H ولأن فضاءات هلبرت معيارية كاملة، فإنها بالتعريف هي أيضًا فضاءات باناخ. ولذا فهي فضاءات متجهات طوبولوجية، حيث مفاهيم الطوبولوجيا مُعَرَفَة بشكل جيد مثل انفتاح وانغلاق المجموعات الفرعية. لفكرة الفضاء الجزئي الخطي المغلق في فضاء هلبرت أهمية خاصة، حيث يصبح فضاءًا مكتملًا أيضًا مع الجداء الداخلي المُقَيد، (كونه مجموعة مغلقة في فضاء متريّ كامل) وبالتالي فهو فضاء هيلبرت في حد ذاته. المثال الثاني: فضاءات المتسلسلات
فضاء المتسلسلة الذي يرمز له بـ l2 يتكون من جميع المتتاليات اللانهائية z = (z1, z2, …) من الأعداد المركبة بحيث تكون المتسلسلة
∑ n
=
1
∞ |
z n
|
2
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }|z_{n}|^{2}} متقاربة. ويُعَرَّف الجداء الداخلي في l2 على النحو التالي: ⟨ z , w ⟩
= ∑ n
=
1
∞ z n w n
¯ ,
{displaystyle langle mathbf {z} ,mathbf {w} rangle =sum _{n=1}^{infty }z_{n}{overline {w_{n}}},,} وكنتيجة لمتباينة كوشي -شفارز، فإن المتسلسلة الأخيرة تتقارب. شرط اكتمال الفضاء متحقق طالما أن متسلسلة من العناصر من l2 تتقارب مطلقًا بالنسبة للمعيار، إذا فإنها تتقارب لـ عنصر في l2. يعتبر البرهان أساسيًا في التحليل الرياضي، ويسمح بالتعامل مع متسلسلة من عناصر الفضاء بنفس السهولة كما في حالة متسلسلة أرقام مركبة (أو متجهات في فضاء إقليدي محدود الأبعاد).
شرح مبسط
المفهوم الرياضياتي لفضاء هيلبرت (بالإنجليزية: Hilbert space) يعمم مفهوم الفضاء الإقليدي.[1][2][3] فهو فضاء معياري معرف عليه دالة الجداء الداخلي بشرط أن يكون المعيار المعرف عليه هو بدلالة دالة الجداء الداخلي هذه، بالإضافة إلى وجوب كونه فضاء معياريا كاملا أو ما يدعى ب فضاء باناخ. وهذا يعني أن أي فضاء هيلبرت هو فضاء باناخ ولكن العكس غير صحيح.
مثال على ذلك، الفضاء Q هو فضاء منتظم تحت النظيم العادي ولكنه ليس بفضاء بانخ.