- [ شركات مقاولات السعودية ] شركة شمسا الشرق للمقاولات العامة ... الدمام ... الشرقية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مكتب أمتار الشمال العقاري ... عرعر ... منطقة الحدود الشماليه
- [ تعرٌف على ] توريليا
- [ تعرٌف على ] ناجية الربيع
- [ فــــــرصةصحيح الترغيب للالبانى ] عن جرير بن عبد الله رضي الله عنه قال : بايعت رسول الله صلى الله عليه وسلم على إقام الصلاة وإيتاء الزكاة والنصح لكل مسلم .
- [ حدادون الامارات ] ورشة عمان للحدادة
- [ اعلان السعودية ] كليك للدعاية والاعلان
- [ تعرٌف على ] طية دهليزية
- [ باطني وقناة هضمية ] ما علاج حرقان المعدة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] احمد غرم الله احمد الغامدي ... الباحة ... منطقة الباحة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالله عبدالرحمن صالح الراجح ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] نادي النصر (السعودية)
- [ تعرٌف على ] العلاجات البديلة لنزلات البرد
- [ متاجر السعودية ] مؤسسة تطبيق لوري للإتصالات وتقنية المعلومات ... المدينة المنورة ... منطقة المدينة المنورة
- [ تعرٌف على ] العلاقات الصربية المالاوية
- [ تعرٌف على ] سعيد بن طحنون آل نهيان
- [ أمراض الحساسية ] أعراض حساسية البيض عند الرضع
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] منيره سعد محمد القرني ... الدمام ... المنطقة الشرقية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد عبدالرحمن درويش الغباشي ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة
- [ محامين السعودية ] عمار جبير زائد المطيري ... الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد مسعد بن سعيد المطرفى ... مكه المكرمه ... منطقة مكة المكرمة
- [ تعرٌف على ] فترة فيدية
- [ تعرٌف على ] رجاء يوسف
- [ مؤسسات البحرين ] مانيلا للأيدي العاملة ... منامة
- [ تعرٌف على ] متحف الحياة الريفية الإنجليزية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد سعد ابن عبدالله القحطاني ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ خدمات السعودية ] تفاصيل دوام البنوك في يوم التاسيس السعودي 2023 / 1444
- [ تعرٌف على ] فيضانات أوتاراخند 2021
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سلمان علي سعيد النعيري ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] همام فهد مبارك الدوسري ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] ساعة أبل الإصدار 2
- [ شركات مقاولات السعودية ] مؤسسة العمران البديع للمقاولات ... الرياض ... الرياض
- [ مكتبات السعودية ] مكتبة الازهري
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد مدنى محمدحامد السيد ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة
- [ أقوال المبغضين ] اصبر على ما يشيعه عنك مبغضوك من سوء، ثم انظر فيما يقولون، فإن كان حقًّا فأصلح نفسك، وإن كان كذباً فلا تشك في أن الله يظهر الحق ولو بعد المدى { إن الله يدافع عن الذين آمنوا }
- [ اثاث منزلى السعودية ] محلات المعتوق للمفروشات
- [ تعرٌف على ] نصوص التوابيت
- [ تعرٌف على ] كروموسوم
- [ تعرٌف على ] 23 ربيع الأول
- [ تعرٌف على ] عنقود مغلق
- [ حكمــــــة ] قال عبد الحميد: من أخر الفرصة عن وقتها فليكن على ثقة من فوتها.
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فاطمه محمد جابر الشهراني ... الحقو ... منطقة جازان
- [ سيارات السعودية ] ورشة ناصركيرمان لكهرباء السيارات
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سعود عبدالرحمن بن محمد بن الدوسري ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ متاجر السعودية ] متجر الورقة الأخيرة ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ سياحة وترفيه الامارات ] ملعب الجاردنز للكريكيت ... دبي
- [ ملابس السعودية ] مؤسسة عبدالله محسن سليمان
- [ تعرٌف على ] لوترية (فيلم 2010)
- [ دليل أبوظبي الامارات ] بنك الخليج الاول ... أبوظبي
- [ تعرٌف على ] الحرب الأهلية الأفغانية (1989–1992)
- [ متاجر السعودية ] النور لدورات ... البلاد الوسطى ... منطقة الرياض
- [ متاجر السعودية ] تركي نافع الزيلعي ... القنفذة ... منطقة مكة المكرمة
- [ تعرٌف على ] لجأة المستنقعات
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ابراهيم محمد سعد المهيزع ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] نياغارا (ويسكونسن)
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد بن عبدالله بن يوسف جليح ... تاروت ... المنطقة الشرقية
- [ متاجر السعودية ] عبايات شوق الفراج ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نايف عبدالله عتيق العطوي ... حقل ... منطقة تبوك
- [ تعرٌف على ] مصطلحات علم التصوف
- [ تعرٌف على ] تشيستر (تكساس)
- [ متاجر السعودية ] رايتنق سنتر ... مكة المكرمة ... منطقة مكة المكرمة
- [ تعرٌف على ] العلاقات السويدية الكيريباتية
- [ سيارات السعودية ] محل الدولى لقطع غيارالسيارات
- [ تعرٌف على ] العلاقات التنزانية البيلاروسية
- [ شركات مقاولات السعودية ] مؤسسة فاطمه محمد احمد صميلي للمقاولات عامة ... صامطة ... جازان
- [ مقاولات و مقاولات عامة قطر ] شواطي الابداع للمقاولات
- [ تعرٌف على ] العلاقات الأوكرانية المالاوية
- [ تعرٌف على ] منتخب ألمانيا تحت 17 سنة لكرة القدم للسيدات
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالباري ماطر مناحي القرشي ... مكه المكرمه ... منطقة مكة المكرمة
- [ تعرٌف على ] ساركومة
- [ تعرٌف على ] بروتوكول الوصول إلى رسائل الإنترنت
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] اسماء عبدالله مفرح الشهري ... تنومة ... منطقة عسير
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مؤسسة هيوج العقارية ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] العلاقات الأوكرانية الناميبية
- [ تعرٌف على ] أشتورية
- [ مطاعم السعودية ] مطعم الوجبات السريعة عائشة محمد ال ارارب
- [ تعرٌف على ] عنقود مجري هائل
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] خالد سعد ابن سراي الشمري ... الخفجى ... المنطقة الشرقية
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] جميل حوال محمد العضياني ... الحويه ... منطقة مكة المكرمة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] جميله عايض سودان المطيري ... الحريق ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] العلاقات البالاوية الزامبية
- [ سيارات السعودية ] مركز الحربى للميزان والترصيص
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] أسماء سعيد جابر الوادعي ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ مطاعم السعودية ] مطاعم ومطابخ جالكسي
- [ شركات طبية السعودية ] شركة رعاية المستشفيات ... الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] معاذ محمد ابراهيم الخضيرى ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعريفات إسلامية ] ما هو توحيد الربوبية؟ وكيف يكون توحيد الله الواحد؟
- [ شركات مقاولات السعودية ] مؤسسة دور طيبة للمقاولات ... المدينة المنورة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] رائد عويجان بن ذياب العنزي ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] حسون أوراسي
- [ تعرٌف على ] نشيد جنوب السودان
- [ تعرٌف على ] بيتر أيزنمان
- [ محامين السعودية ] سطام ماهر رابح الحازمي ... الرياض
- [ اغذية السعودية ] مؤسسة عبدالله عبد الكريم الرشيد للتجارة
- [ حكمــــــة ] ما أضيق العالم لولا سَعة رحمتك وعظيم فضلك وجميل عفوك وعافيتك يارب!
- [ متاجر السعودية ] متجر ار المنزل ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالسلام محمد سعيد الغامدي ... الجبيل ... المنطقة الشرقية
- [ متاجر السعودية ] صالون الفيصل للعناية الفائقة بالرجال والأطفال ... الشـرائع ... منطقة مكة المكرمة
- [ مطاعم السعودية ] مطعم الطاهى
- [ تعرٌف على ] جسر بولتيني
- شركة نقل اثاث بالرياض|ظواهر الخليج
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
[ تعرٌف على ] قطع مكافئ # أخر تحديث اليوم 2024/05/16
تم النشر اليوم 2024/05/16 | قطع مكافئ
اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل
منحنى مكافئي يوضح الدليل (L) والبؤرة (F)، ويتضح أن المسافة من أي نقطة Pn إلى البؤرة هي دائمًا نفس المسافة من Pn إلى أي نقطة Qn تقع على الدليل أسفلها مباشرة.
منحنى مكافئي يوضح خط اختياري (L), والبؤرة (F), ورأس القطع المكافئ (V). الخط L هو خط اختياري عمودي على محور التماثل من جهة البؤرة، ويبعد عن V أكثر مما يبعد عن F ، طول أي خط F – Pn – Qn متساو، هذا يعني أن القطع المكافئ هو قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند مالا نهاية.
لتحديد إحداثيات النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط ذي محور تماثل موازٍ لمحور الصادات (محور تماثل رأسي)، ورأسه يقع عند نقطة الأصل (0,0)، ولتكن معادلته على الصورة: y
=
a x 2
{displaystyle y=ax^{2},!}
فإن أي نقطة على القطع المكافئ ستقع على مسافة من النقطة البؤرية (0,f) مساوية للمسافة بينها وبين الدليل L، الذي يتعامد على محور تماثل القطع المكافئ (في هذه الحالة يوزاي محور السينات)، ويمر بالنقطة (0,f-)، وبالتالي فإن أي نقطة (P=(x,y على القطع المكافئ ستكون على مسافة متساوية من كلتا النقطتين (0,f) و (x,-f). أي خط FP يصل بين البؤرة وأي نقطة على القطع المكافئ يتساوى في الطول مع أي خط QP مرسوم عموديًا من هذه النقطة الواقعة على القطع المكافئ إلى الدليل ويقطعه في النقطة Q. المثلث القائم الذي وتره FP، وطولا ضلعي قائمته هما: x و f-y (المسافة الرأسية بين F و P)، يكون طول وتره ‖
F
P
‖
= x 2
+
(
f
−
y ) 2
{displaystyle |FP|={sqrt {x^{2}+(f-y)^{2}}},!}
(لاحظ أن ²(f-y) و²(y-f) يعطيان نفس الناتج لأنهما مربعان.) طول الخط QP يساوي المسافة الرأسية بين النقطة P ومحور السينات (أي المسافة y) بالإضافة إلى المسافة الرأسية من محور السينات إلى الدليل (أي المسافة f). ‖
Q
P
‖
=
f
+
y
{displaystyle |QP|=f+y,!}
هاتان القطعتان المستقيمتان متساويتان في الطول، وكما ذكر سابقًا y=ax² وبالتالي ‖
F
P
‖
=
‖
Q
P
‖
{displaystyle |FP|=|QP|,!} x 2
+
(
f
−
a x 2 ) 2
=
f
+
a x 2
{displaystyle {sqrt {x^{2}+(f-ax^{2})^{2}}}=f+ax^{2},!}
بتربيع الطرفين
x 2
+
( f 2
−
2
a x 2
f
+ a 2 x 4
)
=
( f 2
+
2
a x 2
f
+ a 2 x 4
)
{displaystyle x^{2}+(f^{2}-2ax^{2}f+a^{2}x^{4})=(f^{2}+2ax^{2}f+a^{2}x^{4}),!}
بطرح الحدود المتشابهة من الطرفين
x 2
−
2
a x 2
f
=
2
a x 2
f
{displaystyle x^{2}-2ax^{2}f=2ax^{2}f,!} x 2
=
4
a x 2
f
{displaystyle x^{2}=4ax^{2}f,!}
بقسمة x² من الطرفين (بفرض أن x لا تساوي الصفر) 1
=
4
a
f
{displaystyle 1=4af,!}
f
=
1 4
a {displaystyle f={1 over 4a},!}
وبالتالي للقطع المكافئ الذي على الصورة f(x)=x²، المعامل a يساوي 1، وبالتالي فإن النقطة البؤرية F هي (0,¼) كما ذكر أعلاه، هذا هو اشتقاق النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط، رأسه في نقطة الأصل ويتماثل حول محور الصادات، أما بالنسبة لأي قطع مكافئ معمم، معادلته على الصورة القياسية y
=
a x 2
+
b
x
+
c
{displaystyle y=ax^{2}+bx+c,!} ,
بؤرته تقع عند النقطة
(
−
b
2
a , − b 2
4
a +
c
+
1 4
a
) {displaystyle left({frac {-b}{2a}},{frac {-b^{2}}{4a}}+c+{frac {1}{4a}}right),!}
والتي يمكن كتابتها على الصورة
(
−
b
2
a ,
c
−
b 2
−
1
4
a
) {displaystyle left({frac {-b}{2a}},c-{frac {b^{2}-1}{4a}}right),!}
والدليل يعطى بالعلاقة y
= − b 2
4
a +
c
−
1 4
a {displaystyle y={frac {-b^{2}}{4a}}+c-{frac {1}{4a}},!}
والتي يمكن أن تكتب على الصورة y
=
c
−
b 2
+
1
4
a {displaystyle y=c-{frac {b^{2}+1}{4a}},!}
معادلات
إحداثيات ديكارتية
محور تماثل رأسي
(
x
−
h ) 2
=
4
p
(
y
−
k
) {displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k),}
y
= (
x
−
h ) 2
4
p +
k {displaystyle y={frac {(x-h)^{2}}{4p}}+k,}
y
=
a x 2
+
b
x
+
c {displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
حيث a
=
1 4
p ;
b
= −
h
2
p ;
c
= h 2 4
p +
k
;
{displaystyle a={frac {1}{4p}}; b={frac {-h}{2p}}; c={frac {h^{2}}{4p}}+k; }
h
= −
b
2
a ;
k
= 4
a
c
− b 2
4
a {displaystyle h={frac {-b}{2a}}; k={frac {4ac-b^{2}}{4a}}} .
الصورة البارمترية: x
(
t
)
=
2
p
t
+
h
;
y
(
t
)
=
p t 2
+
k {displaystyle x(t)=2pt+h; y(t)=pt^{2}+k,}
محور تماثل أفقي
(
y
−
k ) 2
=
4
p
(
x
−
h
) {displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h),}
x
= (
y
−
k ) 2
4
p +
h
;
{displaystyle x={frac {(y-k)^{2}}{4p}}+h; ,}
x
=
a y 2
+
b
y
+
c {displaystyle x=ay^{2}+by+c,}
حيث a
=
1 4
p ;
b
= −
k
2
p ;
c
= k 2 4
p +
h
;
{displaystyle a={frac {1}{4p}}; b={frac {-k}{2p}}; c={frac {k^{2}}{4p}}+h; }
h
= 4
a
c
− b 2
4
a ;
k
= −
b
2
a {displaystyle h={frac {4ac-b^{2}}{4a}}; k={frac {-b}{2a}}} .
الصورة البارمترية: x
(
t
)
=
p t 2
+
h
;
y
(
t
)
=
2
p
t
+
k {displaystyle x(t)=pt^{2}+h; y(t)=2pt+k,}
قطع مكافئ عام
الصورة العامة للقطع المكافئ هي (
A
x
+
B
y ) 2
+
C
x
+
D
y
+
E
=
0 {displaystyle (Ax+By)^{2}+Cx+Dy+E=0,}
هذه النتيجة مشتقة من المعادلة المخروطية العامة المذكور بأعلى: A x 2
+
B
x
y
+
C y 2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0 {displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}
وبما أنه للقطع المكافئ يكون
B 2
=
4
A
C {displaystyle B^{2}=4AC,} .
معادلة القطع المكافئ العام الذي بؤرته (F(u, v ودليله على الصورة
n 1
x
+ n 2
y
+
c
=
0 {displaystyle n_{1}x+n_{2}y+c=0,}
هي
|
n 1
x
+ n 2
y
+
c | n 1
2
+ n 2
2 =
( x
−
u )
2
+
( y
−
v )
2 {displaystyle {frac {left|n_{1}x+n_{2}y+cright|}{sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}}}}={sqrt {left(x-uright)^{2}+left(y-vright)^{2}}},}
الوتر البؤري العمودي والإحداثيات القطبية
في الإحداثيات القطبية، القطع المكافئ الذي بؤرته في نقطة الأصل ودليله موازٍ لمحور الصادات تكون معادلته r
(
1
+
cos
θ
)
=
l {displaystyle r(1+cos theta )=l,}
حيث l هو نصف الوتر البؤري العمودي semilatus rectum (المسافة من البؤرة إلى القطع المكافئ مقاسة عبر خط عمودي على محور تماثله). لاحظ أن هذا مساوٍ لضعف المسافة من البؤرة إلى رأس القطع المكافئ أو المسافة العمودية من رأس المنحنى إلى الوتر البؤري العمودي latus rectum. الوتر البؤري العمودي هو الوتر المار بالبؤرة وفي نفس الوقت يتعامد على المحور وطوله يساوي 2l.
في الطبيعة والصناعة والتكنولوجيا
مرايا مرصد كيك
مرصد كيك يتكون من مرصدين
مرصد كيك الفلكي في هاواي ينكون من مرصدين، كل منهما مزود بمرآة مقعرة في شكل قطع زائد. معظم التلسكوبات الحديثة تعمل بمرايا في شكل القطع المكافيء، ويصل قطر بعضها نحو 8 متر.وهي تعمل على تجميع قدر كبير من الضوء وتصور أجراما كونية قريبة وبعيدة. تمكن الإنسان من اكتشاف أجراما صغيرة جدا، اجراما بعيدة جدا، وبفضل تلك الأجهزة الدقيقة تعرف الإنسان الحديث على أشياء كثيرة في الكون. كذلك يعمل تلسكوب هابل الفضائي بمرايا مقعرة بشكل القطع المكافيء. طبق استقبال التلفاز
كما تشكل أطباق استقبال التلفاز في شكل قطع مكافيء لاستقبال وتركيز أمواج التلفزة في بؤرة تضخم الإشارات. لا تصلح مرآة كرية (جزء من الكرة) كمرآة لتلسكوب حيث أنها تكون عدة بؤر خلف بعضها البعض، ولا تجمع الأشعة في بؤرة واحدة. تلك الظاهرة تسمى إزاغة كرية ونتيجتها تكوين صورة غير واضحة. معرض صور القطع المكافئ كموقع هندسي لأقطاب الخطوط المتماسة لمخروطية بالنسبة لمخروطية آخرى
تاريخ
نافورة المياه ترسم مسارات في شكل القطع المكافيء.
فرجار رسم القطع المكافئ من تصميم ليوناردو دافنشي.
أقدم من عمل على دراسة القطوع المخروطية، طبقًا لما هو معروف حاليا، هو منانخيموس في القرن الرابع ق.م. فقد أوجد طريقة لحل مسألة مضاعفة المكعب باستخدام القطوع المكافئة، وقد كان من الصعب حل مثل هذه المسألة بإنشاءات الفرجار والمسطرة. أما أبولونيوس فقد اكتشف العديد من خصائص القطوع المخروطية، كما يعود إليه الفضل في تسمية هذا النوع من القطوع بالقطع المكافئ. خاصية البؤرة-الدليل للقطع المكافئ، يعود الفضل فيها إلى بابوس السكندري. أوضح جاليليو أن المقذوفات تتخذ مسارًا على هيئة قطع مكافئ؛ ذلك نتيجة انتظام عجلة الجاذبية الأرضية. قبل اختراع التليسكوب العاكس كانت فكرة تكون صورة من خلال مرآة القطع المكافئ؛ معروفة. في النصف الأول من القرن السابع عشر اقترح مجموعة من علماء الرياضيات، أمثال رينيه ديكارت ومارين مارسين وجيمس جريجوري، تصميمات لمرايا القطع المكافئ. لكن إسحاق نيوتن تحاشى استخدام هذا النوع من المرايا عندما قام ببناء أول تلسكوب عاكس عام 1668م، وذلك لصعوبة تصنيعها مقارنة بالمرايا الكرية. في الوقت الراهن تستخدم عواكس القطع المكافئ في أغلب التلسكوبات العاكسة الحديثة، وفي التلسكوبات الفضائية، وأطباق الاستقبال التلفازي المعدنية، وأطباق اتصالات الساتل الصناعية، ومستقبلات الرادار.
تعريفات هندسية أخرى
القطوع المكافئة هي قطوع مخروطية.
القطع المكافئ يمكن تعريفه باعتباره قطع مخروطي اختلافه المركزي يساوي الواحد الصحيح؛ نتيجة لذلك تكون كل القطوع المكافئة متشابهة، بمعنى أن لها نفس الشكل مهما تغير حجمها. ويعتبر القطع المكافئ أيضا نهاية قطوع ناقصة متتابعة، إحدى بؤرتيهم ثابتة والأخرى حرة لتتحرك بعيدًا في اتجاه واحد، بهذا المنطق يمكن النظر إلى القطع المكافئ باعتباره قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند ما لا نهاية. القطع المكافئ هو أيضًا تحول عكسي للمنحنى القلبي. للقطع المكافئ محور تماثل عاكس وحيد، يمر ببؤرته ويتعامد على دليله، ونقطة تقاطع هذا المحور مع القطع المكافئ تدعى رأس القطع المكافئ. دوران القطع المكافئ حول محوره في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد يولد شكلًا يعرف بالسطح المكافئي الدوراني.
المعادلة في الإحداثيات الديكارتية
قطع مكافيء: خواص البؤرة F.
إذا افترضنا أن دليل القطع المكافئ هو الخط x = −p، وأن بؤرته هي النقطة (p,0). وإذا كانت (x,y) نقطة تنتمي للقطع المكافئ وأنها، من تعريف بابوس للقطع المكافئ، تبعد عن البؤرة مسافة مساوية لبعدها عن الدليل، هذا يعني أن: x
+
p
=
(
x
−
p ) 2
+ y 2
.
{displaystyle x+p={sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}.}
بتربيع طرفي المعادلة وبعد التبسيط نحصل على
y 2
=
4
p
x {displaystyle y^{2}=4px,}
وهي معادلة القطع الكافئ في صورة من أبسط صوره، ويلاحظ أن محور هذا القطع أفقي. ولتعميم هذه المعادلة نتخيل أن القطع المكافئ أزيح بحيث يكون رأسه هو النقطة (h,k)، بالتالي تصير معادلته (
y
−
k ) 2
=
4
p
(
x
−
h
) {displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h),}
بتبديل الإحداثيات x و y نحصل على المعادلة المقابلة للقطع المكافئ رأسي المحور (
x
−
h ) 2
=
4
p
(
y
−
k
)
. {displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k).,}
المعادلة الأخيرة يمكن كتابتها على الصورة y
=
a x 2
+
b
x
+
c {displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
وبالتالي فإن أي دالة في x إذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فهي قطع مكافئ ذو محور رأسي. وللتعميم أكثر نقول أن القطع المكافئ هو منحن في المستوى الديكارتي يُعرف بالمعادلة غير القابلة للاختزال والتي على الصورة: A x 2
+
B
x
y
+
C y 2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0 {displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}
بحيث أن
B 2
=
4
A
C
, {displaystyle B^{2}=4AC,,}
حيث كل المعاملات حقيقية، وكل من A و B لا يساويان الصفر، ويوجد أكثر من حل وحيد، بحيت تكون مجموعة الحل أزاوج مرتبة على الصورة (x, y)، وهي جميع النقاط الواقعة على المنحنى. كما أن المعادلة غير قابلة للاختزال، بمعنى أنه لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب معادلتين لا يُشترط أن تكونا خطيتين.
رأس القطع المكافئ
الإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ هو x
=
−
b 2
a {displaystyle x=-{frac {b}{2a}}} ، ويمكن الحصول عليه عن طريق اشتقاق المعادلة الأصلية للقطع y
=
a x 2
+
b
x
+
c
{displaystyle y=ax^{2}+bx+c} ، وبوضع قيمة المشتقة d
y / d
x
=
2
a
x
+
b
{displaystyle dy/dx=2ax+b} بصفر (لأن رأس القطع المكافئ هو نقطة حرجة؛ بمعنى أن ميل المماس عنده مساوٍ للصفر)، بحل المعادلة نحصل على الإحداثي السيني لرأس المنحنى، أما الإحداثي الصادي فيمكن الحصلول عليه بالتعويض بقيمة الإحداثي السيني في المعادلة الأصلية كالتالي: y
=
a
( −
b 2
a
)
2
+
b ( −
b 2
a
) +
c
{displaystyle y=aleft(-{frac {b}{2a}}right)^{2}+bleft(-{frac {b}{2a}}right)+c}
وبالتبسيط: = a b 2
4 a 2 − b 2 2
a +
c
{displaystyle ={frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{frac {b^{2}}{2a}}+c}
= b 2 4
a − 2
⋅ b 2
2
⋅
2
a +
c
⋅ 4
a
4
a {displaystyle ={frac {b^{2}}{4a}}-{frac {2cdot b^{2}}{2cdot 2a}}+ccdot {frac {4a}{4a}}}
= − b 2
+
4
a
c
4
a {displaystyle ={frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}
=
−
b 2
−
4
a
c
4
a =
−
D 4
a {displaystyle =-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}=-{frac {D}{4a}}}
وبالتالي نقطة رأس القطع المكافئ هي
( −
b 2
a ,
−
D 4
a
) {displaystyle left(-{frac {b}{2a}},-{frac {D}{4a}}right)}
شرح مبسط
في الرياضيات، القطع المكافئ (ويقال عنه الشلجم والصواب الشلجمي أي ذو شكل الشلجم، أو العدسيّ)[1] (بالإنجليزية: Parabola) هو شكل ثنائي الأبعاد وهو قطع مخروطي، ينشأ من قَطْع سطح مخروطي دائري قائم بمستو موازٍ لراسم هذا السطح (أي الخط المولد له).[2][3][4]