تم النشر اليوم 2024/05/15 | مبرهنة فيرما الصغرى

نتيجة مبرهنة فيرما الصغرى

ليكن p عددا اوليا موجبا إذا كان n
∧
p
=
1
{displaystyle nwedge p=1} فإن (
∀
n
∈
N ∗ )
: n
p
−
1 ≡
1 [
p
] {displaystyle (forall nin {{mathbb {N} }^{*}}):{{n}^{p-1}}equiv 1left[pright]} البرهنة
سنثبت النظرية باستخدام الاستقراء الرياضي لكل الأعداد الصحيحة الموجبة a ≥ 0.
خطوة الأساس هي حينما 0 p ≡ 0 (mod p) صحيحة لأنها صحيحة للأعداد الصحيحة. ثم نثبتها لـa = k ومنها ننطلق لـa = k+1.
ولهذه الخطوة سنحتاج إلى الاستدلال: استدلال
لأي عدد أولي p فإن (
x
+
y ) p
≡ x p
+ y p
(
mod p
) . {displaystyle (x+y)^{p}equiv x^{p}+y^{p}{pmod {p}}.,}
لبرهنة الاستدلال سنحتاج إلى تقديم نظرية ذات الحدين والتي تنص على أنه لأي عدد صحيح n (
x
+
y ) n
= ∑ i
=
0
n (
n
i
)
x n
−
i y i
,
{displaystyle (x+y)^{n}=sum _{i=0}^{n}{n choose i}x^{n-i}y^{i},} حيث المعاملات معاملات ذات الحدين (
n
i
) = n
!
i
!
(
n
−
i
)
! ,
{displaystyle {n choose i}={frac {n!}{i!(n-i)!}},} والتي يمكن كتابتها بصيغة المضروب
(
n
i
) = n
!
i
!
(
n
−
i
)
! ,
{displaystyle {n choose i}={frac {n!}{i!(n-i)!}},} و حيث أن جميع المعاملات أعداد صحيحة وحين 0

i فإنه لايوجد قاسم لـp في المقام، وبالتالي فإن المعامل يحتوي على قاسم p في البسط وبالتالي
(
p
i
) ≡
0
(
mod p
) , 0
<
i
<
p
.
{displaystyle {p choose i}equiv 0{pmod {p}},qquad 0<i<p.} وهذا يقصي جميع الحدود ماعدا الحدين الأول والأخير . البرهان بالاستقراء لنفرض أن (kp ≡ k (mod p و لننظر لـk+1)p) من الاستدلال لدينا (
k
+
1 ) p
≡ k p
+ 1 p
(
mod p
) . {displaystyle (k+1)^{p}equiv k^{p}+1^{p}{pmod {p}}.,} وباستخدام نظرية الاستقراء لدينا (kp ≡ k (mod p; وببساطة 1p = 1 وبالتالي نحصل على (
k
+
1 ) p
≡
k
+
1
(
mod p
)
{displaystyle (k+1)^{p}equiv k+1{pmod {p}},} وهو مانريد إثباته a = k+1. ∎ عموميات
إذا كان p' عددا أوليا وكان m وn عددين صحيحين طبيعيين حيث m يوافق n بترديد p-1, فإن لكل عدد صحيح ؟ لدينا: am ≡ an (بترديد p).
(≡ يوافق بترديد)

مبرهنة فيرما الصغرى

ليكن p عددا اوليا موجبا (
∀
n
∈ N )
: n
p ≡
n [
p
] {displaystyle (forall nin mathbb {N} ):{{n}^{p}}equiv nleft[pright]} ملاحظة :مبرهنة فيرما الصغرى تضل صالحة في

Z

{displaystyle mathbb {Z} }

شرح مبسط

من أجل مبرهنات أخرى مسماة نسبة إلى بيير دي فيرما، انظر إلى مبرهنة فيرما (توضيح).