[ تعرٌف على ] تكامل متعدد # أخر تحديث اليوم 2024/05/22

تم النشر اليوم 2024/05/22 | تكامل متعدد

التكامل المعتل المتعدد

في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، نقوم باستعمال التكامل المعتل الثنائي أو التكامل المعتل الثلاثي.

بعض التطبيقات العملية

تستخدم هذه التكاملات في العديد من التطبيقات الفيزيائية في الميكانيكا، يحسب عزم القصور الذاتي كتكامل حجم (تكامل ثلاثي) للكثافة الموزونة مع مربع المسافة من المحور:
I z
= ∭ V
ρ r 2 d
V
.
{displaystyle I_{z}=iiint _{V}rho r^{2},dV.}
في الكهرومغناطيسية، يمكن كتابة معادلات ماكسويل في صورة تكامل ثلاثي لحساب المجالات الكهربية والمغناطيسية الكلية فس المثال التالي حصلنا على المجال الكهربي بتوزيع للشحنات تم الحصول عليه عن طريق تكامل ثلاثي لدالة متجهة:
E
→ =
1 4
π ϵ 0 ∭
r
→ −
r
→ ′
‖
r
→ −
r
→ ′
‖
3
ρ
(
r
→ ′ )
d 3
⁡ r
′ .
{displaystyle {vec {E}}={frac {1}{4pi epsilon _{0}}}iiint {frac {{vec {r}}-{vec {r}}’}{left|{vec {r}}-{vec {r}}’right|^{3}}}rho ({vec {r}}’),operatorname {d} ^{3}r’.}

طرق للتكامل

حل المشكلات باستخدام التكامل المتعدد غالباً ما يتم عن طريق إيجاد طريقة لاختزال التكامل المتعدد ليصبح في هيئة سلسلة من التكاملات في متغير واحد تحل كل منها بصورة مباشرة. فيما يلي بعض طرق التكامل البسيطة: الحل المباشر
أحياناً يمكن الحصول على نتيجة التكامل بدون حاجة للتعديل الدوال الثابتة
في حالة الدالة الثابتة فإن النتيجة مباشرة، ببساطة نقوم بضرب المقياس بالدالة الثابتة c
c . إذا كانت c
=
1
{displaystyle c=1} وكانت متداخلة مع منطقة جزئية من R2 فإن الناتج هو مساحة المنطقة، في حين يكون الناتج هو حجم المنطقة في حالة R3 مثلاً:
D
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2

:

2
≤
x
≤
4

;

3
≤
y
≤
6
}
{displaystyle D={(x,y)in mathbb {R} ^{2} : 2leq xleq 4 ; 3leq yleq 6}} and f
(
x
,
y
)
=
2
{displaystyle f(x,y)=2,!}
لنكامل f
f على D بالنسبة ل x أولا:
∫ 3
6 ∫ 2
4

2

d
x d
y
=
area
(
D
)
⋅
2
=
(
2
⋅
3
)
⋅
2
=
12.
{displaystyle int _{3}^{6}int _{2}^{4} 2 dx,dy={mbox{area}}(D)cdot 2=(2cdot 3)cdot 2=12.}
الحل باستخدام التماثل
إذا وُجد في المجال تماثلٌ حول واحد من المحاور على الأقل، وكانت الدالة لها زوجية parity واحدة على الأقل بالنسبة لمتغير معين. في هذه الحالة تكون قيمة التكامل صفرا (مجموع القيم المتساوية والمتضادة صفر). من الكافي –في الدوال على Rn – ان يكون المتغير التابع فردي مع محور التماثل. مثال (1):
خذ f(x,y) = 2sin x−3y3+5
وT = x2+y2≤1 مساحة التكامل (قرص ذو نصف قطر1 يتركز عند نقطة أصل المحور شاملاً المحيط). مستخدما خاصية الخطية يمكن تفكيك التكامل إلى ثلاثة أجزاء:
∬ T
(
2
sin
⁡
x
−
3 y 3
+
5
) d
x d
y
= ∬ T
2
sin
⁡
x d
x d
y
− ∬ T
3 y 3 d
x d
y
+ ∬ T
5 d
x d
y
{displaystyle iint _{T}(2sin x-3y^{3}+5),dx,dy=iint _{T}2sin x,dx,dy-iint _{T}3y^{3},dx,dy+iint _{T}5,dx,dy}
2 sin x’ و 3y3 كلاهما دالتين فرديتين ومن الواضح كذلك ان قرص T متماثل حول محور x وكذلك محور y؛ لذلك فان القيمة الوحيدة التي سنحصل عليها في الإجابة النهائية لتكامل الدوال الثلاث هي حل الدالة الثابتة 5 لأن الدالتين الأخرتين تساوي صفرا.
مثال (2):
خد الدالة (f(x,y,z) = xexp(y2+z2
ومنطقة التكامل هي كرة ذات نصف قطر 2 متركزة في نقطة أصل المحور T = x2+y2+z2≤4.
الكرة متماثلة حول جميع المحاور الثلاثة، لكن يكفي ان نكاملها باعتبار محور x فقط لنجد أن التكامل يساوي صفرا؛ ذلك لأن الدالة فردية بالنسبة لذلك المتغير x. صيغ الاختزال
صيغ الاختزال تعتمد على مبدأ المجال البسيط للتمكين من تفكيك التكامل المتعدد إلى عدة تكاملات في متغير واحد (وهي نفس عملية حسبان الاشتقاق الجزئي). المجالات البسيطة على R2
محور x
إذا كان D مجال مقيس عمودي على محور x و f
:
D
⟶ R {displaystyle f:Dlongrightarrow mathbb {R} } هي دالة مستمرة؛ فإن (α(x و (β(x (بالتعريف في الفترة [a,b]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:
∬ T
f
(
x
,
y
)

d
x d
y
= ∫ a
b
d
x ∫ α
(
x
)
β
(
x
)
f
(
x
,
y
) d
y
.
{displaystyle iint _{T}f(x,y) dx,dy=int _{a}^{b}dxint _{alpha (x)}^{beta (x)}f(x,y),dy.}
محور y
إذا كان D مجال مقيس عمودي على محور y و f
:
D
⟶ R {displaystyle f:Dlongrightarrow mathbb {R} } هي دالة مستمرة؛ فإن (α(y و (β(y (بالتعريف في الفترة [a,b]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:
∬ T
f
(
x
,
y
)

d
x d
y
= ∫ a
b
d
y ∫ α
(
y
)
β
(
y
)
f
(
x
,
y
) d
x
.
{displaystyle iint _{T}f(x,y) dx,dy=int _{a}^{b}dyint _{alpha (y)}^{beta (y)}f(x,y),dx.}
مثال
مثال: D هي منطقة التكامل بصيغ الاختزال
اعتبر أن المنطقة D
=
{
(
x
,
y
)

:

x
≥
0
,
y
≤
1
,
y
≥ x 2
}
{displaystyle D={(x,y) : xgeq 0,yleq 1,ygeq x^{2}}} (انظر الشكل المقابل). احسب: ∬ D
(
x
+
y
) d
x d
y
.
{displaystyle iint _{D}(x+y),dx,dy.} هذا المجال عمودي على كلا المحورين xو y. لتطبيق صيغ الاختزال عليك ان تجد الدوال التي تحدد المجال وفترة تعريفه.
في هذه الحالدة الدالتين هما:
α
(
x
)
= x 2 and β
(
x
)
=
1
{displaystyle alpha (x)=x^{2}{text{ and }}beta (x)=1,!}
بينما الفترة معطاة من تقاطع الدوال مع x=0، عليه فان الفترة هي [a,b] = [0,1](جعلنا الوضع الأساسي باعتبار محور x لسهولة فهمها من الشكل المقابل). من الممكن الآن تطبيق الصيغة: ∬ D
(
x
+
y
) d
x d
y
= ∫ 0
1
d
x ∫
x 2
1
(
x
+
y
) d
y
= ∫ 0
1
d
x

[ x
y

+
y 2
2
] x 2
1
{displaystyle iint _{D}(x+y),dx,dy=int _{0}^{1}dxint _{x^{2}}^{1}(x+y),dy=int _{0}^{1}dx left[xy + {frac {y^{2}}{2}} right]_{x^{2}}^{1}}
(في البداية التكامل الثاني تم حسابه باعتبار ان x ثابت). كل ما يتبقى هو تطبيق عمليات تكاملية بسيطة::
∫ 0
1
[ x
y

+
y 2
2
] x 2
1 d
x
= ∫ 0
1 ( x
+
1
2
− x 3
− x 4
2 ) d
x
=
⋯
=
13
20
.
{displaystyle int _{0}^{1}left[xy + {frac {y^{2}}{2}} right]_{x^{2}}^{1},dx=int _{0}^{1}left(x+{frac {1}{2}}-x^{3}-{frac {x^{4}}{2}}right)dx=cdots ={frac {13}{20}}.}
إذا أردنا جعل الوضع الأساسي باعتبار لمحور yنقوم بالآتي: ∫ 0
1
d
y ∫ 0 y (
x
+
y
) d
x
.
{displaystyle int _{0}^{1}dyint _{0}^{sqrt {y}}(x+y),dx.}
وسنحصل على نفس النتيجة
مثال لمجال بسيط في R3 (مستوى-xy
المجالات البسيطة على R3
امتداد هذه الصيغ إلى التكاملات الثلاثية مشابه نوعاً ما:
T هو مجال عمودي على المستوى xy باعتبار الدوال (α (x,y و (β(x,y، إذن:
∭ T
f
(
x
,
y
,
z
)

d
x d
y d
z
= ∬ D
d
x d
y ∫ α
(
x
,
y
)
β
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
,
z
) d
z
{displaystyle iiint _{T}f(x,y,z) dx,dy,dz=iint _{D}dx,dyint _{alpha (x,y)}^{beta (x,y)}f(x,y,z),dz}
تغيير المتغيرات
حدود التكامل غير سهلة التغيير عادة، (بدون normality أو مع صيغ معقدة للمكاملة)، نقوم بـ«تغيير المتغيرات» لنعيد صياغة التكامل في منطقة أسهل في التعامل، والتي يمكن وصفها بصيغ مماثلة. لعمل ذلك يجب جعل الدالة تتماشى مع الإحداثيات الجديدة. مثال (1-أ)
الدالة هي f
(
x
,
y
)
=
(
x
−
1 ) 2
+
y
{displaystyle f(x,y)=(x-1)^{2}+{sqrt {y}}} ;
إذا تبنينا هذا البديل
x
′ =
x
−
1
,
y
′ =
y
{displaystyle x’=x-1, y’=y,!} لذلك x
= x
′ +
1
,

y
= y
′ {displaystyle x=x’+1, y=y’,!}
نحصل على الدالة الجديدة
f 2
(
x
,
y
)
=
( x
′
) 2
+
y
{displaystyle f_{2}(x,y)=(x’)^{2}+{sqrt {y}}} .
وبصورة مشابة للمجال لأنه لم يعد محدودا بالمتغيرات الاصلية التي تم تحويلها (x ,y في المثال).
التفاضلات (d(xو (d(y يتم تحويلها عبر محددة المصفوفة الجاكوبية
المحتوية على الاشتقاقات الجزئية من التحويل والمتعلقة بالمتغير الجديد (على سبيل المثال التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية). توجد ثلاثة أنواع من تغيير المتغيرات (واحد في R2 واثنان في R3)؛ لكن البديل المناسب يمكن إيجاده باستخدام نفس المبدأ بصورة أكثر عمومية. الإحداثيات القطبية
التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية
في R2 إذا كان المجال له تماثل دائري وتوفرت في الدالة مواصفات «معينة» يمكننا حينها التحويل إلى احداثيات قطبية (انظر للمثال المقابل) مما يعني أن النقاط المبدئية (P(x,y في النظام الديكارتي تتحول إلى النقاط التي تمثلها في النظام القطبي مما يسمح بتغيير صورة المجال وتبسيط العملية. العلاقة الأساسية لعمل التحويل هي التالية:
f
(
x
,
y
)
→
f
(
ρ

cos
⁡
ϕ
,
ρ

sin
⁡
ϕ
)
.
{displaystyle f(x,y)rightarrow f(rho cos phi ,rho sin phi ).}
مثال (2-أ):
الدالة هي f
(
x
,
y
)
=
x
+
y
{displaystyle f(x,y)=x+y,!}
وبتطبيق التحويل نحصل على:
f
(
ρ
,
ϕ
)
=
ρ
cos
⁡
ϕ
+
ρ
sin
⁡
ϕ
=
ρ

(
cos
⁡
ϕ
+
sin
⁡
ϕ
)
.
{displaystyle f(rho ,phi )=rho cos phi +rho sin phi =rho (cos phi +sin phi ).}
مثال (2-ب):
الدالة هي f
(
x
,
y
)
= x 2
+ y 2
{displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2},!}
في هذه الحالة لدينا:
f
(
ρ
,
ϕ
)
= ρ 2
( cos 2
⁡
ϕ
+ sin 2
⁡
ϕ
)
= ρ 2
{displaystyle f(rho ,phi )=rho ^{2}(cos ^{2}phi +sin ^{2}phi )=rho ^{2},!}
باستخدام مبرهنة فيثاغورث يتم تحويل المجال بايجاد طول نصف القطر ومدى الزاوية المركزية لتعريف فترات ρو φ ابتداءً من x وy
مثال لتحويل مجال من ديكارتي إلى قطبي.
مثال (2-ج):
المجال هو D
= x 2
+ y 2
≤
4
{displaystyle D=x^{2}+y^{2}leq 4,!} وهو محيط ذو نصف قطر 2؛ من الواضح أن الزاوية المغطاة هي زاوية دائرة، إذن φ تتراوح بين 0 و 2π, بينما يتراوح نصف القطر من 0 إلى 2
مثال (2-د):
المجال هو D
=
{ x 2
+ y 2
≤
9
,
x 2
+ y 2
≥
4
,

y
≥
0
}
{displaystyle D={x^{2}+y^{2}leq 9, x^{2}+y^{2}geq 4, ygeq 0}} وهو القوس الدائري الواقع في الجزء الموجب من محور y (أنظر الشكل)، لاحظ ان φ تصف زاوية مستوى، بينما ρ تتراوح بين 2 و3. لذلك التحويل الناتج يكون المستطيل التالي:
T
=
{
2
≤
ρ
≤
3
,

0
≤
ϕ
≤
π
}
. {displaystyle T={2leq rho leq 3, 0leq phi leq pi }.,}
المحددة الجاكوبية لهذا التحويل هي:
∂
(
x
,
y
)
∂
(
ρ
,
ϕ
) =
| cos
⁡
ϕ
−
ρ
sin
⁡
ϕ
sin
⁡
ϕ
ρ
cos
⁡
ϕ |
=
ρ
{displaystyle {frac {partial (x,y)}{partial (rho ,phi )}}={begin{vmatrix}cos phi &-rho sin phi \sin phi &rho cos phi end{vmatrix}}=rho }
والتي تم التحصل عليها بادخال المشتقات الجزئية ل (x == ρ cos(φ و (y == ρ sin(φ في العمود الأول باعتبار ρ، وفي العمود الثاني باعتبار φ، لذا فإن التفاضلات dxdy في هذا التحويل تصبح ρ dρ dφ. ما ان تحول الدالة وتقيم المجال يصبح من الممكن أن تعرف الصيغة لتغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية:
∬ D
f
(
x
,
y
)

d
x d
y
= ∬ T
f
(
ρ
cos
⁡
ϕ
,
ρ
sin
⁡
ϕ
)
ρ d
ρ d
ϕ
.
{displaystyle iint _{D}f(x,y) dx,dy=iint _{T}f(rho cos phi ,rho sin phi )rho ,drho ,dphi .} لاحظ أن φ صالحة في الفترة [0, 2π] بينما ρ والتي تمثل مقياس الطول لابد أن تكون موجبة القيمة. مثال (2-هـ):
الدالة هي ƒ(x,y) = x والمجال هو نفس مجال المثال (2-د). من التحليل السابق ل D نعلم فترة ρ (بين 2 و 3) وفترة φ (بين 0 و 2π).إذن لنقم بتغيير الدالة:
f
(
x
,
y
)
=
x
⟶
f
(
ρ
,
ϕ
)
=
ρ

cos
⁡
ϕ
. {displaystyle f(x,y)=xlongrightarrow f(rho ,phi )=rho cos phi .,}
أخيراً، لنطبق صيغ التكامل: ∬ D
x d
x d
y
= ∬ T
ρ
cos
⁡
ϕ

ρ d
ρ d
ϕ
.
{displaystyle iint _{D}x,dx,dy=iint _{T}rho cos phi rho ,drho ,dphi .}
بتعريف الفترة يصبح لدينا: ∫ 0
π ∫ 2
3 ρ 2
cos
⁡
ϕ

d
ρ

d
ϕ
= ∫ 0
π
cos
⁡
ϕ

d
ϕ
[ ρ 3
3
]
2
3
=
[ sin
⁡
ϕ ]
0
π
( 9
−
8
3 ) =
0.
{displaystyle int _{0}^{pi }int _{2}^{3}rho ^{2}cos phi drho dphi =int _{0}^{pi }cos phi dphi left[{frac {rho ^{3}}{3}}right]_{2}^{3}=left[sin phi right]_{0}^{pi } left(9-{frac {8}{3}}right)=0.}
الإحداثيات الأسطوانية
الإحداثيات الأسطوانية.
في R3 التكامل على مجالات ذات قواعد دائرية يمكن ان يتم عن طريق التمرير في الإحداثيات الأسطوانية؛ تحويل الدالة يتم من خلال العلاقة التالية: f
(
x
,
y
,
z
)
→
f
(
ρ

cos
⁡
ϕ
,
ρ

sin
⁡
ϕ
,
z
)
{displaystyle f(x,y,z)rightarrow f(rho cos phi ,rho sin phi ,z)}
يمكن تحويل المجال بيانياً لأن الاختلاف الوحيد يكون في شكل القاعدة، بينما الارتفاع يتبع شكل منطقة البداية. مثال (3-أ): المنطقة هي D
=
{ x 2
+ y 2
≤
9
,
x 2
+ y 2
≥
4
,

0
≤
z
≤
5
}
{displaystyle D={x^{2}+y^{2}leq 9, x^{2}+y^{2}geq 4, 0leq zleq 5}} (وهي الأنبوب الذي قاعدته هي الدائرة في مثال (2-د) والتي ارتفاعها 5)؛ إذا طُبق التحويل نتحصل على المنطقة: T
=
{
2
≤
ρ
≤
3
,

0
≤
ϕ
≤
π
,

0
≤
z
≤
5
}
{displaystyle T={2leq rho leq 3, 0leq phi leq pi , 0leq zleq 5}} (وهو متوازي المستطيلات الذي قاعدته المستطيل في مثال (2-د) ذو الارتفاع 5).
ولأن العنصر z لا يتغير خلال التحويل فإن المشتقات dx dy dz تتفاوت كما في التمرير في الإحداثيات القطبية؛ لذلك يصبحون ρ dρ dφ dz. أخيراً من الممكن تطبيق الصيغة النهائية للإحداثيات الأسطوانية:
∭ D
f
(
x
,
y
,
z
) d
x d
y d
z
= ∭ T
f
(
ρ
cos
⁡
ϕ
,
ρ
sin
⁡
ϕ
,
z
)
ρ d
ρ d
ϕ d
z
.
{displaystyle iiint _{D}f(x,y,z),dx,dy,dz=iiint _{T}f(rho cos phi ,rho sin phi ,z)rho ,drho ,dphi ,dz.}
هذه الطريقة سهلة ومناسبة للمجالات الأسطوانية والمخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها افراد فترة z، وحتى تحوبل القاعدة الدائرية والدالة. مثال (3-ب): الدالة هي f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
+
z
{displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z,!} ، ومجال التكامل هو هذه الأسطوانة: D
=
{ x 2
+ y 2
≤
9
,

−
5
≤
z
≤
5
}
{displaystyle D={x^{2}+y^{2}leq 9, -5leq zleq 5}}
تحويل D في إحداثيات أسطوانية هو الآتي:
T
=
{
0
≤
ρ
≤
3
,

0
≤
ϕ
≤
2
π
,

−
5
≤
z
≤
5
}
.
{displaystyle T={0leq rho leq 3, 0leq phi leq 2pi , -5leq zleq 5}.}
بينما تصبح الدالة:: f
(
ρ

cos
⁡
ϕ
,
ρ

sin
⁡
ϕ
,
z
)
= ρ 2
+
z
{displaystyle f(rho cos phi ,rho sin phi ,z)=rho ^{2}+z,!}
أخيراً، نطبق صيغة التكامل::
∭ D
( x 2
+ y 2
+
z
) d
x d
y d
z
= ∭ T
( ρ 2
+
z
)
ρ d
ρ d
ϕ d
z
;
{displaystyle iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z),dx,dy,dz=iiint _{T}(rho ^{2}+z)rho ,drho ,dphi ,dz;}
بتعديل الصيغة نحصل على::
∫ −
5
5
d
z ∫ 0
2
π
d
ϕ ∫ 0
3
( ρ 3
+
ρ
z
) d
ρ
=
2
π ∫ −
5
5
[
ρ 4
4
+
ρ 2
z 2 ]
0
3 d
z
{displaystyle int _{-5}^{5}dzint _{0}^{2pi }dphi int _{0}^{3}(rho ^{3}+rho z),drho =2pi int _{-5}^{5}left[{frac {rho ^{4}}{4}}+{frac {rho ^{2}z}{2}}right]_{0}^{3},dz}
=
2
π ∫ −
5
5 ( 81
4
+
9
2
z )
d
z
=
⋯
=
405
π
.
{displaystyle =2pi int _{-5}^{5}left({frac {81}{4}}+{frac {9}{2}}zright),dz=cdots =405pi .}
الإحداثيات الكروية
الإحداثيات الكروية.
بعض المجالات في R3 لها تماثل دائري، لذلك فمن الممكن تحديد احداثيات كل نقاط منطقة التكامل بزاويتين ومسافة واحدة لذلك نستخدم التمرير في إحداثيات كروية ، ويتم تحويل الدالة بالعلاقة: f
(
x
,
y
,
z
)
⟶
f
(
ρ
cos
⁡
θ
sin
⁡
ϕ
,
ρ
sin
⁡
θ
sin
⁡
ϕ
,
ρ
cos
⁡
ϕ
)
{displaystyle f(x,y,z)longrightarrow f(rho cos theta sin phi ,rho sin theta sin phi ,rho cos phi ),!}
لاحظ أن النقاط الموجودة على محور x لا تمتلك مواصفات دقيقة في الإحداثيات الكروية، لذلك فقد تتراوح ϕ
{displaystyle phi } بين 0 وπ. من الواضح ان أفضل مجال تكاملي لهذا التمرير هو الكرة. مثال (4-أ):
خذ المجال D
= x 2
+ y 2
+ z 2
≤
16
{displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}leq 16} (دائرة نصف قطرها 4 ومركزها نقطة الأصل)؛ بتطبيق التحويل نحصل على المنطقة: T
=
{
0
≤
ρ
≤
4
,

0
≤
ϕ
≤
π
,

0
≤
θ
≤
2
π
}
.
{displaystyle T={0leq rho leq 4, 0leq phi leq pi , 0leq theta leq 2pi }.} محددة الجاكوبي لهذا التحويل هي التالية:
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
) =
| cos
⁡
θ
sin
⁡
ϕ
−
ρ
sin
⁡
θ
sin
⁡
ϕ
ρ
cos
⁡
θ
cos
⁡
ϕ
sin
⁡
θ
sin
⁡
ϕ
ρ
cos
⁡
θ
sin
⁡
ϕ
ρ
sin
⁡
θ
cos
⁡
ϕ
cos
⁡
ϕ
0
−
ρ
sin
⁡
ϕ |
= ρ 2
sin
⁡
ϕ
{displaystyle {frac {partial (x,y,z)}{partial (rho ,theta ,phi )}}={begin{vmatrix}cos theta sin phi &-rho sin theta sin phi &rho cos theta cos phi \sin theta sin phi &rho cos theta sin phi &rho sin theta cos phi \cos phi &0&-rho sin phi end{vmatrix}}=rho ^{2}sin phi }
المشتقات dx dy dz تتحول إلى ρ2 sin(φ) dρ dθ dφ.
أخيراً، نتحصل على صيغة التكامل النهائية: ∭ D
f
(
x
,
y
,
z
) d
x d
y d
z
= ∭ T
f
(
ρ
sin
⁡
ϕ
cos
⁡
θ
,
ρ
sin
⁡
ϕ
sin
⁡
θ
,
ρ
cos
⁡
ϕ
) ρ 2
sin
⁡
ϕ d
ρ d
θ d
ϕ
.
{displaystyle iiint _{D}f(x,y,z),dx,dy,dz=iiint _{T}f(rho sin phi cos theta ,rho sin phi sin theta ,rho cos phi )rho ^{2}sin phi ,drho ,dtheta ,dphi .}
يُفضل استعمال هذه الطريقة في حالة المجالات الدائرية و كذلك في حالة الدوال التي يمكن تبسيطها بسهولة -باستخدام العلاقة المثلثية الأساسية الأولى – موسع في R3 (الرجاء انظر مثال (4-ب))؛ يفضل في بعض الحالات الأخرى استخدام الإحداثيات الإسطوانية (انظر مثال 4-جـ).
مثال (4-ب): D هي نفس المنطقة في مثال (4-أ) و f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
+ z 2
{displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},!} هي الدالة التي نرغب في مكاملتها.
تحويلها سهل جدا:
f
(
ρ
sin
⁡
ϕ
cos
⁡
θ
,
ρ
sin
⁡
ϕ
sin
⁡
θ
,
ρ
cos
⁡
ϕ
)
= ρ 2
, {displaystyle f(rho sin phi cos theta ,rho sin phi sin theta ,rho cos phi )=rho ^{2},,}
بينمانعرف فترة المنطقة T الناتجة عن تحويل D:
(
0
≤
ρ
≤
4
,

0
≤
ϕ
≤
π
,

0
≤
θ
≤
2
π
)
. {displaystyle (0leq rho leq 4, 0leq phi leq pi , 0leq theta leq 2pi ).,}
نبدأ إذن بتطبيق صيغة التكامل: ∭ D
( x 2
+ y 2
+ z 2
) d
x d
y d
z
= ∭ T ρ 2
ρ 2
sin
⁡
θ d
ρ d
θ d
ϕ
,
{displaystyle iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2}),dx,dy,dz=iiint _{T}rho ^{2} rho ^{2}sin theta ,drho ,dtheta ,dphi ,}
وبالتبسيط نحصل على: ∭ T ρ 4
sin
⁡
θ d
ρ d
θ d
ϕ
= ∫ 0
π
sin
⁡
ϕ d
ϕ ∫ 0
4 ρ 4
d
ρ ∫ 0
2
π
d
θ
=
2
π ∫ 0
π
sin
⁡
ϕ
[ ρ 5
5
]
0
4 d
ϕ
{displaystyle iiint _{T}rho ^{4}sin theta ,drho ,dtheta ,dphi =int _{0}^{pi }sin phi ,dphi int _{0}^{4}rho ^{4}drho int _{0}^{2pi }dtheta =2pi int _{0}^{pi }sin phi left[{frac {rho ^{5}}{5}}right]_{0}^{4},dphi }
=
2
π
[ ρ 5
5
]
0
4
[ −
cos
⁡
ϕ ]
0
π
=
4
π
⋅
1024
5
= 4096
π 5
.
{displaystyle =2pi left[{frac {rho ^{5}}{5}}right]_{0}^{4}left[-cos phi right]_{0}^{pi }=4pi cdot {frac {1024}{5}}={frac {4096pi }{5}}.}
مثال (4-جـ): المجال هو الكرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3a ( D
= x 2
+ y 2
+ z 2
≤
9 a 2
{displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}leq 9a^{2},!} ) و f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
{displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2},!} هي دالة المراد مكاملتها.
بالنظر للمجال يبدو أنه من المناسب القيام بالتمرير إلى إحداثيات كروية، في الحقيقة، من الواضح أن فترات المتغيرات التي تحدد المنطقة الجديدة T هي:
0
≤
ρ
≤
3
a
,

0
≤
ϕ
≤
2
π
,

0
≤
θ
≤
π
. {displaystyle 0leq rho leq 3a, 0leq phi leq 2pi , 0leq theta leq pi .,}
ولكن، بتطبيق التحويل نحصل على:
f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
⟶ ρ 2 sin 2
⁡
θ cos 2
⁡
ϕ
+ ρ 2 sin 2
⁡
θ sin 2
⁡
ϕ
= ρ 2 sin 2
⁡
θ
{displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}longrightarrow rho ^{2}sin ^{2}theta cos ^{2}phi +rho ^{2}sin ^{2}theta sin ^{2}phi =rho ^{2}sin ^{2}theta } .
بتطبيق صيغة التكامل نحصل على: ∭ T ρ 2 sin 2
⁡
θ ρ 2
sin
⁡
θ d
ρ d
θ d
ϕ
= ∭ T ρ 4 sin 3
⁡
θ d
ρ d
θ d
ϕ
{displaystyle iiint _{T}rho ^{2}sin ^{2}theta rho ^{2}sin theta ,drho ,dtheta ,dphi =iiint _{T}rho ^{4}sin ^{3}theta ,drho ,dtheta ,dphi }
والذي يصعب حله، هذه المسألة يتم حلها بالتمرير إلى احداثيات أسطوانية، وتصبح فترات T الجديدة هي:
0
≤
ρ
≤
3
a
,

0
≤
ϕ
≤
2
π
,

−
9 a 2
− ρ 2
≤
z
≤
9 a 2
− ρ 2
;
{displaystyle 0leq rho leq 3a, 0leq phi leq 2pi , -{sqrt {9a^{2}-rho ^{2}}}leq zleq {sqrt {9a^{2}-rho ^{2}}};}
تم التحصل على الفترة z بشق الكرة إلى نصفين ببساطة عن طريق حل المتباينة في صيغة D (وبعدها مباشرة تحويل x2 + y2 إلى ρ2). الدالة الجديدة تصبح أذن ρ2. بتطبيق صيغة التكامل: ∭ T ρ 2
ρ

d
ρ
d
ϕ
d
z
{displaystyle iiint _{T}rho ^{2}rho drho dphi dz} .
نحصل بعدها على: ∫ 0
2
π
d
ϕ ∫ 0
3
a ρ 3
d
ρ ∫ −
9 a 2
− ρ 2 9 a 2
− ρ 2
d
z
=
2
π ∫ 0
3
a
2 ρ 3
9 a 2
− ρ 2 d
ρ
.
{displaystyle int _{0}^{2pi }dphi int _{0}^{3a}rho ^{3}drho int _{-{sqrt {9a^{2}-rho ^{2}}}}^{sqrt {9a^{2}-rho ^{2}}},dz=2pi int _{0}^{3a}2rho ^{3}{sqrt {9a^{2}-rho ^{2}}},drho .}
الآن نطبق التحويل:
9 a 2
− ρ 2
=
t
⟶
d
t
=
−
2
ρ d
ρ
⟶
d
ρ
= d
t
−
2
ρ {displaystyle 9a^{2}-rho ^{2}=t,!longrightarrow dt=-2rho ,drho longrightarrow drho ={frac {dt}{-2rho }},!}
(الفترات الجديدة تصبح 0
,
3
a
⟶
9 a 2
,
0
{displaystyle 0,3alongrightarrow 9a^{2},0} ). نحصل على:
−
2
π ∫ 9 a 2
0 ρ 2
t d
t
{displaystyle -2pi int _{9a^{2}}^{0}rho ^{2}{sqrt {t}},dt}
ولأن
ρ 2
=
9 a 2
−
t
{displaystyle rho ^{2}=9a^{2}-t,!} ، نحصل على:
−
2
π ∫ 9 a 2
0
(
9 a 2
−
t
)
t d
t
,
{displaystyle -2pi int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){sqrt {t}},dt,}
بعد قلب حدود التكامل وضرب الأطراف داخل القوسين، يمكن تفكيك التكامل إلى جزئين يُحلان مباشرة.
2
π [ ∫ 0 9 a 2
9 a 2
t d
t
−
∫ 0 9 a 2
t
t d
t ] =
2
π
[ 9 a 2
2
3 t
3
2 −
2
5 t
5
2
]
0
9 a 2
{displaystyle 2pi left[int 0^{9a^{2}}9a^{2}{sqrt {t}},dt-int 0^{9a^{2}}t{sqrt {t}},dtright]=2pi left[9a^{2}{frac {2}{3}}t^{frac {3}{2}}-{frac {2}{5}}t^{frac {5}{2}}right]_{0}^{9a^{2}}}
=
2
⋅
27
π a 5
(
6
−
2
5
)
=
54
π
28
5 a 5
= 1512
π 5 a 5
.
{displaystyle =2cdot 27pi a^{5}(6-{frac {2}{5}})=54pi {frac {28}{5}}a^{5}={frac {1512pi }{5}}a^{5}.}
الفضل في إمكانية اختزال التكامل الثلاثي لآخر أسهل في متغير واحد يعود لطريقة التمرير إلى إحداثيات أسطوانية

التكامل المعتل المتعدد والتكامل المتتابع

حسب مبرهنة فوبيني Fubini’s theorm:
∫ A
×
B | f
(
x
,
y
) |
d
(
x
,
y
)
<
∞
,
{displaystyle int _{Atimes B}|f(x,y)|,d(x,y)<infty ,}
هذا يعني أنه إذا كان التكامل محدد مطلقاً فان نفس النتيجة التي نحصل عليها بالتكامل المتعدد يمكن الحصول عليها بالتكامل المتتابع،:
∫ A
×
B
f
(
x
,
y
) d
(
x
,
y
)
= ∫ A (
∫ B
f
(
x
,
y
) d
y )
d
x
= ∫ B (
∫ A
f
(
x
,
y
) d
x )
d
y
.
{displaystyle int _{Atimes B}f(x,y),d(x,y)=int _{A}left(int _{B}f(x,y),dyright),dx=int _{B}left(int _{A}f(x,y),dxright),dy.} يحدث ذلك تحديدا عندما تكون |(f(x,y| دالة محددة، وA وB مجموعتان محددتان.
إذا لم يكن التكامل متقارب مطلقاً يجب العناية وعدم خلط مبادئ التكامل المتعدد والتكامل المتتابع، خاصة أن كلاهما يكتب بنفس الرموز. الرمز:
∫ 0
1 ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
y d
x
{displaystyle int _{0}^{1}int _{0}^{1}f(x,y),dy,dx}
يعني في بعض الحالات تكاملاً متتابعاً وليس تكاملاً ثنائياً حقيقياً. التكامل الخارجي في التكامل المتتابع:
∫ 0
1
⋯ d
x
{displaystyle int _{0}^{1}cdots ,dx} هو تكامل باعتبار x لدالة x التالية: g
(
x
)
= ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
y
.
{displaystyle g(x)=int _{0}^{1}f(x,y),dy.} من ناحية أخرى، التكامل الثنائي يعرف باعتبار المساحة في المستوى xy. إذا وُجد تكامل ثنائي فانه يكون مساوياً لكل من التكاملين المتتابعين على حدا (إما "dydx" أو"dxdy") ويتم حسابه عادة بحساب أحد التكاملين المتتابعين. ولكن أحياناً يوجد التكاملين المتتابعين إذا وفقط إذا لم يكن هناك تكامل ثنائي، ويكونان في هذه الجالة ذوي قيم متغايرة عن بعضهما كما في المثال:
∫ 0
1 ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
y d
x
≠ ∫ 0
1 ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
x d
y
.
{displaystyle int _{0}^{1}int _{0}^{1}f(x,y),dy,dxneq int _{0}^{1}int _{0}^{1}f(x,y),dx,dy.}
وهو إعادة ترتيب افتراضي للتكامل المتقارب شرطياً. نكتب:
∫ [
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
f
(
x
,
y
) d
x d
y
{displaystyle int _{[0,1]times [0,1]}f(x,y),dx,dy} الذي يمكن استعماله للتأكد من أننا حسبنا التكامل المتعدد وليس المتتابع

أمثلة

التكامل الثنائي
لنفترض أننا نرغب في مكاملة دالة في عدة متغيرات f خلال منطقة A: A
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2

:

11
≤
x
≤
14

;

7
≤
y
≤
10
}
{displaystyle A={(x,y)in mathbb {R} ^{2} : 11leq xleq 14 ; 7leq yleq 10}} و f
(
x
,
y
)
= x 2
+
4
y
{displaystyle f(x,y)=x^{2}+4y,!}
لهذه الحالة نكون التكامل الثنائي::
∫ 7
10 ∫ 11
14

( x 2
+
4
y
)

d
x d
y
{displaystyle int _{7}^{10}int _{11}^{14} (x^{2}+4y) dx,dy} يتوجه النظر إلى التكامل الداخلي أولاً والذي نكامله باعتبار x، يجب إجراء هذا التكامل قبل مكاملة الدالة بالنسبة لy. لاحظ أننا في البدء نعتبر y ثابتاً حيث أنها ليست متغير التكامل.
∫ 11
14

( x 2

+

4
y
)

d
x = ( 1
3 x 3

+

4
y
x )
| x
=
11
x
=
14
=
1
3
(
14 ) 3

+

4
y
(
14
)

−

1
3
(
11 ) 3

−

4
y
(
11
)
=
471

+

12
y
{displaystyle {begin{aligned}int _{11}^{14} (x^{2} + 4y) dx&=left({frac {1}{3}}x^{3} + 4yxright){Big |}_{x=11}^{x=14}\&={frac {1}{3}}(14)^{3} + 4y(14) – {frac {1}{3}}(11)^{3} – 4y(11)\&=471 + 12y\end{aligned}}}
بعد ذلك نكامل بالنسبة ل y
∫ 7
10

(
471

+

12
y
)

d
y =
(
471
y

+

6 y 2
) | y
=
7
y
=
10
=
471
(
10
)

+

6
(
10 ) 2

−

471
(
7
)

−

6
(
7 ) 2
=
1719
{displaystyle {begin{aligned}int _{7}^{10} (471 + 12y) dy&=(471y + 6y^{2}){big |}_{y=7}^{y=10}\&=471(10) + 6(10)^{2} – 471(7) – 6(7)^{2}\&=1719\end{aligned}}}
الحجوم
حجم متوازي المستطيلات ذو الأضلاع 4×6×5 نتحصل عليه بطريقتين: التكامل الثنائي::
∬ D
5

d
x d
y
{displaystyle iint _{D}5 dx,dy}
للدالة 5=(f(x,y محسوبة في المنطقة D من مستوى xy الذي يمثل قاعدة متوازي المستطيلات::
∭
p
a
r
a
l
l
e
l
e
p
i
p
e
d 1 d
x d
y d
z
{displaystyle iiint _{mathrm {parallelepiped} }1,dx,dy,dz}
التكامل الثلاثي::
∭
p
a
r
a
l
l
e
l
e
p
i
p
e
d 1 d
x d
y d
z
{displaystyle iiint _{mathrm {parallelepiped} }1,dx,dy,dz}
للدالة الثابتة 1 محسوبةً على متوازي المستطيلات نفسه.
حساب الحجوم
بفضل الطرق المفصلة أعلاه يمكن تبيين قيمة الحجم لبعض الأجسام: الأسطوانة: اعتبر أن المجال هو القاعدة الدائرية ذات نصف قطر R، والدالة ثابتة بالارتفاع h. يمكن كتابة ذلك في إحداثيات قطبية كالآتي: V
o
l
u
m
e = ∫ 0
2
π
d
ϕ ∫ 0
R
h
ρ

d
ρ
=
h
2
π
[ ρ 2
2
]
0
R
=
π R 2
h
{displaystyle mathrm {Volume} =int _{0}^{2pi }dphi int _{0}^{R}hrho drho =h2pi left[{frac {rho ^{2}}{2}}right]_{0}^{R}=pi R^{2}h}
التحقق: الحجم = مساحة القاعدة* الارتفاع= π R 2
⋅
h
{displaystyle pi R^{2}cdot h}
الكرة: وهو توضيح جاهز لتطبيق التمرير في احداثيات كروية للدالة الثابتة المُكامَلة 1 في الكرة ذات نفس نصف القطر R: V
o
l
u
m
e = ∫ 0
2
π d
ϕ ∫ 0
π
sin
⁡
θ d
θ ∫ 0
R ρ 2 d
ρ
=
2
π ∫ 0
π
sin
⁡
θ R 3
3 d
θ
=
2
3
π R 3
[
−
cos
⁡
θ ] 0
π
=
4
3
π R 3
.
{displaystyle mathrm {Volume} =int _{0}^{2pi },dphi int _{0}^{pi }sin theta ,dtheta int _{0}^{R}rho ^{2},drho =2pi int _{0}^{pi }sin theta {frac {R^{3}}{3}},dtheta ={frac {2}{3}}pi R^{3}[-cos theta ]_{0}^{pi }={frac {4}{3}}pi R^{3}.}
رباعي السطوح(هرم مثلثي ذو 4 وجوه): حجم رباعي سطوح ذو رأس عند نقطة الأصل يمكن حسابهعن طريق صيغ الاختزال آخذين بالاعتبار، كمثال، ال normality على المستوى xy ولمحور x ومثل الدالة الثابتة 1. V
o
l
u
m
e = ∫ 0
ℓ
d
x ∫ 0
ℓ
−
x d
y ∫ 0
ℓ
−
x
−
y d
z
= ∫ 0
ℓ
d
x ∫ 0
ℓ
−
x
(
ℓ
−
x
−
y
) d
y
{displaystyle mathrm {Volume} =int _{0}^{ell }dxint _{0}^{ell -x},dyint _{0}^{ell -x-y},dz=int _{0}^{ell }dxint _{0}^{ell -x}(ell -x-y),dy}
= ∫ 0
ℓ
( ℓ 2
−
2
ℓ
x
+ x 2
− (
ℓ
−
x ) 2 2
) d
x
= ℓ 3
−
ℓ ℓ 2
+ ℓ 3
3
−
[
ℓ 2
2
−
ℓ
x
+ x 2
2 ]
0
ℓ
=
{displaystyle =int _{0}^{ell }(ell ^{2}-2ell x+x^{2}-{frac {(ell -x)^{2}}{2}}),dx=ell ^{3}-ell ell ^{2}+{frac {ell ^{3}}{3}}-left[{frac {ell ^{2}}{2}}-ell x+{frac {x^{2}}{2}}right]_{0}^{ell }=}
= ℓ 3
3
− ℓ 3
6
= ℓ 3
6
{displaystyle ={frac {ell ^{3}}{3}}-{frac {ell ^{3}}{6}}={frac {ell ^{3}}{6}}}
التحقق: الحجم = مساحة القاعدة * الارتفاع /3 =
ℓ 2
2
⋅
ℓ / 3
= ℓ 3
6
.
{displaystyle {frac {ell ^{2}}{2}}cdot ell /3={frac {ell ^{3}}{6}}.}
مثال لمجال معتل.

التعريف الرياضي

افترض ان n
n عدد صحيح أكبر من 1. افترض مستطيلا نصف مفتوح في n
n بعداً (من الآن فصاعداً سنسميه ببساطة مستطيلا). بالنسبة للمستوى: n
=
2
{displaystyle n=2} , والتكامل المتعدد هو مجرد تكامل ثنائي.
T
=
( a 1
, b 1
)
×
( a 2
, b 2
)
×
⋯
×
( a n
, b n
)
⊂
R
n
{displaystyle T=(a_{1},b_{1})times (a_{2},b_{2})times cdots times (a_{n},b_{n})subset mathbb {R} ^{n}} قم بتقسيم كل فترة ( a i
; b i
)
{displaystyle (a_{i};b_{i})} إلى عدد من الفترات الجزئية غير المتداخلة بحيث تكون كل منها مغلقة عند النهاية اليسرى ومفتوحة عند النهاية اليمنى. بالكتابة، يرمز لكل فترة جزيئة بالرمز
l i
{displaystyle l_{i}} .عائلة المستطيلات الجرئية الناتجة ذات الصيغة:
C
= I 1
× I 2
×
⋯
× I n
{displaystyle C=I_{1}times I_{2}times cdots times I_{n}} هي جزئية من T
{displaystyle T} بمعنى أن المستطيلات الجزئية C
{displaystyle C} هي مستطيلات غير متداخلة واتحادها يعطينا T
{displaystyle T} .
بعد أي من المستطيلات الجزئية C
{displaystyle C} هو-من التعريف- الطول الأكبر من الفترات التي حعلتنا نتحصل على C
{displaystyle C} ، وكذلك فإن بعد أي مجموعة معطاة جزئية من T
{displaystyle T} معرف كأكبر بعد من أبعاد المستطيلات الجزئية في تلك المجموعة الجزئية. افترض أن f
:
T
→
R
{displaystyle f:Trightarrow R} هي دالة معرفة على المستطيل T
{displaystyle T} . اعتبر التجزيئ التالي T
= C 1
∪ C 2
∪
⋯
∪ C m
{displaystyle T=C_{1}cup C_{2}cup cdots cup C_{m}} من T
{displaystyle T} المعرفة آنفاً. حيث m
m هي عدد صحيح موجب. مجموع ريمان هنا هو المجموع بالصورة:
∑ k
=
1
m
f
( P k
)
m
( C k
)
{displaystyle sum _{k=1}^{m}f(P_{k})m(C_{k})} حيث، لكل k
k فان النقطة
P k
{displaystyle P_{k}} تقع في النفطة m
( C k
; C k
)
{displaystyle m(C_{k};C_{k})} هو ناتج الأطوال من الفترات التي جداءها الديكارتي هو
C k
{displaystyle C_{k}} في هذه الحالة تسمى دالة f
f متكاملة ريمان إذا كانت النهاية S
= lim δ
→
0 ∑ k
=
1
m
f
( P k
)
m
( C k
)
{displaystyle S=lim _{delta to 0}sum _{k=1}^{m}f(P_{k})m(C_{k})} معرفة أو موجودة. حيث ان النهاية تحسب لكل جزئيات T
{displaystyle T} ذات البعد δ
delta . إذا امكن تكامل f
f بريمان فان S
{displaystyle S} تسمى تكامل ريمان ل f
f على T
{displaystyle T} ويكتب:
∫ T f
(
x
) d
x
.
{displaystyle int _{T}!f(x),dx.} تكامل ريمان لدالة معرفة حول مجموعة ذات n
n بعدا يمكن تعريفها بتوسيع تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح قيمه تساوي الصفر خارج مجال الدالة الأصلية. إذن فان تكامل الدالة الأصلية على المجال الأصلي هي تكامل الدالة الموسعة على مجالها المستطيل، إذا وُجد. ما يلي تكامل ريمان في n
n بعداً سوف يسمى تكاملا متعددا الخصائص
التكامل المتعدد له العديد من الخصائص المشابة لخصائص تكامل الدوال في متغير واحد (الخطية، التبديلية، الرتابة، الخ). بالإضافة لذلك، وكما في المتغير الواحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لايجاد متوسط الدالة على مجموعة معطاة. أي انه لأي مجموعة معطاة D
⊆ R n
{displaystyle Dsubseteq R^{n}} ودالة قابلة للتكامل f
f على D
{displaystyle D} ، القيمة المتوسطة لـ f
f على مجالها يعطى بـ: f
¯ =
1 m
(
D
)
∫ D
f
(
x
) d
x
,
{displaystyle {bar {f}}={frac {1}{m(D)}}int _{D}f(x),dx,} حيث m
(
D
)
{displaystyle m(D)} هو مقياس D
{displaystyle D} حالات خاصة
في حالة T
⊆ R 2
{displaystyle Tsubseteq R^{2}} ، فإن تكامل:
ℓ
= ∬ T
f
(
x
,
y
) d
x d
y
{displaystyle ell =iint _{T}f(x,y),dx,dy} هو تكامل ثنائي ل f
f على T
{displaystyle T} . وإذا كانت T
⊆ R 3
{displaystyle Tsubseteq R^{3}} فان تكامل: ℓ
= ∭ T
f
(
x
,
y
,
z
) d
x d
y d
z
{displaystyle ell =iiint _{T}f(x,y,z),dx,dy,dz}
يكون تكامل ثلاثي ل f
f على T
{displaystyle T} .
لاحظ انه بالتحويل يكون هناك إشارتي تكامل للتكامل الثنائي وثلاث إشارات للتكامل الثلاثي، وهذا يعتبر مجرد تسهيل كتابي يكون عملي عندما نحسب التكامل المتعدد كتكامل متتابع iterated integral (كما سنبين لاحقاً في هذا المقال)

مقدمة

كما هو الحال في التكامل المحدد لدالة موجبة في متغير واحد الذي يمثل مساحة المنطقة الواقعة بين منحنى الدالة والمحور السيني، كذلك فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة في متغيرين يمثل حجم المنطقة الفاصلة بين السطح المعرف بالدالة (في النظام الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث f
=
(
x
,
y
) {displaystyle f=(x,y),} والمستوى المحتوي لمجاله. (لاحظ أن نفس الحجم يمكن التوصل إليه باستخدام التكامل الثلاثي – تكامل دالة في ثلاث متغيرات- للدالة الثابتة f
(
x
,
y
,
z
)
=
1 {displaystyle f(x,y,z)=1,} فوق المنطقة المذكورة سابقا بين السطح والمستوى). إذا كان هناك عدد أكبر من المتغيرات فان التكامل المتعدد سيؤدي إلى احجام ضخمة من الدوال المتعددة الأبعاد. التكامل المتعدد لدالة f
f المعرفة في n
n متغير: f
( x 1
, x 2
,
…
, x n
) {displaystyle f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),} على مجال D
{displaystyle D} يتم في الغالب تمثيله بتداخل عدة إشارات تكامل بالترتيب متعاكس في الحساب (الإشارة إلى أقصى اليسار تحسب آخراً التي تسبقها لليمين تحسب قبلها وهكذا) يتم إجراءها على الدالة وتعريفات المكاملات بترتيب مناسب (التعريف في أقصى اليمين يحسب آخراً وهكذا). مجال هذا التكامل يتم تمثيله إما رمزيا لكل مكامل على إشارة تكامل، أو غالبا يتم اختصاره بمتغير في أقصى يمين الإشارة التكاملية: ∫
⋯ ∫
D
f
( x 1
, x 2
,
…
, x n
) d x 1 ⋯
d x n
{displaystyle int cdots int _{mathbf {D} },f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),dx_{1}!cdots dx_{n}}
وبما أنه من المستحيل حساب المشتق العكسي لدالة في أكثر من متغير، فإن التكامل المتعدد الغير محدد لا وجود له. لذلك فإن كل التكاملات المتعددة هي تكاملات محددة.

شرح مبسط

التكامل المتعدد هو أحد أنواع التكامل المحدد الموسع ليشمل الدوال المعرفة في أكثر من متغير مثل

f
(
x
,
y
)

{displaystyle f(x,y),}

أو

f
(
x
,
y
,
z
)

{displaystyle f(x,y,z),}

. تسمى تكاملات دالة لمتغيرين على منطقة في R2 تكاملات ثنائية،[1] وتسمى تكاملات دالة ذات ثلاثة متغيرات على منطقة R3 تكاملات ثلاثية.[1]