[ تعرٌف على ] دالة الظل الزائدية # أخر تحديث اليوم 2024/05/22

تم النشر اليوم 2024/05/22 | دالة الظل الزائدية

الجذور

الدالة Tanh لها جذر حقيقي x
=
0
{displaystyle x=0} وجذور خيالية محضة حيث: z
∈ C
a
n
h
(
z
)
=
0
⇔
z
∈ i π Z {displaystyle zin mathbb {C} quad anh(z)=0Leftrightarrow zin mathrm {i} pi mathbb {Z} } .

تعريف

يُرمز لدالة الظل الزائدي بالرمز tanh وهي دالة تتكون من أعداد مركبة على النحو التالي: tanh
: C ∖
i
π
( Z +
1
2
)
⟶ C
z
⟼ sinh
⁡
(
z
)
cosh
⁡
(
z
) {displaystyle {begin{matrix}tanh :&mathbb {C} setminus {rm {i}}pi (mathbb {Z} +{frac {1}{2}})&longrightarrow &mathbb {C} \&z&longmapsto &{frac {sinh(z)}{cosh(z)}}end{matrix}}}
حيث sinh
{displaystyle sinh } هي دالة الجيب الزائدي، و cosh
{displaystyle cosh } هي دالة جيب التمام الزائدي. هذا التعريف هو مماثل لتعريف الدوال المثلثية على غرار تعريف الجيب وجيب التمام، وعلاوة على ذلك tanh
⁡
(
z
)
=
−
i
tan
⁡
(
i
z
)
{displaystyle tanh(z)=-{rm {i}}tan({rm {i}}z)} أو tan
⁡
(
z
)
=
−
i
tanh
⁡
(
i
z
)
{displaystyle tan(z)=-{rm {i}}tanh({rm {i}}z)} . يُمكن التعبير عن دالة الظل الزائدي باستخدام الدالة الأسية وذلك بالشكل التالي: tanh
⁡
(
z
)
=
e z
− e −
z e z
+ e −
z =
e 2
z
−
1
m
e
2
z
+
1 =
r
a
c 1
−
m
e
−
2
z
1
+ e −
2
z .
{displaystyle tanh(z)={frac {{rm {e}}^{z}-{rm {e}}^{-z}}{{rm {e}}^{z}+{rm {e}}^{-z}}}={frac {{rm {e}}^{2z}-1}{{me}^{2z}+1}}=rac{1-{me}^{-2z}}{1+{rm {e}}^{-2z}}.}

القيم

بعض القيم للظل الزائدي: tanh
⁡
(
0
)
=
0
{displaystyle tanh(0)=0}
tanh
⁡
(
1
)
=
e 2
−
1 e 2
+
1 {displaystyle tanh(1)={frac {e^{2}-1}{e^{2}+1}}}
tanh
⁡
(
i
)
=
i
tan
⁡
(
1
)
{displaystyle tanh(i)=itan(1)}

الدالة العكسية

رسم بياني للدالة العكسية للظل الزائدي على جزء من ℝ.
الدالة العكسية لدالة tanh في المجال ℝ يُرمز لها بـ artanh (أو argtanh أو argth) ، ويُمكن تفسيرها بالعلاقة التالية: ∀
x
∈
]
−
1
,
1
[ artanh
⁡
(
x
)
=
1
2

ln
⁡ ( 1
+
x
1
−
x ) =
1
2
(
ln
⁡
(
1
+
x
)
−
ln
⁡
(
1
−
x
)
)
,
{displaystyle forall xin ]-1,1[quad operatorname {artanh} (x)={frac {1}{2}}~ln left({frac {1+x}{1-x}}right)={frac {1}{2}}(ln(1+x)-ln(1-x)),}
حيث ln ترمز للوغاريتم الطبيعي. بصفة عامة، دالة tanh لها دالة عكسية معرفة على ℝ+i]–π/2, π/2[ في ℂ(]–∞, –1]∪[1, +∞[)، بحيث: ∀
v
∈ C ∖ ( ]
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
+
∞
[ )
a
r
t
a
n
h
(
v
)
=
1
2

L
o
g ( 1
+
v
1
−
v ) =
1
2
(
L
o
g
(
1
+
v
)
−
L
o
g
(
1
−
v
)
)
,
{displaystyle forall vin mathbb {C} setminus left(]-infty ,-1]cup [1,+infty [right)quad {rm {artanh}}(v)={frac {1}{2}}~{rm {Log}}left({frac {1+v}{1-v}}right)={frac {1}{2}}({rm {Log}}(1+v)-{rm {Log}}(1-v)),}
حيث Log يعني العامل المحدد الرئيسي في اللوغاريتم العُقدي. بشكل أكثر دقة، لكل z من مجال تعريف الدالة tanh، العدد المركب tanh(z) هو صورة u = e2z من خلال الدالة u ↦ v = (u – 1)/(u + 1). ومع ذلك، فإن هذه الدالة هي مقابلة لـ ℂ{-1} في ℂ{1} ومنه فإن v ↦ u = (1 + ت)/(1 – v) إذن ℂℝ– على ℂ(]–∞, –1]∪[1, +∞[).

خصائص

الخصائص العامة
على مجال تعريف الدالة تكون tanh دالة تامة الشكل (هذا يعني أنها متصلة وقابلة للاشتقاق إلى ما لا نهاية)، في حين تكون مشتقتها الأولى تساوي: tanh
′ =
1 cosh 2
=
1
− tanh 2
.
{displaystyle tanh ‘={frac {1}{cosh ^{2}}}=1-tanh ^{2}.}
tanh إذن هو حل للمعادلة التفاضلية
f
′ =
1
− f 2
.
{displaystyle f’=1-f^{2}.}
دالة Tanh هي دالة دورية بمقدار iπ.
دالة Tanh هي دالة فردية.
تُمكن هذه الدالة من التحقق من قيمة الدالة الزائدية، حيث أن: tanh
⁡
(
α
+
β
)
= tanh
⁡
α
+
tanh
⁡
β
1
+
tanh
⁡
α tanh
⁡
β .
{displaystyle tanh(alpha +beta )={frac {tanh alpha +tanh beta }{1+tanh alpha ,tanh beta }}.}
عند القيام بتطبيق للدالة على المجال ℝ، فإن دالتها العكسية في نفس المجال (ℝ) تكون مُعرفة على ]-1, 1[.
الدالة في سلسلة تايلور
يمكن التعبير عن دالة Tanh في سلسلة تايلور في 0 بمساعدة أعداد بيرنولي، وذلك من خلال العلاقة التالية: {{ r
a
c
z m
e
z
−
1 = ∑ k
=
0
∞ B k
r
a
c
z k
k
! =
1
−
r
a
c
z
2
+ ∑ n
=
1
∞ B 2
n
r
a
c
z 2
n
(
2
n
)
! .
{displaystyle racz{{me}^{z}-1}=sum _{k=0}^{infty }B_{k}rac{z^{k}}{k!}=1-racz2+sum _{n=1}^{infty }B_{2n}rac{z^{2n}}{(2n)!}.} }}
tanh
⁡
z
= ∑ n
=
1
∞
2 2
n
( 2 2
n
−
1
) B 2
n
(
2
n
)
!
z 2
n
−
1
=
z
− z 3
3
+ 2 z 5 15
− 17 z 7 315
+ 62 z 9 2835
+
⋯
.
{displaystyle tanh z=sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}z^{2n-1}=z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {2z^{5}}{15}}-{frac {17z^{7}}{315}}+{frac {62z^{9}}{2835}}+cdots .}
الدالة في الكسور المستمرة
في 1761، برهن وأثبت يوهان هاينغيش لامبرت أن أحد الحلول في الكسور المستمرة المعممة للدالة tanh هي:
tanh
⁡
x
=
x 1
+
x 2 3
+
x 2 5
+
⋯ ,
{displaystyle tanh x={frac {x}{1+{dfrac {x^{2}}{3+{dfrac {x^{2}}{5+cdots }}}}}},} كما أكد على أن النظرية العامة تُمَكِّنُ من استنتاج الدالة الأسية لأي عدد كسري (باستثناء الصفر).

التطبيقات

دالة الظل الزائدي هي دالة تمر قيمها تدريجيا ما بين -1 و1، وبالتالي فإنه يمكن استخدامها لتمثيل ظاهرة الانتقال التدريجي أو شيء من هذا القبيل. بعض الظواهر (الفيزيائية والاقتصادية …) لا يمكن وصفها من خلال دراسة دالة واحدة على مجال كامل، هذا هو الحال عادة عند دراسة حرارة مادة معينة تمر بالعديد من التغييرات في فترة زمنية محددة، مما يضطر الدارس إلى تحديد مجالين للتعريف (أو أكثر)، مع شرط أن تكون الدالتين مختلفتين في كل مجال، والملاحظ أنه يمكن للدالتين (أو للدوال) أن تكونا من نفس النوع ولكن بقيم مختلفة، وبالتالي نحصل على دالة من نوع: f
(
x
)
=
{
f 1
(
x
) for x
⩽ x
t
f 2
(
x
) for x
> x
t {displaystyle f(x)={begin{cases}f_{1}(x){text{ for }}xleqslant x_{mathrm {t} }\f_{2}(x){text{ for }}x>x_{mathrm {t} }\end{cases}}}
القيمة xt هي قيمة ثابتة. في الذكاء الاصطناعي
دالة الظل الزائدي هي أيضا مشابهة جدا لما يحدث في الانتشار الخلفي مع الشبكة العصبونية الاصطناعية والتي لها سمات الدالة القابلة للاشتقاق.

شرح مبسط

الظل الزائدي (بالإنجليزية: Hyperbolic Tangent)‏ في الرياضيات، هو نوع من أنواع الدوال الزائدية الذي يتميز بخواص معينة، ومجال تعريف محدد وما إلى ذلك من مميزات كل دالة رياضية.