[ تعرٌف على ] دوال مثلثية # أخر تحديث اليوم 2024/05/22

تم النشر اليوم 2024/05/22 | دوال مثلثية

وحدات قياس الزوايا

الدرجة: يعود استخدامها إلى عصور قديمة. تُحسبُ هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزءا متساويا، يشار إليها بقيمة متبوعة بدائرة صغيرة علوية. الراديان أو الزاوية نصف القطرية أو التقدير الدائري: يساوي الزاوية المقابلة لقوس طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها 2π راديان. هناك وحدة مشتقة من الراديان وهي الميليراديان، تُعرَّف على أنها جزء من الألف من 1 راديان؛ تُستَخدَم الميليراديان في ضبط الرؤية عند استخدام السلاح الناري. الغراد: تعادل 1/400 من قياس الدائرة الكاملة، أو 100 جزء من الزاوية القائمة، يشار إليها بقيمة متبوعة بحرف “g” صغير علوي. الدورة: تعادل 360° أو 2π راديان. دقيقة وثانية القوس: هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في نظام الاحداثيات الجغرافية. دقيقة القوس: تساوي 1/60 درجة أي 0.016°،[ملاحظة 14] يشار إليها بقيمة متبوعة بالبرايم (‘).
ثانية القوس: تساوي 1/3600 درجة أي 0.00027°،[ملاحظة 14] يشار إليها بقيمة متبوعة بعلامة التنصيص (“). وحدة مقدار
درجة 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
راديان 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π
غراد 0g 100/3g 50g 200/3g 100g 200g 300g 400g
دورة 0 1/12 1/8 1/6 1/4 1/2 3/4 1 راديان مقابل درجات
في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس الزاوية. لهذا الغرض، كل الوحدات الزاوية مناسبة، ويتم قياس الزوايا في أغلب الحالات بالدرجات. عند استخدام دالة مثلثية في حساب التفاضل والتكامل، فإن متغيرهم ليست عمومًا زاوية، لكنه بالأحرى عدد حقيقي. في هذه الحالة، من الملائم أكثر التعبير عن المتغير المثلثي طولَ قوس دائرة الوحدة المحددة بزاوية رأسها مركز الدائرة. لذلك، يُستخدم الراديان وحدةً للزاوية. ميزة كبيرة للراديان هي أن العديد من الصيغ تكون أبسط بكثير عند استخدامها، عادة كل الصيغ المتعلقة بالمشتقات والتكاملات. هذا هو بالتالي اصطلاح عام، عندما تكون وحدة الزاوية غير محددة بوضوح، يتم التعبير دائمًا عن متغيرات الدوال المثلثية بالراديان.

حساب التفاضل والتكامل

الدوال المثلثية هي دوال قابلة للتفاضل. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء هندسة رياضية من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل. لتعريف الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك عدة امكانيات، منها التعريف باستخدام متسلسلة القوى أو المعادلات التفاضلية. هذه التعريفات الأخيرة متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه على سبيل المثال، قد يبدو اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، ومتطابقة فيثاغورس هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية. الهندسة الكهربائية والاتصالات
(5.ك) تمثيل دور واحد لنظام ثلاثي الطور من 0° إلى 360° (2π راديان) على طول المحور الزمني. يمثل المنحنى اختلاف الجهد اللحظي (أو التيار) بدلالة الزمن. يتكرر هذا الدور بتردد يعتمد على نظام القدرة الكهربائية.
تستخدم التيارات المتناوبة في تزويد المنازل والمصانع بالطاقة الكهربائية، ويُعبَّر عنها بشكل موجة جيبية. أحد الأسباب الرئيسية لتفضيل التيار المتناوب على التيار المستمر في الصناعة هو إمكانية تحويل مستوى الجهد للتيار المتناوب باستخدام المحولات، وهذا يُقلل من الطاقة الضائعة عند النقل لمسافات طويلة ويجعلها ذات ربح عالٍ، بالإضافة لإمكانية عدم استعمال المبادلات في المولدات. تولد محطات الكهرباء تيارات ثلاثية الطور في الغالب (انظر الصورة). يمكن وصف تغير التيار المتناوب بتلك المعادلات: v
= V m
sin
⁡
(
ω
t
+ θ v
)
{displaystyle v=V_{m}sin(omega t+theta _{v})} و i
= I m
sin
⁡
(
ω
t
+ θ i
)
{displaystyle i=I_{m}sin(omega t+theta _{i})} [ملاحظة 22] وبالتالي تُحسب وتُحدد علاقات مختلفة مثل القدرة اللحظية، القدرة الفعالة، القدرة غير الفعالة،[ملاحظة 23] … إلخ، أو مفاهيم مثل تقدم الطور، وتأخر الطور وزاوية القدرة ومعامل القدرة، …، من خلال تحليل الدوال المثلثية. الكهرباء التي تُغذى بها المنازل هي موجة جيبية ترددها غالباً ما يكون 50 أو 60 هرتز. في نمذجة خط نقل الطاقة الكهربائية، تُنمذج محددات الخط بواسطة دوال زائدية. في أنظمة الاتصالات، عادة ما تدعم كل قناة الاتصال نقل إشاراتٍ فقط في نطاق ترددي معين، ويتعذر إرسال الإشارة عبر القناة إذا كان ترددها خارج هذا النطاق.ولذلك، من أجل إرسال إشارة لها تردد خارج النطاق، عادة ما يتم تثبيتها على موجة أخرى لها تردد متوافق مع نطاق القناة، تُسمَّى هذه التقنية التضمين. في الإشارات التشابهية تكون الموجة الحاملة موجة جيبية.على سبيل المثال، في تضمين السعة، يتم ضرب الإشارة التي تحتوي على المعلومات في الموجة الحاملة للموجة الجيبية.

التعريف باستعمال دائرة الوحدة

طالع أيضًا: دائرة وحدة
(2.أ) في هذا الرسم، الدوال المثلثية الستة لزاوية اختيارية θ ممثلة إحداثياتٍ ديكارتية للنقاط المتعلقة بدائرة الوحدة. الإحداثيات الصادية لكل من A وB وD هي sin θ وtan θ وcsc θ على التوالي. في حين أن الإحداثيات السينية لكل من A وC E هي cos θ وcot θ وsec θ على التوالي.
(2.ب) رسمٌ توضيحيٌّ للإنشاءات الهندسية لمختلف الدوال المثلثية من الوتر A
D
{displaystyle AD} الذي يصنع زاوية θ
{displaystyle theta } مع محور السينات[ملاحظة 16] في دائرة الوحدة. بالإضافة إلى استعمال الدوال المثلثية الشائعة الحالية: sin
,
cos
,
tan
,
csc
,
sec
,
cot
{displaystyle sin ,cos ,tan ,csc ,sec ,cot } فإنَّ الشكل يظهرُ بعضَ الدوالِ المثلثيّةِ التي هُجِرَ استعمالُها مثل:
cvs, excsc, crd, exsec, versin {displaystyle {text{cvs, excsc, crd, exsec, versin}}} .
(2.ج) إشارات الدوال المثلثية من الربع الأول إلى الربع الرابع.
يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية تسمحُ بتعريفِ الدوالِ المثلثيةِ للزوايا بينَ 0 و π
2
{textstyle {frac {pi }{2}}} راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ. تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ θ
{displaystyle theta } [ملاحظة 17] دائرةَ الوحدةِ في النقطة A
=
(
x
,
y
)
{displaystyle A=(x,y)} فإنّ الدالةُ cos
⁡
θ
{displaystyle cos theta } تُعرّف على أنها الإحداثي x
x [ملاحظة 18] والدالة sin
⁡
θ
{displaystyle sin theta } هي الإحداثي y
{displaystyle y} [ملاحظة 19] لنقطة التقاطع. وبمعنى آخر فإنَّ: (
x
,
y
)
=
(
cos
⁡
θ
,
sin
⁡
θ
)
{displaystyle (x,y)=(cos theta ,sin theta )} . وبرسم مماسٍ من النقطة (
x
,
y
)
{displaystyle (x,y)} يقطعُ محورَي السينات والصادات[ملاحظة 20] في النقطتين E
=
(
a
,
0
)
,
F
=
(
0
,
b
)
{displaystyle E=(a,0),F=(0,b)} على الترتيب، فإنَّ a
=
sec
⁡
θ
,
b
=
csc
⁡
θ
{displaystyle a=sec theta ,b=csc theta } . يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في المجال (
0
,
π
2
)
{displaystyle (0,{frac {pi }{2}})} باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة O
A
=
r
{displaystyle OA=r} هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة P
=
( x 0
, y 0
)
{displaystyle P=(x_{0},y_{0})} على دائرة الوحدة تُحقّق
x 2
+ y 2
=
1
{displaystyle x^{2}+y^{2}=1} من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم △
O
C
A
{displaystyle triangle OCA} ، فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات x
,
y
{displaystyle x,y} يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس:
cos 2
⁡
θ
+ sin 2
⁡
θ
=
1
{displaystyle cos ^{2}theta +sin ^{2}theta =1} . وأخيراً فإنَّ المسافات A
F
,
A
E
{displaystyle AF,AE} تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: cot
⁡ θ ,
tan
⁡ θ {displaystyle cot {theta },tan {theta }} على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة △
O
A
F
,
△
O
A
E
,
△
O
E
F
{displaystyle triangle OAF,triangle OAE,triangle OEF} للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي: tan
⁡
θ
= sin
⁡
θ
cos
⁡
θ , cot
⁡
θ
= cos
⁡
θ
sin
⁡
θ , sec
⁡
θ
=
1 cos
⁡
θ , csc
⁡
θ
=
1 sin
⁡
θ .
{displaystyle tan theta ={frac {sin theta }{cos theta }},quad cot theta ={frac {cos theta }{sin theta }},quad sec theta ={frac {1}{cos theta }},quad csc theta ={frac {1}{sin theta }}.}
بما أنَّ دوراناً بزاوية ±
2
π
{displaystyle pm 2pi } لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط F
,
A
,
E
{displaystyle F,A,E} ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ 2
π
{displaystyle 2pi } . وعلى ذلكَ، الدوال المثلثية هن دوالٌ دورية ذات دور 2
π
{displaystyle 2pi } . بمعنى آخر، المساواةَ sin
⁡
θ
=
sin
⁡ ( θ
+
2
k
π ) {displaystyle sin theta =sin left(theta +2kpi right)} و cos
⁡
θ
=
cos
⁡ ( θ
+
2
k
π ) {displaystyle cos theta =cos left(theta +2kpi right)} صالحةٌ لأي زاوية θ
{displaystyle theta } ولأي عدد صحيح k
k . ينطبق الشيء ذاته على الدوال المثلثية الأربع الأخرى. تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب وجيب التمام والقاطع وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى أن 2π هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي 2π هي الدور الأساسي لتلك الدوال. إلا أن بعد الدوران بزاوية π، تعود النقطتان B وC إلى موضعهما الأصلي (الصورة (2.أ))، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دور أساسي π. الدوران
يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي كل العلاقات المثلثية: انعكاس حول المحور الأفقي دوران بزاوية π/2 دوران بزاوية π دوران بزاوية 2kπ (مع k عدد صحيح) انعكاس حول المحور العمودي
sin
⁡
(
−
θ
)
=
−
sin
⁡
θ
{displaystyle sin(-theta )=-sin theta } sin
⁡
(
θ
+ π
2 )
=
+
cos
⁡
θ
{displaystyle sin(theta +{tfrac {pi }{2}})=+cos theta } sin
⁡
(
θ
+
π
)
=
−
sin
⁡
θ
{displaystyle sin(theta +pi )=-sin theta } sin
⁡
(
θ
+
2
k
π
)
=
+
sin
⁡
θ
{displaystyle sin(theta +2kpi )=+sin theta } sin
⁡
(
π
−
θ
)
=
sin
⁡
θ
{displaystyle sin(pi -theta )=sin theta }
cos
⁡
(
−
θ
)
=
+
cos
⁡
θ
{displaystyle cos(-theta )=+cos theta } cos
⁡
(
θ
+ π
2 )
=
−
sin
⁡
θ
{displaystyle cos(theta +{tfrac {pi }{2}})=-sin theta } cos
⁡
(
θ
+
π
)
=
−
cos
⁡
θ
{displaystyle cos(theta +pi )=-cos theta } cos
⁡
(
θ
+
2
k
π
)
=
+
cos
⁡
θ
{displaystyle cos(theta +2kpi )=+cos theta } cos
⁡
(
π
−
θ
)
=
−
cos
⁡
θ
{displaystyle cos(pi -theta )=-cos theta }
tan
⁡
(
−
θ
)
=
−
tan
⁡
θ
{displaystyle tan(-theta )=-tan theta } tan
⁡
(
θ
+ π
2 )
=
−
cot
⁡
θ
{displaystyle tan(theta +{tfrac {pi }{2}})=-cot theta } tan
⁡
(
θ
+
π
)
=
+
tan
⁡
θ
{displaystyle tan(theta +pi )=+tan theta } tan
⁡
(
θ
+
2
k
π
)
=
+
tan
⁡
θ
{displaystyle tan(theta +2kpi )=+tan theta } tan
⁡
(
π
−
θ
)
=
−
tan
⁡
θ
{displaystyle tan(pi -theta )=-tan theta }
cot
⁡
(
−
θ
)
=
−
cot
⁡
θ
{displaystyle cot(-theta )=-cot theta } cot
⁡
(
θ
+ π
2 )
=
−
tan
⁡
θ
{displaystyle cot(theta +{tfrac {pi }{2}})=-tan theta } cot
⁡
(
θ
+
π
)
=
+
cot
⁡
θ
{displaystyle cot(theta +pi )=+cot theta } cot
⁡
(
θ
+
2
k
π
)
=
+
cot
⁡
θ
{displaystyle cot(theta +2kpi )=+cot theta } cot
⁡
(
π
−
θ
)
=
−
cot
⁡
θ
{displaystyle cot(pi -theta )=-cot theta }
sec
⁡
(
−
θ
)
=
+
sec
⁡
θ
{displaystyle sec(-theta )=+sec theta } sec
⁡
(
θ
+ π
2 )
=
−
csc
⁡
θ
{displaystyle sec(theta +{tfrac {pi }{2}})=-csc theta } sec
⁡
(
θ
+
π
)
=
−
sec
⁡
θ
{displaystyle sec(theta +pi )=-sec theta } sec
⁡
(
θ
+
2
k
π
)
=
+
sec
⁡
θ
{displaystyle sec(theta +2kpi )=+sec theta } sec
⁡
(
π
−
θ
)
=
−
sec
⁡
θ
{displaystyle sec(pi -theta )=-sec theta }
csc
⁡
(
−
θ
)
=
−
csc
⁡
θ
{displaystyle csc(-theta )=-csc theta } csc
⁡
(
θ
+ π
2 )
=
+
sec
⁡
θ
{displaystyle csc(theta +{tfrac {pi }{2}})=+sec theta } csc
⁡
(
θ
+
π
)
=
−
csc
⁡
θ
{displaystyle csc(theta +pi )=-csc theta } csc
⁡
(
θ
+
2
k
π
)
=
+
csc
⁡
θ
{displaystyle csc(theta +2kpi )=+csc theta } csc
⁡
(
π
−
θ
)
=
csc
⁡
θ
{displaystyle csc(pi -theta )=csc theta } رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة
الدوال المثلثية: الجيب، جيب التمام، الظل، قاطع التمام (متقطع)، القاطع (متقطع)، ظل التمام (متقطع).

هوامش وملاحظات

.

.[ملاحظة 1] مقاليب هذه الدوال هم دوالٌ مثلثيّةٌ أيضاً وهي: قاطع التمام والقاطع وظل التمام على التوالي. لاحظ أن مقلوب الجيب هو قاطع التمام ومقلوب جيب التمام هو القاطع.