تم النشر اليوم 2024/05/16 | مبرهنة هان-باناخ

نظرية هان-بناخ

تُعنى النظرية في الأساس بفكرة إيجاد امتداد للداليات الخطية و قد ظهرت في صورتها الأولى في عام 1927 في أعمال الرياضي النمساوى هانز هان Hans Hahn ثم أعيدت صياغتها في عام 1929 في صورتها المتعلقة بالفراغات الاتجاهية الحقيقية على يد الرياضي البولندى ستيفان بناخ Stefan Banach و من ثم التعميم لحالة الفراغات الاتجاهية المركبة في عام 1938 ، و توجد أيضاً صياغة للنظرية في حالة الفراغات المعيرة .

نظرية هان-بناخ للفراغات المعيرة

لتكن f
{displaystyle f} دالية خطية محدودة معرفة على الفراغ Z
{displaystyle Z} الجزئي من الفراغ المعير {displaystyle X} ، إذن توجد دالية خطية محدودة
f
~ {displaystyle {tilde {f}}} معرفة على كل الفراغ
{displaystyle X} بحيث تمثل امتداداً لـ f
{displaystyle f} ولهما نفس المعيار أي أن
‖ f
~
‖ =
‖
f ‖ Z
{displaystyle |{tilde {f}}|_{X}=|f|_{Z}} حيث ‖ f
~
‖ = sup x
∈
,
‖
x
‖
=
1 |
f
~ (
x
) | {displaystyle |{tilde {f}}|_{X}=sup _{xin X,|x|=1}|{tilde {f}}(x)|} و ‖
f ‖ Z
= sup x
∈
Z
,
‖
x
‖
=
1 | f
(
x
) | {displaystyle |f|_{Z}=sup _{xin Z,|x|=1}|f(x)|} .

نظرية هان-بناخ (1927-1929)

ليكن {displaystyle X} فراغاً اتجاهياً حقيقياً و p
p دالية تحت خطية معرفة عليه ، ولتكن f
{displaystyle f} دالية خطية معرفة على الفراغ الجزئي Z
{displaystyle Z} وتحقق أن f
(
x
)
⩽
p
(
x
)
{displaystyle f(x)leqslant p(x)} وذلك لكل Z
∋
x
{displaystyle Zni x} ؛ عندئذ يمكن إيجاد دالية خطية
f
~ {displaystyle {tilde {f}}} معرفة على كل الفراغ {displaystyle X} بحيث:
f
~ (
x
)
=
f
(
x
)
∀
x
∈
Z
{displaystyle {tilde {f}}(x)=f(x)forall xin Z} (
أي أنها تمثل امتداداً لـ f
{displaystyle f} ) و
f
~ (
x
)
⩽
p
(
x
)
∀
x
∈
{displaystyle {tilde {f}}(x)leqslant p(x)forall xin X} ⋅
{displaystyle cdot }

نظرية هان-بناخ (1938)

ليكن {displaystyle X} فراغاً اتجاهياً حقيقياً أو مركباً و p
p دالية ذات قيم حقيقية معرفة على {displaystyle X} بحيث أن لأى ∋
x
,
y
{displaystyle Xni x,y} و أي كمية
قياسية α
{displaystyle alpha } يتحقق أن p
(
x
+
y
)
⩽
p
(
x
)
+
p
(
y
)
{displaystyle p(x+y)leqslant p(x)+p(y)} و p
(
α
x
)
= | α | p
(
x
)
{displaystyle p(alpha x)=|alpha |p(x)} ، ولتكن f
{displaystyle f} دالية خطية معرفة على الفراغ الجزئي Z
{displaystyle Z} وتحقق أن | f
(
x
) | ⩽
p
(
x
)
{displaystyle |f(x)|leqslant p(x)} وذلك لكل Z
∋
x
{displaystyle Zni x} ؛ عندئذ يمكن إيجاد دالية خطية
f
~ {displaystyle {tilde {f}}} معرفة على كل الفراغ {displaystyle X} بحيث
f
~ (
x
)
=
f
(
x
)
∀
x
∈
Z
{displaystyle {tilde {f}}(x)=f(x)forall xin Z} (
أي أنها تمثل امتداداً لـ f
{displaystyle f} ) و
|
f
~ (
x
) | ⩽
p
(
x
)
∀
x
∈
{displaystyle |{tilde {f}}(x)|leqslant p(x)forall xin X} ⋅
{displaystyle cdot } باستخدام هاتين النظريتين نحصل على

شرح مبسط

هي إحدى النظريات الأساسية للتحليل الدالي، وسميت على اسمي من صاغاها: العالم النمساوى هانز هان Hans Hahn والعالم البولندي ستيفان باناخ Stefan Banach.[1][2]