تم النشر اليوم 2024/05/12 | نظرية المد والجزر

معادلة لابلاس للمد والجزر

من أجل طبقة سائل على شكل صفيحة ذات سماكة D وليكن الارتفاع المدي ς ومركبة السرعة الأفقية u وv (على خط العرض φ والطولλ على الترتيب) فتكون معادلة لابلاس:
∂
ζ
∂
t
+
1 a
cos
⁡
(
φ
)
[ ∂ ∂
λ (
u
D
)
+
∂ ∂
φ
( v
D
cos
⁡
(
φ
) )
] =
0
, ∂
u
∂
t
−
v ( 2
Ω
sin
⁡
(
φ
) ) +
1 a
cos
⁡
(
φ
) ∂ ∂
λ
( g
ζ
+
U ) =
0
and
∂
v
∂
t
+
u ( 2
Ω
sin
⁡
(
φ
) ) +
1
a
∂ ∂
φ
( g
ζ
+
U ) =
0
,
{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial zeta }{partial t}}&+{frac {1}{acos(varphi )}}left[{frac {partial }{partial lambda }}(uD)+{frac {partial }{partial varphi }}left(vDcos(varphi )right)right]=0,\[2ex]{frac {partial u}{partial t}}&-vleft(2Omega sin(varphi )right)+{frac {1}{acos(varphi )}}{frac {partial }{partial lambda }}left(gzeta +Uright)=0qquad {text{and}}\[2ex]{frac {partial v}{partial t}}&+uleft(2Omega sin(varphi )right)+{frac {1}{a}}{frac {partial }{partial varphi }}left(gzeta +Uright)=0,end{aligned}}}
حيث Ω التردد الزاوي لدوران الكوكب وU قوى الجاذبية الخارجية للمد والجزر

فيزياء المد والجزر

قوى المد والجزر
لنعتبر نقطة على سطح كوكب أو قمر وهذه النقطة تبعد عن مركز الثقل a
a وتقع على خط عرض φ
varphi وخط طول λ
{displaystyle lambda } وتعرف هذه النقطة وفق الإحداثيات الديكارتية
p =
a x {displaystyle mathbf {p} =amathbf {x} } where
x =
(
cos
⁡
λ
cos
⁡
φ
,
sin
⁡
λ
cos
⁡
φ
,
sin
⁡
φ
)
.
{displaystyle mathbf {x} =(cos lambda cos varphi ,sin lambda cos varphi ,sin varphi ).}
ولتكن δ
delta الانحراف الزاوي و α
alpha المطلع المستقيم للجرم المتشوه فعندها يعطى شعاع الاتجاه x
m
=
(
cos
⁡
α
cos
⁡
δ
,
sin
⁡
α
cos
⁡
δ
,
sin
⁡
δ
)
,
{displaystyle mathbf {x} _{m}=(cos alpha cos delta ,sin alpha cos delta ,sin delta ),}
ولتكن
r m
{displaystyle r_{m}} المسافة بين مركزي الثقل و
M m
{displaystyle M_{m}} كتلة الجرم فعندها تكون القوة في هذه النقطة F
a
= G M m
( r m
x
m
−
a x )
R 3
.
{displaystyle mathbf {F} _{a}={frac {GM_{m}(r_{m}mathbf {x} _{m}-amathbf {x} )}{R^{3}}}.}
حيث R
=
‖ r m
x
m
−
a x ‖
{displaystyle R=|r_{m}mathbf {x} _{m}-amathbf {x} |} من أجل مدار دائري يكون الزخم الزاوي math>omega فإن التسارع الجابذ يوازن الجاذبية في مركز الثقل M r c
m ω 2
= G
M M m
r m
2
.
{displaystyle Mr_{cm}omega ^{2}={frac {GMM_{m}}{r_{m}^{2}}}.}
حيث
r c
m
{displaystyle r_{cm}} المسافة بين مركز ثقل الجسم التابع ومركز ثقل الجرم الأساسي و M
M كتلة الجرم. تعتبر هذا لنقطة ثابتة بدون دوران، ولنقل معادلة هذه النقطة إلى معادلة نقطة تدور فإن القوى الجابذة تؤثر على هذ النقطة لتصبح المعادلة F
p
= G M m
( r m
x
m
−
a x )
R 3
− r c
m ω 2
x
m
.
{displaystyle mathbf {F} _{p}={frac {GM_{m}(r_{m}mathbf {x} _{m}-amathbf {x} )}{R^{3}}}-r_{cm}omega ^{2}mathbf {x} _{m}.}
وبالتعويض في تسارع مركز الثقل
وبإعادة الترتيب F
p
=
G M m r m ( 1 R 3
−
1 r m
3 ) x
m
− (
G M m
a x )
R 3
.
{displaystyle mathbf {F} _{p}=GM_{m}r_{m}left({frac {1}{R^{3}}}-{frac {1}{r_{m}^{3}}}right)mathbf {x} _{m}-{frac {(GM_{m}amathbf {x} )}{R^{3}}}.}
في المحيطات تكون القوى القطرية غير كافية، فالخطوة التالية كتابة معامل x
m
{displaystyle mathbf {x} _{m}} ولتكن ε
=
a r m
{displaystyle varepsilon ={frac {a}{r_{m}}}} عندها R
= r m
1
+ ε 2
−
2
ε
(
x
m
, x )
{displaystyle R=r_{m}{sqrt {1+varepsilon ^{2}-2varepsilon (mathbf {x} _{m},mathbf {x} )}}}
حيث math>(mathbf{x}_m,mathbf{x})= cos z هو محدد الناتج الداخلي للزاوية z للتشوه الجرم عند الذروة. وهذا يعني
( 1 R 3
−
1 r m
3 ) ≈ 3
ε
cos
⁡
z
r m
3
,
{displaystyle left({frac {1}{R^{3}}}-{frac {1}{r_{m}^{3}}}right)approx {frac {3varepsilon cos z}{r_{m}^{3}}},}
و إذا كانت ε صغيرة، وأذا كانت النقطة على سطح الكوكب عندها الجاذبية المحلية g
= G
M
a 2
{displaystyle g={frac {GM}{a^{2}}}} والمجموع

μ
=

M

m

M

{displaystyle mu ={frac {M_{m}}{M}}}

. F
p
=
3
g
μ ε 3
cos
⁡
z
x
m
− (
g
μ a 3 x )
R 3
+
O
( ε 4
)
,
{displaystyle mathbf {F} _{p}=3gmu varepsilon ^{3}cos zmathbf {x} _{m}-{frac {(gmu a^{3}mathbf {x} )}{R^{3}}}+O(varepsilon ^{4}),}

أساس النظرية

كتب غاليليو غاليلي سنة 1616 موضوع بعنوان مناقشة في المد والجزر وقد حاول شرح ظاهرة المد والجزر كنتيجة لدوران الأرض حول الشمس. على أي حال ظهر لاحقاً أن نظريته كانت خاطئة.

شرح مبسط

تعتبر نظرية المد والجزر إحدى تطبيقات الميكانيك الاستمراري لتفسير والتنبؤ بالتشوهات الكوكبية الناتجة عن قوى المد والجزر وتشوهات المحيطات والغلاف الجوي، وتنتج نتيجة تأثير الجاذبية لجرم ما على آخر. ومن الشائع الإشارة لعملية المد والجزر بحركة المحيطات على الأرض.