أولا خاصية الانعكاس

تكون العلاقة ع علاقة انعكاسية على المجموعة أ عندما يرتبط كل عنصر من أ مع نفسه في العلاقة ع.





أي أن لكل س ∈ أ يجب ان يوجد (س ، س) ∈ ع. ∀ س ∈ أ ، (س ، س) ∈ ع.



ملاحظة إذا وجدنا عنصر واحد في أ بحيث ان هذا العنصر لا يرتبط مع نفسه في ع تكون العلاقة ع علاقة غير انعكاسية.





مثال أ 5 ، 6 ، 8 ، 9 ،ع (5 ، 6) ، ( 5 ، 5) ، (6 ، 6) ، (8 ، 5) ، (8 ، 8) ، (9 ، 9) ، هل العلاقة ع انعكاسية؟.



نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع .



5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع.



6 ∈ أ وَ (6 ، 6) ∈ ع.



8 ∈ أ وَ (8 ، 8) ∈ ع.



9 ∈ أ وَ (9 ، 9) ∈ ع.



إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع أي أن لكل س ∈ أ يوجد (س ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع انعكاسية.

ثانياً خاصية التماثل

تكون العلاقة ع علاقة تماثلية على المجموعة أ عندما يوجد (س ، ص) ∈ ع فإنه يجب ان يوجد (ص ، س) ∈ ع حيث س ، ص ∈ أ.



أي أنه إذا وجد زوج مرتب (س ، ص) في العلاقة ع يجب أن يوجد (ص ، س) في نفس العلاقة ع.



هنا نفحص كل الأزواج المرتبة في ع ولا نفحص عناصر المجموعة أ. ونفحص كل زوج مرتب في ع ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب. وتكون العلاقة تماثلية إذا وجدنا (ص ، س) ∈ ع لكل (س ، ص) ∈ ع.



ملاحظة إذا وجدنا زوج مرتب واحد (س ، ص) ∈ ع وكان (ص ، س) ∉ ع تكون العلاقة ع غير تماثلية.





مثال ع (7 ، 6) ، (5 ، 4) ، (6 ، 6) ، (4 ، 5) ، (3 ، 8) ، (6 ، 7) ، (8 ، 3) ، (8 ، 8)



هل العلاقة ع تماثلية؟.



نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.



(7 ، 6) ∈ ع أيضاً (6 ، 7) ∈ ع.



(5 ، 4) ∈ ع أيضاً (4 ، 5) ∈ ع.



(6 ، 6) ∈ ع أيضاً (6 ، 6) ∈ ع لا داعي لفحص هذا الزوج المرتب لأن تبديل مساقطه يعطي نفس الزوج المرتب (6 ، 6).



(4 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 4) âˆٹ ع.



(3 ، 8) ∈ ع أيضاً (8 ، 3) ∈ ع.



(6 ، 7) ∈ ع أيضاً (7 ، 6) ∈ ع.



(8 ، 3) ∈ ع أيضاً (3 ، 8) ∈ ع.



(8 ، 8) ∈ ع أيضاً (8 ، 8) ∈ ع.



إذن لكل (س ، ص) ∈ ع يوجد (ص ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تماثلية.

ثالثا خاصية التعدي

تكون العلاقة ع علاقة تعدي على المجموعة أ إذا وجدنا (س ، ص) ، (ص، ل) ∈ ع فإنه يجب أن يوجد (س ، ل) ∈ ع حيث س ، ص ، ل ∈ أ.



أي نفحص كل الأزواج المرتبة الموجودة في ع ولا نفحص عناصر المجموعة أ.



عندما نجد زوج مرتب (س ، ص) ∈ ع نبحث إذا يوجد زوج مرتب (ص ، ل) ∈ ع بحيث يكون مسقطه الأول هو نفس المسقط الثاني للزوج المرتب



(س ، ص) ؛ ثم نبحث عن الزوج المرتب (س ، ل) في ع بحيث مسقطه الأول هو المسقط الأول للزوج المرتب (س ، ص) ومسقطه الثاني هو المسقط الثاني للزوج المرتب ( ص ، ل).



ملاحظة إذا وجدنا(س ، ص)،(ص، ل) ∈ ع وكان (س، ل) ∉ ع تكون العلاقة ع ليست علاقة تعدي.





مثال ع (1 ، 2)،(4 ، 4)،(2 ، 1)،(2، 2)،(4 ، 3 )،(1 ، 1)،(3 ، 7)،(4 ، 7)،(7 ، 3)،( 3 ، 3)،(7 ، 7) .



(1 ، 2) ، (2 ، 1) ∈ ع أيضاً (1 ، 1) ∈ ع.



(1 ، 2) ، (2 ، 2) ∈ ع أيضاً (1 ، 2) ∈ ع لا داعي لفحص الزوج المرتب الذي مساقطه متساوية لأن الزوج المرتب الناتج الثالث سيعيدنا إلى نفس الزوج المرتب الأول.



(4 ، 4) ، (4 ، 3) ∈ ع أيضاً (4 ، 3) ∈ ع لا داعي لفحص الزوج المرتب الذي مساقطه متساوية لأن الزوج المرتب الناتج الثالث سيعيدنا إلى نفس الزوج المرتب الثاني.



(2 ، 1) ، (1 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 2) ∈ ع.



(4 ، 3) ، (3 ، 7) ∈ ع أيضاً (4 ، 7) ∈ ع.



(3 ، 7) ، (7 ، 3) ∈ ع أيضاً (3 ، 3) ∈ ع.



(4 ، 7) ، (7 ، 3) ∈ ع أيضاً (4 ، 3) ∈ ع.



(7 ، 3) ، (3 ، 7) ∈ ع أيضاً (7 ، 7) ∈ ع.



إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع فإنه يوجد ( س ، ل) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تعدي.

رابعاً خاصية التكافؤ

تكون العلاقة ع علاقة تكافؤ على المجموعة أ عندما تكون علاقة انعكاسية وتماثلية وتعدي معاً.



ملاحظات

• إذا كانت العلاقة ع ليست تعدي تكون العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.


• إذا كانت العلاقة ع ليست تماثل تكون العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.


• إذا كانت العلاقة ع ليست انعكاسية تكون العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.

أمثلة متنوعة

المثال الأول لتكن أ 4 ، 5 ، 7 ، 10 .





هل العلاقات التالية المعرفة على أ لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ مع بيان الأسباب.



1) ع1 (4 ، 4) ، (5 ، 5) ، (7 ، 7) ، (10 ، 10) ، (4 ، 7) .

نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع1.

4 ∈ أ وَ (4 ، 4) ∈ ع1.

5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع1.

7 ∈ أ وَ (7 ، 7) ∈ ع1.

10 ∈ أ وَ (10 ، 10) ∈ ع1.

إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع1 أي أن لكل س ∈ أ يوجد ( س ، س) ∈ ع1.

إذن العلاقة ع1 انعكاسية.

نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع1 ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع1 عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.

(4 ، 7) ∈ ع1 لكن (7 ، 4) ∉ع1.



إذن يوجد (س ، ص) ∈ ع1 لكن (ص ، س) ∉ ع1. إذن العلاقة ع1 علاقة غير تماثلية. إذن العلاقة ع1 ليست علاقة تكافؤ.

(4 ، 7) ، (7 ، 7) ∈ ع1 أيضاً (4 ، 7) ∈ ع1.

إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع1 فإنه يوجد (س ، ل) ∈ ع1. إذن العلاقة ع1 علاقة تعدي.

2) ع2 (7 ، 10) .

العلاقة ع2 ليست انعكاسية لأن 4 ∈ أ لكن (4 ، 4) ∉ ع2.

العلاقة ع2 ليست علاقة تماثلية لأن (7 ، 10) ∈ ع2 لكن (10 ، 7) ∉ ع2. إذن العلاقة ع2 ليست علاقة تكافؤ.

العلاقة ع2 علاقة تعدي حيث يوجد بها زوج مرتب واحد فقط ولا يوجد زوجين مرتبين مثل (س ، ص) ، (ص ، ل) في ع2 وهذا لا يخالف شرط التعدي.

3) ع3 (4 ، 4) ، (5 ، 5 ) ، (7 ، 7 ) ، (10 ، 10) .

نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع3 .

4 ∈ أ وَ (4 ، 4) ∈ ع3.

5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع3.

7 ∈ أ وَ (7 ، 7) ∈ ع3.

10 ∈ أ وَ (10 ، 10) ∈ ع3.

إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع3 أي أن لكل س ∈ أ يوجد (س ، س) ∈ ع3. إذن العلاقة ع3 انعكاسية.

العلاقة ع3 علاقة تماثلية لأن لكل (س ، ص) ∈ ع3 يوجد (ص ، س) ∈ ع3 حيث أن كل زوج مرتب في ع3 عندما نبدل مساقطه ينتج نفس الزوج المرتب.

(4 ، 4) ∈ ع3 وَ (4 ، 4) ∈ ع3.

(5 ، 5) ∈ ع3 وَ (5 ، 5) ∈ ع3.

(7 ، 7) ∈ ع3 وَ (7 ، 7) ∈ ع3.

(10 ،10) ∈ ع3 وَ (10، 10) ∈ ع3.

العلاقة ع3 علاقة تعدي حيث يوجد بها أزواج مرتبة مساقطها متساوية ولا يوجد زوجين مرتبين مثل (س ، ص) ، (ص ، ل) في ع3 وهذا لا يخالف شرط التعدي.

العلاقة ع3 هي علاقة انعكاس وتماثل وتعدي إذن ع3 هي علاقة تكافؤ.

المثال الثاني أ 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ،......... .





والعلاقة ع معرفة على أ حيث ع (س ، ص) ∈ أ × أ س + ص 5 .



هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ؟.



ع (0 ، 5) ، (5 ، 0) ، (2 ، 3) ، (3 ، 2) ، (4 ، 1) ، (1 ، 4) .



العلاقة ع ليست انعكاسية لأن 6 ∈ أ لكن (6 ، 6 ) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.



(0 ، 5)∈ ع وأيضاً (5 ، 0) ∈ ع.



(2 ، 3)∈ ع وأيضاً (3 ، 2) ∈ ع.



(4 ، 1)∈ ع وأيضا (1 ، 4) ∈ ع.



العلاقة ع علاقة تماثل لأن لكل زوج مرتب (س ، ص) ∈ ع نجد (ص ، س) ∈ ع.



العلاقة ع ليست تعدي لأنه يوجد (0 ، 5) ، (5 ، 0) ∈ ع لكن (0 ، 0) ∉ ع.



المثال الثالث أ 5 ، 3 ، 14 ، 6 ، 18 ، 7 ، 9 ، 10 ، 6 .





العلاقة ع معرفة على أ حيث ع (س ، ص) ∈ أ× أ ص 2س .



هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي؟.



ع (5 ، 10) ، (3 ، 6) ، (7 ، 14) ، (9 ، 18) .



العلاقة ع ليست انعكاسية لأن 5 ∈ أ لكن (5 ، 5) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.



العلاقة ع ليست علاقة تماثل لأن (5 ، 10) ∈ ع لكن (10 ، 5) ∉ ع.



العلاقة ع علاقة تعدي حيث يوجد بها أزواج مرتبة مثل (س ، ص) لكن لا يوجد زوجين مرتبين مثل (س ، ص) وَ (ص ، ل) في ع وهذا لا يخالف شرط التعدي.



المثال الرابع لتكن أ 1 ، 2 ، 4 ، 5 .





العلاقة ع معرفة على أ حيث ع (1 ، 1) ، (2 ، 2) ، (5 ، 5) ، (4 ، 4) ، (5 ، 4) ، (4 ، 5) ، (2 ، 1) ، (1 ، 2) .



هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ ؟.



نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع.



1 ∈ أ وَ (1 ، 1) ∈ ع.



2 ∈ أ وَ (2 ، 2) ∈ ع.



4 ∈ أ وَ (4 ، 4) ∈ ع.



5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع.



إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع أي أن لكل س ∈ أ يوجد (س ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع انعكاسية.



نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.



(5 ، 4) ∈ ع أيضاً (4 ، 5) ∈ ع.



(4 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 4) ∈ ع.



(1 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 1) ∈ ع.



(2 ، 1) ∈ ع أيضاً (1 ، 2) ∈ع.



إذن لكل (س ، ص) ∈ ع يوجد (ص ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تماثلية.



(5 ، 4) ، (4 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 5) ∈ ع.



(4 ، 5) ، (5 ، 4) ∈ ع أيضاً (4 ، 4) ∈ ع.



(2 ، 1) ، (1 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 2) ∈ ع.



(1 ، 2) ، (2 ، 1) ∈ ع أيضاً (1 ، 1) ∈ ع.



إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع يوجد (س ، ل) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تعدي .



ع علاقة انعكاسية وتعدي وتماثل. إذن العلاقة ع هي علاقة تكافؤ.



المثال الخامس لتكن أ 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 .





العلاقة ع معرفة على أ حيث ع (1 ، 1) ، (5 ، 2) ، (2 ، 2) ، (2 ، 5) ، (3 ، 4) ، (4 ، 5) ، (3 ، 5) ، (4 ، 2) ،


( 3 ، 2) ، ( 5 ، 5) .


هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ ؟.



العلاقة ع ليست انعكاسية لأن 3 ∈ أ لكن (3 ، 3) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.



نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.



(3 ، 4) ∈ ع لكن (4 ، 3) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تماثلية.



(5 ، 2) ، (2 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 5) ∈ ع.



(2 ، 5) ، (5 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 2) ∈ ع.



(3 ، 4) ، (4 ، 2) ∈ ع أيضاً (3 ، 2) ∈ ع.



(3 ، 4) ، (4 ، 5) ∈ ع أيضاً (3 ، 5) ∈ ع.



(4 ، 5) ، (5 ، 2) ∈ ع أيضاً (4 ، 2) ∈ ع.



(3 ، 5) ، (5 ، 2) ∈ ع أيضاً (3 ، 2) ∈ ع.



(4 ، 2) ، (2 ، 5) ∈ ع أيضاً (4 ، 5) ∈ ع.



(3 ، 2) ، (2 ، 5) ∈ ع أيضاً (3 ، 5) ∈ ع.



إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع يوجد (س ، ل) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تعدي.







_


تتميز العلاقات على مجموعة (رياضيات) مجموعة بأربعة خواص هامة الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ.