الأسطح الغاوسية الشائعة

عند أداء تفاضل لسطح مغلق، فإن السطح الغاوسي لا يتضمنن بالضرورة كل الشحنة الكهربائية. وإضافةً على ذلك، ليس بالضرورة أن نختار سطح غاوسي الذي يستخدم التناظر في حالة معينة (كما في الأمثلة بالأسفل) ولكن، الحسابات تكون قليلة المشقة بكثير إذا استخدمنا السطح الغاوسي المناسب.



أغلب المعادلات التي تستخدم الأسطح الغاوسية تبدأ بتطبيق قانون غاوس (للكهربائيةIntroduction to electrodynamics By Griffiths D.J)

حيث (V(Q هي الشحنة الكهربائية المتضمنة داخل V السطح المغلق.



هذا هو قانون غاوس الذي يدمج بين قانون كولوم و مبرهنة التباعد >

السطح الكروي

يستخدم سطح كروي غاوسي عندما يبحث عن الحقل الكهربائي أو تدفق كهربائي المنتج من أياً من الآتي Physics for Scientists and Engineers - with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Fre an, , ISBN 0-7167-8964-7

1. شحنة جسيم نقطي نقطية


2. شحنة على شكل قشرة كروية موزعة بشكل متجانس


3. أي توزيع أخر للشحنة ولكن ب تناظر دائري تناظر كروي

يختار السطح الغاوسي الكروي بحيث تكون متركز حول توزيع الشحنة.


Gaussian Spherical Surface Arabic 250 تصغير يسار r>R السطح الغاوس الكروي أكبر من القشرة الكروية

مثال

افرض أن قشرة كروية مشحونة (S) سمكها لا يذكر، ولديها شحنة متجانسة التوزيع (Q) ونصف قطر القشرة الكروية (R). هنا يمكننا إستخدام معادلة غاوس لمعرفة مقدار (رياضيات) مقدار محصلة الحقل الكهربائي (E) أو تدفق كهربائي التدفق الكهربائي (د•). وذلك بتخيل سطح غاوسي كروي على مسافة (r) (نصف قطره) من وسط القشرة الكروية المشحونة.



Gaussian Spherical Surface Arabic R more than r 250 تصغير rR أي نصف قطر السطح الغاوسي (r) أكبر من نصف قطر القشرة الكروية (R)، فإن مقدار الحقل المغناطيسي متساوي على جميع النقاط داخل السطح ومتجه للخارج. تدفق كهربائي التدفق الكهربائي يساوي مقدار الحقل المغناطيسي مضروب في مساحة السطح الكروي.

وإستناجأً من قانون غاوس الذي يمكن ان يعرف بأنه الشحنة الكلية Q الموجودة في مساحة مقسمة على سماحية الفراغ خµ0. فبذلك يمكن صياغته رياضيا كما يلي



phi Q over varepsilon_ 0

لحساب تدفق كهربائي التدفق الكهربائي phi EA E4 pi r^2 Q over varepsilon_ 0

لحساب مقدار الحقل الكهربائي E Q over 4 pi varepsilon r^2

إذا كان R>r أي نصف قطر السطح الغاوسي (r) أصغر من نصف قطر القشرة الكروية (R)، اين ان نتخيل السطح الغاوسي الكروي يصبح داخل القشرة الكروية أي ان السطح الغاوسي يضم أقل من قيمة الشحنة الكلية Q.

فلحساب التدفق الكهربائي و مقدار الحقل الإلكتروني





نرى إان Q over Q' 4 over 3 pi r^3 over 4 over 3 pi r^3

فإن Q' Q r^3 over R^3

وحسب الإستنتاج السابق ل قانون غاوس



فإن لحساب تدفق كهربائي التدفق الكهربائي phi E4 pi r^2 Qr^3 over varepsilon_ 0 R^3

لحساب مقدار الحقل الكهربائي E Qr over 4 pi varepsilon R^3

السطح الإسطواني

يستخدم سطح لإسطواني غاوسي عندما يبحث عن الحقل الكهربائي أو تدفق كهربائي المنتج من أياً من الآتي

• خط (هندسة) خط طويل لامتناهي من الشحنة المنتظمة


• مستو (رياضيات) مستوى لامنتاهي من الشحنة المنتظمة

مثال

افترض ان نقطة ما تسمى (P) على مسافة (r) من شحنة على شكل خط لانهائي لها كثافة الشحنة (خ»). تخيل سطح مغلق على شكل إسطوانة حول الخط الانهائي من الشحنة.


Gaussian surface تصغير يسار سطح غاوسي مغلق على شكل إسطوانة يحتوي خط لانهائي من الشحنة بداخله (مركزه).


إذا كانت (h) هي طول السطح الإسطواني الغاوسي فإن الشحنة (q) داخل الإسطوانة الغاوسية تساوي


q h lambda

, هناك ثلاثة أسطح وهي a و b و c كما هو موضوح في الصورة. ,تفاضل المتجه المساحي هو dA على كلٌ من سطح a و b و c.



التدفق الكهربائي يتكون من ثلاثة مساهمات



Phi_E ,!
script A,! mathbf E cdot dmathbf A int!!!!int_a mathbf E cdot dmathbf A + int!!!!int_bmathbf E cdot dmathbf A + int!!!!int_cmathbf E cdot dmathbf A

الأسطح a و b متعامدان مع E و dA، ولكن السطح c متوازي مع dA و E كما هو موضح بالصورة.

egin

Phi_E & int!!!!int_a E dAcos 90^circ + int!!!!int_b E d A cos 90^circ + int!!!!int_c E d Acos 0^circ \


& E int!!!!int_c dA\


end




فإن مساحة سطح الإسطوانة تساوي

int!!!!int_c dA 2 pi r h

فإن

Phi_E E 2 pi r h

وإستنتجنا سابقاً

q h lambda

وحسب قانون غاوس

Phi_E frac q varepsilon_0

وإذا استبدلنا خ¦E فإن

E 2 pi rh frac lambda h varepsilon_0 quad Rightarrow quad E frac lambda 2 pivarepsilon_0 r

كهرومغناطيسية


SurfacesWithAndWithoutBoundary.svg تصغير أمثلة عن أسطح غاوسية صالحة (يسار) وغير صالحة (يمين). يسار بعض الأسطح الغاوسية الصالحة تحتوي على سطح من كرة أو سطح من طارة أو سطح من مكعب، وهذه أسطح مغلقة و تحتوي تماماً على حجم ثلاثي الأبعاد. يمين بعض الأسطح غير صالحة لتصبح أسطح غاوسية مثل، سطح دائري وسطح مربعي وسطح نصف دائري، لأنها لا تحتوي على حجماً ثلاثي الأبعاد ولديها حدود (حمراء).



السطح الغاوسي هو سطح مغلق في فراغ ذو بعد ثلاثي والذي يحسب من خلاله تدفق حقل شعاعي للحقل الشعاعي ؛ إما هذا الحقل أن يكون حقل حقل جاذبية أو حقل كهربائي أو حقل مغناطيسية مغناطيسي .Essential Principles of Physics, P.M. Whelan, M.J. Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1 وهو سطح مغلق ويستخدم فيه معادلة (S ∂VV) مع قانون غاوس للحقل الملائم ( قانون غاوس الجاذبي أو قانون غاوس الكهربائي أو قانون جاوس المغناطيسي ) عن طريق تكامل سطحي التكامل السطحي وذلك لحساب العدد الكلي لكمية المصدر المتضمنة، كمثال، كمية كتلة الكتلة إذا كان المصدر هو حقل جاذبي أو كمية شحنة كهربائية الشحنة الكهربائية إذا كان المصدر حقل كهربائي.

لتوضيح الأمور، سنعتبر الحقل الكهربائي في هذه المقالة، هو الحقل الأكثر شيوعاً لتطبيق مبدأ السطح.



الأسطح الغاوسية تختار بدقة لإستغلال تناظر التناظر في حالة معينة لتبسيط حسابات تكامل سطحي التكامل السطحي . إذا تم اختيار سطح غاوسي بأن لكل نقطة على سطح تكون محصلتها(المكونة من حقل الكهربائي وناظم السطح ) ثابتة، فإن الحساب لا يتطلب تكامل صعب، وذلك لأن الثوابت التي تحقق في المحصلات يمكن أن تشطب من التكامل.



__TOC__