تم النشر اليوم 2024/05/12 | دوال مثلثية عكسية

الكسور المستمرة لدالة الظل العكسية

فيما يلي، كسران مستمران معممان يمثلان دالة الظل العكسية. قد يستعملان تعويضا لمتسلسلة القوى للتعبير عن دالة الظل العكسية. arctan
⁡
z
=
z 1
+
(
1
z ) 2 3
−
1 z 2
+
(
3
z ) 2 5
−
3 z 2
+
(
5
z ) 2 7
−
5 z 2
+
(
7
z ) 2 9
−
7 z 2
+
⋱ =
z 1
+
(
1
z ) 2 3
+
(
2
z ) 2 5
+
(
3
z ) 2 7
+
(
4
z ) 2 9
+
⋱ {displaystyle arctan z={cfrac {z}{1+{cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+ddots }}}}}}}}}}={cfrac {z}{1+{cfrac {(1z)^{2}}{3+{cfrac {(2z)^{2}}{5+{cfrac {(3z)^{2}}{7+{cfrac {(4z)^{2}}{9+ddots ,}}}}}}}}}},}

التدوين

التدوين الأكثر استخدامًا هو تسمية الدوال المثلثية العكسية باستخدام البادئة “arc”، مثل: arcsin
⁡
(
x
)
{displaystyle arcsin(x)} ، arccos
⁡
(
x
)
{displaystyle arccos(x)} arctan
⁡
(
x
)
{displaystyle arctan(x)} … وهكذا، هذا التدوين يقابله بالعربية: قوس الجيب، قوس جيب التمام… . أول من استخدم الرموز sin−1(x) و cos−1(x) هو عالم الرياضيات جون هيرشل. كان ذلك في عام 1813. غالبًا ما تستخدم تلك التدوينات التي أدخلها جون هيرشل، وهذا الاتفاق يتوافق مع تدوين دالة عكسية. قد يبدو هذا يتعارض منطقياً مع الدلالات الشائعة لعبارات مثل
sin 2
⁡
(
x
)
{displaystyle sin ^{2}(x)} ، والتي تشير إلى الأُس بدلاً من تركيب الدالة، وبالتالي قد تؤدي إلى الخلط بين مقلوب العدد والدالة العكسية.

الشكل اللوغاريتمي للدوال

قد يتم التعبير عن هذه الدوال أيضًا باستخدام اللوغاريتمات العقدية. هذا يمَدِّد مجالاتهما إلى المستوي العقدي (المركّب) بطريقة طبيعية. تشبه هذه التعبيرات العبارات اللوغاريتمية للدوال الزائدية العكسية.
arcsin
⁡
(
z
) =
−
i
ln
⁡ ( i
z
+
1
− z 2 ) =
arccsc
⁡ (
1
z
) arccos
⁡
(
z
) =
−
i
ln
⁡ ( z
+ z 2
−
1 ) =
π
2 +
i
ln
⁡ ( i
z
+
1
− z 2 ) =
π
2
−
arcsin
⁡
(
z
)
=
arcsec
⁡ (
1
z
) arctan
⁡
(
z
) =
i
2
ln
⁡ ( i
+
z
i
−
z ) =
i
2 [ ln
⁡
(
1
−
i
z
)
−
ln
⁡
(
1
+
i
z
) ] =
arccot
⁡ (
1
z
) arccot
⁡
(
z
) =
i
2
ln
⁡ ( z
−
i
z
+
i ) =
i
2 [ ln
⁡ ( 1
−
i
z ) −
ln
⁡ ( 1
+
i
z )
] =
arctan
⁡ (
1
z
) arcsec
⁡
(
z
) =
−
i
ln
⁡ ( 1 z 2
−
1
+
1
z ) =
i ln
⁡ ( 1
−
1 z 2
+
i
z ) +
π
2
=
π
2
−
arccsc
⁡
(
z
)
=
arccos
⁡ (
1
z
) arccsc
⁡
(
z
) =
−
i
ln
⁡ ( 1
−
1 z 2
+
i
z ) =
arcsin
⁡ (
1
z
) {displaystyle {begin{aligned}arcsin(z)&{}=-iln left(iz+{sqrt {1-z^{2}}}right)&{}=operatorname {arccsc} left({frac {1}{z}}right)\[10pt]arccos(z)&{}=-iln left(z+{sqrt {z^{2}-1}}right)={frac {pi }{2}},+iln left(iz+{sqrt {1-z^{2}}}right)={frac {pi }{2}}-arcsin(z)&{}=operatorname {arcsec} left({frac {1}{z}}right)\[10pt]arctan(z)&{}={frac {i}{2}}ln left({frac {i+z}{i-z}}right)={frac {i}{2}}left[ln(1-iz)-ln(1+iz)right]&{}=operatorname {arccot} left({frac {1}{z}}right)\[10pt]operatorname {arccot}(z)&{}={frac {i}{2}}ln left({frac {z-i}{z+i}}right)={frac {i}{2}}left[ln left(1-{frac {i}{z}}right)-ln left(1+{frac {i}{z}}right)right]&{}=arctan left({frac {1}{z}}right)\[10pt]operatorname {arcsec}(z)&{}=-iln left({sqrt {{frac {1}{z^{2}}}-1}}+{frac {1}{z}}right)=i,ln left({sqrt {1-{frac {1}{z^{2}}}}}+{frac {i}{z}}right)+{frac {pi }{2}}={frac {pi }{2}}-operatorname {arccsc}(z)&{}=arccos left({frac {1}{z}}right)\[10pt]operatorname {arccsc}(z)&{}=-iln left({sqrt {1-{frac {1}{z^{2}}}}}+{frac {i}{z}}right)&{}=arcsin left({frac {1}{z}}right)end{aligned}}}

خصائص أساسية

القيم الرئيسية
بما أن الدوال المثلثية الست غير متباينة، تم اقتصارها حتى تكون لها دوال عكسية. لذلك، تكون مديات الدوال العكسية مجموعات فرعية لمديات الدوال الأصلية.
فمثلا، على سبيل المثال، باستخدام الدالة بمعنى الدوال متعددة القيم، تمامًا كما يمكن تعريف دالة الجذر التربيعي y = √x من y2 = x، يتم تعريف الدالة y = arcsin(x) كـ sin(y) = x. إسم ترميز تعريف مجال الدالة مدى الدالة (راديان) مدى الدالة (درجات)
قوس جيب الزاوية
y = arcsin(x)
x = sin(y)
−
1
≤
x
≤
1
{displaystyle -1leq xleq 1}
−
π
2
≤
y
≤
π
2
{displaystyle -{frac {pi }{2}}leq yleq {frac {pi }{2}}}
− 90 ∘
≤
y
≤ 90 ∘
{displaystyle -90^{circ }leq yleq 90^{circ }}
قوس جيب تمام الزاوية
y = arccos(x)
x = cos(y)
−
1
≤
x
≤
1
{displaystyle -1leq xleq 1}
0
≤
y
≤
π
{displaystyle 0leq yleq pi }
0
≤
y
≤ 180 ∘
{displaystyle 0leq yleq 180^{circ }}
قوس ظل الزاوية
y = arctan(x)
x = tan(y)
كل الأعداد الحقيقية (
R {displaystyle mathbb {R} } )
−
π
2
<
y
<
π
2
{displaystyle -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}}
− 90 ∘
<
y
< 90 ∘
{displaystyle -90^{circ }<y<90^{circ }}
قوس ظل تمام الزاوية
y = arccot(x)
x = cot(y)
كل الأعداد الحقيقية (
R {displaystyle mathbb {R} } ) 0
<
y
<
π
{displaystyle 0<y<pi }
0
<
y
< 180 ∘
{displaystyle 0<y<180^{circ }}
قوس قاطع الزاوية
y = arcsec(x)
x = sec(y)
x
≤
−
1
{displaystyle xleq -1} أو x
≥
1
{displaystyle xgeq 1}
0
≤
y
<
π
2
{displaystyle 0leq y<{frac {pi }{2}}} أو π
2
<
y
≤
π
{displaystyle {frac {pi }{2}}<yleq pi }
0
≤
y
< 90 ∘
{displaystyle 0leq y<90^{circ }} أو
90 ∘
<
y
≤ 180 ∘
{displaystyle 90^{circ }<yleq 180^{circ }}
قوس قاطع تمام الزاوية
y = arccsc(x)
x = csc(y)
x
≤
−
1
{displaystyle xleq -1} أو x
≥
1
{displaystyle xgeq 1}
−
π
2
≤
y
<
0
{displaystyle -{frac {pi }{2}}leq y<0} أو 0
<
y
≤
π
2
{displaystyle 0<yleq {frac {pi }{2}}}
− 90 ∘
≤
y
<
0
{displaystyle -90^{circ }leq y<0} أو 0
<
y
≤ 90 ∘
{displaystyle 0
0
arctan
⁡ (
1
x
)
=
−
π
2
−
arctan
⁡
(
x
)
=
arccot
⁡
(
x
)
−
π , if x

0
arccot
⁡ (
1
x
)
= 3
π 2
−
arccot
⁡
(
x
)
=
π
+
arctan
⁡
(
x
) , if x
0\[0.3em]arctan left({frac {1}{x}}right)&=-{frac {pi }{2}}-arctan(x)=operatorname {arccot}(x)-pi ,,{text{ if }}x0\[0.3em]operatorname {arccot} left({frac {1}{x}}right)&={frac {3pi }{2}}-operatorname {arccot}(x)=pi +arctan(x),,{text{ if }}x<0\[0.3em]operatorname {arcsec} left({frac {1}{x}}right)&=arccos(x)\[0.3em]operatorname {arccsc} left({frac {1}{x}}right)&=arcsin(x)end{aligned}}}

اشتقاق وتكامل الدوال المثلثية العكسية

اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية المقالة الرئيسة: تفاضل الدوال المثلثية
تُبين فيما يلي، اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية بالنسبة لقيم عقدية أو حقيقية للمتغير x: d d
x arcsin
⁡
x =
1 1
− x 2 d d
x arccos
⁡
x = −
1
1
− x 2 d d
x arctan
⁡
x =
1 1
+ x 2 d d
x arccot
⁡
x = −
1
1
+ x 2 d d
x arcsec
⁡
x =
1 x
x 2
−
1 d d
x arccsc
⁡
x = −
1
x
x 2
−
1 {displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dx}}arcsin x&{}={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}\{frac {d}{dx}}arccos x&{}={frac {-1}{sqrt {1-x^{2}}}}\{frac {d}{dx}}arctan x&{}={frac {1}{1+x^{2}}}\{frac {d}{dx}}operatorname {arccot} x&{}={frac {-1}{1+x^{2}}}\{frac {d}{dx}}operatorname {arcsec} x&{}={frac {1}{x,{sqrt {x^{2}-1}}}}\{frac {d}{dx}}operatorname {arccsc} x&{}={frac {-1}{x,{sqrt {x^{2}-1}}}}end{aligned}}}
=
المتساويتان التاليتان صالحتان فقط عندما يكون العدد x حقيقيا: d d
x arcsec
⁡
x =
1
| x | x 2
−
1 ;
| x | >
1
d d
x arccsc
⁡
x = −
1 | x | x 2
−
1 ;
| x | >
1
{displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dx}}operatorname {arcsec} x&{}={frac {1}{|x|,{sqrt {x^{2}-1}}}};qquad |x|>1\{frac {d}{dx}}operatorname {arccsc} x&{}={frac {-1}{|x|,{sqrt {x^{2}-1}}}};qquad |x|>1end{aligned}}}
على سبيل المثال، إذا توفر θ
=
arcsin
⁡
x {displaystyle theta =arcsin x!} ، فإنه يُحصل على ما يلي:
d
arcsin
⁡
x
d
x = d
θ
d
sin
⁡
θ = d
θ
cos
⁡
θ
d
θ =
1 cos
⁡
θ =
1 1
− sin 2
⁡
θ =
1 1
− x 2 {displaystyle {frac {darcsin x}{dx}}={frac {dtheta }{dsin theta }}={frac {dtheta }{cos theta dtheta }}={frac {1}{cos theta }}={frac {1}{sqrt {1-sin ^{2}theta }}}={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}
تكاملات الدوال المثلثية العكسية المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية
باستخدام التكامل بالتجزئة، نجد أن: ∫
arcsin
⁡
(
x
) d
x =
x arcsin
⁡
(
x
)
+
1
− x 2
+
C
∫
arccos
⁡
(
x
) d
x =
x arccos
⁡
(
x
)
−
1
− x 2
+
C
∫
arctan
⁡
(
x
) d
x =
x arctan
⁡
(
x
)
−
1
2
ln
⁡ ( 1
+ x 2 ) +
C
∫
arccot
⁡
(
x
) d
x =
x arccot
⁡
(
x
)
+
1
2
ln
⁡ ( 1
+ x 2 ) +
C
∫
arcsec
⁡
(
x
) d
x =
x arcsec
⁡
(
x
)
−
ln
⁡ ( x
+ x 2
−
1 ) +
C
∫
arccsc
⁡
(
x
) d
x =
x arccsc
⁡
(
x
)
+
ln
⁡ ( x
+ x 2
−
1 ) +
C
{displaystyle {begin{aligned}int arcsin(x),dx&{}=x,arcsin(x)+{sqrt {1-x^{2}}}+C\int arccos(x),dx&{}=x,arccos(x)-{sqrt {1-x^{2}}}+C\int arctan(x),dx&{}=x,arctan(x)-{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C\int operatorname {arccot}(x),dx&{}=x,operatorname {arccot}(x)+{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C\int operatorname {arcsec}(x),dx&{}=x,operatorname {arcsec}(x)-ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C\int operatorname {arccsc}(x),dx&{}=x,operatorname {arccsc}(x)+ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+Cend{aligned}}}

المتطابقات

طالع أيضًا: قائمة المطابقات المثلثية
متطابقات المجموع والفرق arcsin
⁡
α
±
arcsin
⁡
β
=
arcsin
⁡
(
α
1
− β 2
±
β
1
− α 2
)
{displaystyle arcsin alpha pm arcsin beta =arcsin(alpha {sqrt {1-beta ^{2}}}pm beta {sqrt {1-alpha ^{2}}})}
arccos
⁡
α
±
arccos
⁡
β
=
arccos
⁡
(
α
β
∓
(
1
− α 2
)
(
1
− β 2
)
)
{displaystyle arccos alpha pm arccos beta =arccos(alpha beta mp {sqrt {(1-alpha ^{2})(1-beta ^{2})}})}
arctan
⁡
α
±
arctan
⁡
β
=
arctan
⁡ ( α
±
β
1
∓
α
β ) {displaystyle arctan alpha pm arctan beta =arctan left({frac {alpha pm beta }{1mp alpha beta }}right)} متطابقات أخرى arcsin
⁡
(
x
)
+
arccos
⁡
(
x
)
=
π
2 {displaystyle arcsin(x)+arccos(x)={pi over 2};}
arctan
⁡
(
x
)
+
arccot
⁡
(
x
)
=
π
2
. {displaystyle arctan(x)+operatorname {arccot}(x)={pi over 2}.;}
arctan
⁡
(
x
)
+
arctan
⁡ (
1
x
) = {
π
2
,
if
x
>
0
−
π
2
,
if
x
0\-{pi over 2},&{mbox{if }}x<0end{matrix}}right.}
arccos
⁡
(
x
)
+
arccos
⁡
(
−
x
)
=
π
. {displaystyle arccos(x)+arccos(-x)=pi .;}
arccos
⁡
(
x
) =
arcsin
⁡ (
1
− x 2
)
, if 0
≤
x
≤
1
arccos
⁡
(
x
) =
1
2
arccos
⁡ ( 2 x 2
−
1 )
, if 0
≤
x
≤
1
arcsin
⁡
(
x
) =
1
2
arccos
⁡ ( 1
−
2 x 2 )
, if 0
≤
x
≤
1
arcsin
⁡
(
x
) =
arctan
⁡ (
x 1
− x 2 ) arctan
⁡
(
x
) =
arcsin
⁡ (
x 1
+ x 2 ) {displaystyle {begin{aligned}arccos(x)&=arcsin left({sqrt {1-x^{2}}}right),,{text{ if }}0leq xleq 1\arccos(x)&={frac {1}{2}}arccos left(2x^{2}-1right),,{text{ if }}0leq xleq 1\arcsin(x)&={frac {1}{2}}arccos left(1-2x^{2}right),,{text{ if }}0leq xleq 1\arcsin(x)&=arctan left({frac {x}{sqrt {1-x^{2}}}}right)\arctan(x)&=arcsin left({frac {x}{sqrt {1+x^{2}}}}right)end{aligned}}}

التمثيلات البيانية للدوال

التمثيلات البيانية للدوال في المَعْلَم الديكارتي. ت.ب لدالتي قوس الجيب (بالأحمر) وقوس جيب التمام (بالأزرق)
ت.ب لدالتي قوس الظل (بالأحمر) وقوس ظل التمام (بالأزرق)
ت.ب لدالتي قوس القاطع (بالأحمر) وقوس قاطع التمام (بالأزرق)

المتسلسلات غير المنتهية

يمكننا تعبير عن بعض د.م.ع. بواسطة متسلسلة ماكلورين:
arcsin
⁡
(
x
) =
x
+ (
1
2
)
x 3
3
+ ( 1
⋅
3
2
⋅
4 )
x 5
5
+ ( 1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6 )
x 7
7
+
⋯
= ∑ n
=
0
∞ (
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
x 2
n
+
1 2
n
+
1 = ∑ n
=
0
∞ (
2
n
)
!
( 2 n
n
! ) 2
x 2
n
+
1 2
n
+
1
{displaystyle {begin{aligned}arcsin(x)&=x+left({frac {1}{2}}right){frac {x^{3}}{3}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right){frac {x^{5}}{5}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}right){frac {x^{7}}{7}}+cdots \[5pt]&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\[5pt]&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{frac {x^{2n+1}}{2n+1}},end{aligned}}}
arctan
⁡
(
x
)
=
x
− x 3
3
+ x 5
5
− x 7
7
+
⋯
= ∑ n
=
0
∞ (
−
1 ) n x 2
n
+
1
2
n
+
1
{displaystyle arctan(x)=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}-{frac {x^{7}}{7}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}},}
arccos
⁡
(
x
) =
π
2
−
arcsin
⁡
(
x
)
=
π
2
−
x
− (
1
2
)
x 3
3
− ( 1
⋅
3
2
⋅
4 )
x 5
5
− ( 1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6 )
x 7
7
−
⋯
=
π
2
− ∑ n
=
0
∞ (
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
x 2
n
+
1 2
n
+
1 =
π
2
− ∑ n
=
0
∞ (
2
n
)
!
( 2 n
n
! ) 2
x 2
n
+
1 2
n
+
1
{displaystyle {begin{aligned}arccos(x)&={frac {pi }{2}}-arcsin(x)={frac {pi }{2}}-x-left({frac {1}{2}}right){frac {x^{3}}{3}}-left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right){frac {x^{5}}{5}}-left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}right){frac {x^{7}}{7}}-cdots \[5pt]&={frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\[5pt]&={frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{frac {x^{2n+1}}{2n+1}},end{aligned}}} حيث تشير n!! إلى عاملي ثنائي (ميز عن «عاملي مرتين» (n!)!).

شرح مبسط

في الرياضيات، الدوال المثلثية العكسية أو الدوال القوسية (بالإنجليزية: Inverse trigonometric functions)‏ هي الدوال العكسية للدوال المثلثية معرفة على مجالات محدودة مناسبة معينة.[1] وبالتحديد، هن الدوال العكسية للدوال الست الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام،
وتستخدم للحصول على زاوية من أي من النسب المثلثية للزاوية. تستخدم الدوال المثلثية العكسية على نطاق واسع في الهندسة التطبيقية والملاحة والفيزياء والهندسة الرياضية.