[ تعرٌف على ] دالة تربيعية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28

تم النشر اليوم 2024-04-28 | دالة تربيعية

دالة تربيعية ثنائية المتغيرات

المقالات الرئيسة: شكل تربيعي وسطح درجة ثانية
يشير مصطلح الدالة التربيعيّة ثنائية المتغيرات إلى كثير حدود من الدرجة الثانية من الشكل f
(
x
,
y
)
=
A x 2
+
B y 2
+
C
x
+
D
y
+
E
x
y
+
F
{\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!}
حيث A و B و C و D و E معاملات ثابتة و F حدٌ ثابت.
تصف الدالة التربيعية ثنائية المتغيرات باعتبارها دالة سطحاً تربيعيَّاً (من الدرجة الثانية). وإن الإعداد f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)\,\!} يُعادل الصفر ويصف تقاطع السطح مع المستوى z
=
0
{\displaystyle z=0\,\!} ، وهو موضع من النقاط مُعادل للقطع الناقص. النقاط الصغرى والكبرى
إذا كانت 4
A
B
− E 2
<
0 {\displaystyle 4AB-E^{2}<0\,} فإن الدالة ليس لها قيم صغرى أو كبرى، ورسمها البيانيّ سطح مكافئ زائدي
إذا كانت 4
A
B
− E 2
>
0 {\displaystyle 4AB-E^{2}>0\,} فإن للدالة قيمة صغرى إذا كان A>0 وقيمة كبرى إذا كان A<0، ويكون الرسم البياني للدالة سطح مكافئ إهليلجيّ. في هذه الحالة تقع القيم الصغرى أو الكبرى عند ( x m
, y m
) {\displaystyle (x_{m},y_{m})\,} حيث:
x m
=
− 2
B
C
−
D
E
4
A
B
− E 2 ,
{\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},} y m
=
− 2
A
D
−
C
E
4
A
B
− E 2 .
{\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.}
و إذا كانت 4
A
B
− E 2
=
0 {\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,} و D
E
−
2
C
B
=
2
A
D
−
C
E
≠
0 {\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,} لا يكون للدالة قيم صغرى أو كبرى، ويكون الرسم البيانيّ بشكل أسطوانة مكافئة.
إذا كانت 4
A
B
− E 2
=
0 {\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,} و D
E
−
2
C
B
=
2
A
D
−
C
E
=
0 {\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0\,} فإن الدالة تحقق قيم صغرى وكبرى عند حد أدنى إذا كانت A>0 وأعلى إذا كانت A<0، ويكون رسمها البياني بشكل أسطوانة مكافئة

رسم الدالة التربيعية وحيدة المتغير

f
(
x
)
=
a x 2
|
a
=
{
0.1
,
0.3
,
1
,
3
} {\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!}
f
(
x
)
= x 2
+
b
x
|
b
=
{
1
,
2
,
3
,
4
} {\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!}
f
(
x
)
= x 2
+
b
x
|
b
=
{
−
1
,
−
2
,
−
3
,
−
4
} {\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}\!}
بغض النظر عن صيغة الدالة التربيعيّة، فإن الرسم البيانيّ للدالة التربيعيّة وحيدة المتغيّر f
(
x
)
=
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} يُمثِّلُ قطعاً مكافئاً (كما هو واضح في الشكل إلى اليسار). وبالمقابل، فإن الرسم البياني للمعادلة التربيعيّة ثنائية المتغيرات y
=
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} . إذا كان a > 0، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأعلى
إذا كان a < 0، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأسفل
يتحكَّم المعامل a بدرجة انحناء الرسم البيانيّ، كلَّما ازدادت قيمة a يصبح انحناء الرسم البيانيّ أكثر حدَّةً أي أكثر انغلاقاً.
يتحكَّم المعاملان b وa معاً بموقع محور التناظر للقطع المكافئ (أيضاً إحداثيات x لذروة المنحني) والذي x
=
−
b 2
a .
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}
بينما يتحكَّم المعامل c بنقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور y. الذروة
تقابل ذروة القطع المكافئ نقطة انحراف القطع المكافئ، لذا قد تُدعى بنقطة الانحراف. وإذا كانت الدالة التربيعيّة في الشكل المتجهيّ، فإن إحداثيات الذروة هي (h, k). ويمكن باستخدام طريقة إكمال المربع، تحويل الشكل المعياريّ f
(
x
)
=
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}
إلى الشكل f
(
x
) =
a x 2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
h ) 2
+
k
=
a
( x
− −
b
2
a
)
2
+ ( c
− b 2 4
a
) ,
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}}
لذا تكون ذروة القطع المكافئ (h, k) في الشكل المعياريّ
( −
b 2
a ,
c
− b 2 4
a
) .
{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}
وإذا كانت الدالة التربيعيّة بالشكل المتفكك (المتحلِّل إلى عوامله) f
(
x
)
=
a
(
x
− r 1
)
(
x
− r 2
)
{\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}
فإن متوسط الجذرين r 1
+ r 2 2
{\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!}
هو إحداثية x الموافقة لذروة القطع، وتكون إحداثيات الذروة (h, k)
( r 1
+ r 2 2
,
f (
r 1
+ r 2 2
)
) . {\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).\!}
كما أن الذروة أيضاً هي أكبر نقطة إذا كانت a < 0 أو أصغر نقطة إذا كانت a > 0
وإن الخط العمدي التالي x
=
h
=
−
b 2
a {\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}
والذي يم من الذروة هو أيضاً محور تناظر القطع المكافئ. القيمتين الكبرى والصغرى
باستخدام التفاضل والتكامل، يمكن الحصول على نقظة الذروة والتمي تمثِّل القيمة الكبرى أو الصغرى للدالة، وذلك عبر إيجاد جذور الاشتقاق: f
(
x
)
=
a x 2
+
b
x
+
c ⇒
f
′ (
x
)
=
2
a
x
+
b
.
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b\,\!.}
x هي جذر f '(x) إذا كانت f '(x) = 0 وبالتالي x
=
−
b 2
a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
وبالتعويض في الدالة نجد f
(
x
)
=
a
( −
b 2
a
)
2
+
b ( −
b 2
a
) +
c
=
c
− b 2 4
a ,
{\displaystyle f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,}
وبالتالي يمكن التعبير عن إحداثيات الذروة (h, k) بالصيغة
( −
b 2
a ,
c
− b 2 4
a
) .
{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}

جذور الدالة وحيدة المتغير

المقالة الرئيسة: معادلة تربيعية
رسم بياني لكثير الحدود y = ax2 + bx + c, حيث a وb2? 4ac موجب, و الجذور وy-مشار إليها بـالأحمر الذروة ومحور التناظر مُشارٌ إليهما بـالأزرق البؤرة والمِحرَق مُشار إليهما بـالوردي
تصوُّر الجذور العُقَدِيّة لِـ y = ax2 + bx + c: تم تدوير القطع المكافئ 180° حول ذروته باللون البرتقالي). مُقابلاته من x-intercepts دُوِّرَت 90° حول نقاطها المتوسطة، و يُفسَّر حينها المستوى الديكارتي كمستوى معقَّد.(أخضر).
الجذور
إن جذور (أو أصفار) الدالة التربيعيّة أحاديّة المتغيّر r1 وr2 f
(
x
) =
a x 2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
− r 1
)
(
x
− r 2
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}}
هي قيم x التي تجعل f(x) = 0.
وعندما تكون المعاملات a وb وc أعداد حقيقية أو أعداد عُقديّة تكون حينها الجذور
r 1
= −
b
− b 2
−
4
a
c
2
a ,
{\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},} r 2
= −
b
+ b 2
−
4
a
c
2
a .
{\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
الحد الأعلى لحد الجذور
لا يمكن للقيمة المطلقة لجذور كثير حدود تربيعيّ (من الدرجة الثانية) a x 2
+
b
x
+
c {\displaystyle ax^{2}+bx+c\,} أن تكون أكبر من
max
( | a | , | b | , | c | ) | a |
×
ϕ
, {\displaystyle {\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,\,} حيث ϕ
{\displaystyle \phi } النسبة الذهبيّة وهي
1
+
5 2
.
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}

أشكال الدالة التربيعيّة ذات المتغير الواحد

يمكن التعبير عن الدالة التربيعيّة وحيدة المتغير بثلاثة صيغ: f
(
x
)
=
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} يُدعى الشكل المعياريّ
f
(
x
)
=
a
(
x
− r 1
)
(
x
− r 2
)
{\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!} يُدعى الشَّكل المُفَكَّك (المُحلَّل إلى عوامل)، حيث r1 وr2 جذور للدالة التربيعيّة وحلول للمعادلة التربيعيّة (من الدرجة الثانية) الموافقة لهذه الدالة.
f
(
x
)
=
a
(
x
−
h ) 2
+
k
{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!} يُدعى الشكل المُتَّجِهيّ h وkوx وy هي إحداثيّات المتجه على التوالي.
للمعامل a القيمة ذاتها في الأشكال الثلاثة. وللتحويل من الشكل المعياري إلى الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله)، يحتاج المرء فقط للصيغة التربيعيّة لتحديد الجذرين r1 وr2. وللتحويل من الشكل المعياريّ إلى الشكل المتجهيّ، يحتاج المرء إلى القيام بعملية تُدعى إكمال المربع. وللتحويل من الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله) إلى الشكل المعياريّ، يحتاج المرء إلى مضاعفة و/أو توسيعها و/أو نشر العوامل.

المصطلح

المعاملات
تكون عادةً معاملات كثيرات الحدود أرقام حقيقية أو عقديّة، ولكن في الواقع، يمكن تعريف كثير الحدود بأي حلقة. الدرجة
عند استخدام مصطلح «كثير حدود من الدرجة الثانية»، يقصد الكتاب أحياناً «أن لكثير الحدود الدرجة 2 تماماً»، وأحياناً «أن لكثير الحدود الدرجة 2 على الأكثر». وإذا كانت الدرجة أقل من 2، قد يُدعى كثير الحدود حينها «حالة تدهور». وغالباً يتحدد المعنى المقصود من السياق. أحياناً تُستخدم كلمة «المرتبة» بمعنى «درجة»، مثلاً كثير حدود من المرتبة الثانية. المتغيرات
يمكن أن يشتمل كثير الحدود التربيعيّ على متغيّر (متحوِّل) مفرد X (حالة المتغيّر الأحادي) أو عدة متغيرات كـ X و Y و Z (حالة متعددة المتغيِّرات). حالة متغير واحد
قد يكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيّر واحد على الشكل الآتي a x 2
+
b
x
+
c
,
{\displaystyle ax^{2}+bx+c,\,\!}
حيث x هو المتغيِّر، و aو b و c تُمثِّل المعاملات. وفي الجبر الأولي، غالباً ما تنشأ هكذا كثيرات حدود في شكل معادلة من الدرجة الثانية a x 2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} وتُدعى حلول هذه المعادلة بجذور كثير الحدود من الدرجة الثانية (التربيعيّ)، وقد يكون من الممكن إيجادها من خلال تحليل كثير الحدود إلى عوامله الأوليّة أو إكمال المربع أو من خلال رسم بياني للدالة أو من خلال طريقة نيوتن أو من خلال استخدام الصيغة التربيعية. لكل كثير حدود تربيعيّ دالة تربيعيّة مرافقة يكون تمثيلها البيانيّ قطعاً مكافئاً. حالة متغيران
قد يُكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيرين على الشكل الآتي f
(
x
,
y
)
=
a x 2
+
b y 2
+
c
x
y
+
d
x
+
e
y
+
f
,
{\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,\,\!}
حيث x و y متغيِّرات، بينما a و b و c و d و e و f معاملات عدديّة. تُعتبر متحولات كهذه أساساً لدراسة لـلقطوع المخروطيّة، التي تتظاهر بتساوي التعبير عن الدالة f (x, y) إلى الصفر. وبشكل مشابه، فإن كثيرات الحدود بثلاثة متغيرات أو أكثر تتطابق مع السطوح التربيعيّة والسطوح الفائقة. في الجبر الخطيّ، يمكن تعميم فكرة كثيرات الحدود التربيعيّة (من الدرجة الثانية) على فكرة الشكل التربيعيّ على الفضاء المتجهيّ.

الجذر التربيعي لدالة تربيعية وحيدة المتغير

يؤدي الجذر التربيعيّ لدالة تربيعية أحادية المتغيّر إلى واحدة من أربع مقاطع مخروطيّة غالباً على نحو أكيد إلى قطع ناقص أو إلى قطع زائد.
إذا كانت a
>
0
{\displaystyle a>0\,\!} فإن المعادلة y
=
±
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}} تصف قطعاً زائداً، كما يمكن رؤيته من خلال تربيع الجانبين. تتحدَّد اتجاهات محاور القطع الزائد بواسطة ترتيب النقطة الأدنى (قيمتها على محور y) من القطع المكافئ المقابل
y p
=
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!} . إذا كان ترتيبها سالباً، فإن المحور الرئيسي للقطع الزائد (المار من ذروته) أفقيّ، بينما إذا كان ترتيبها موجباً سيكون المحور الرئيسي للقطع الزائد عموديَّاً.
إذا كانت a
<
0
{\displaystyle a<0\,\!} فإن المعادلة y
=
±
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}} تصف إما دائرة أو قطعاً ناقصاً أو لا تصف شيئاً على الإطلاق. إذا كان ترتيب النقطة الأكبر من القطع المكافئ المقابل
y p
=
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!} موجباً فإن الجذر التربيعيّ يصف قطعاً ناقصاً، ولكن إذا كان الترتيب سالباً فإنه يصف موضع فارغ من النقاط.

اشتقاق الاسم

يُطلَق على الدالة التربيعيّة اسم (بالإنجليزية: Quadratic function)‏ باللغة الإنجليزيّة، وتُشتقُّ من الكلمة اللاتينيّة quadrātum والتي تعني «مُرَبَّع». كما يُطلَق اسم مُربَّع أيضاً في الجبر على الرمز x2 وذلك بسبب تشكُّل منطقة بشكل مربَّع بجانب X.

التكرار

لتكرار دالة f
(
x
)
=
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} يتم تطبيق الدالة مراراً وتكراراً، باستخدام المخرجات من أحد التكرارات كمُدخل في التكرار التالي.
لا يمكن للمرء أن يستنتج دائماً الشكل التحليليّ لـ
f (
n
)
(
x
)
{\displaystyle f^{(n)}(x)} والذي يعني أن nth تكراراً لِـ f
(
x
)
{\displaystyle f(x)} .(يمكن أن يمتد الخط العلوي حتى أرقام سالبة، مما يشير إلى تكرار عكس f
(
x
)
{\displaystyle f(x)} إذا كان العكس موجوداً) ولكن هناك حالات يكون التعبير فيها بالشكل المغلق.
على سبيل المثال، للمعادلة التكرارايّة الآتية f
(
x
)
=
a
(
x
−
c ) 2
+
c
{\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c}
وعندما يكون f
(
x
)
=
a
(
x
−
c ) 2
+
c
= h (
−
1
)
(
g
(
h
(
x
)
)
)
,
{\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),\,\!}
حيث g
(
x
)
=
a x 2
{\displaystyle g(x)=ax^{2}\,\!} and h
(
x
)
=
x
−
c
.
{\displaystyle h(x)=x-c.\,\!}
و بالاستقراء نجد
f (
n
)
(
x
)
= h (
−
1
)
( g (
n
)
(
h
(
x
)
)
)
{\displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))\,\!}
يمكن الحصول عليه، حيث
g (
n
)
(
x
)
{\displaystyle g^{(n)}(x)} يمكن حسابه بسهولة كـ
g (
n
)
(
x
)
= a
2 n
−
1 x
2 n
.
{\displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.\,\!}
أخيراً لدينا
f (
n
)
(
x
)
= a
2 n
−
1
(
x
−
c )
2 n
+
c
{\displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c\,\!}
وهو الحل.
يمكن حل المتتالية اللوجستية
x n
+
1
=
r x n
(
1
− x n
)
, 0
≤ x 0
<
1
{\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1}
بالمعلمة 2 x n
= sin 2
⁡
( 2 n
θ
π
)
{\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}
حيث تُعطى معلمة الحالة البدئية θ
{\displaystyle \theta } بواسطة θ
= 1
π
sin −
1
⁡
( x 0
1 / 2
)
{\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})} . ولقيمة عقلانية لِـ θ
{\displaystyle \theta } ، بعد عدد منتهي من التكرارات
x n
{\displaystyle x_{n}} متتالية إلى سلسلة دوريّة. ولكن تقريباً جميع θ
{\displaystyle \theta } غير منطقيّة، ومن أجل θ
{\displaystyle \theta } منطقية لا تُكرِّر
x n
{\displaystyle x_{n}} نفسها أبداً، وهي غير دوريّة وتعتمد على الحالة البدئية، لذا يُقال أنها فوضويّة.
حل المتتالية اللوجيستية عندما تكون r=2
الحل: x n
=
1
2
−
1
2
(
1
−
2 x 0 )
2 n
{\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}} من أجل
x 0
∈
[
0
,
1
)
{\displaystyle x_{0}\in [0,1)} . وإذا (
1
−
2 x 0
)
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle (1-2x_{0})\in (-1,1)} لأي قيمة من
x 0
{\displaystyle x_{0}} ما عدا النقطة المثبتة غير المستقرة 0، المصطلح (
1
−
2 x 0 )
2 n
{\displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}} يسعى إلى 0 كما تسعى n إلى اللانهاية، لذا فإن
x n
{\displaystyle x_{n}} تسعى إلى النقطة الثابتة المستقرة
1
2 .
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.} .

شرح مبسط

في علم الجبر، يشير مصطلح الدالة التربيعيّة أو كثير الحدود التربيعيّ أو كثير الحدود من الدرجة الثانية أو ببساطة التربيعيّ إلى دالة كثير حدود بمتغير واحد أو أكثر، أعلى درجة فيه هي 2. على سبيل المثال، تحتوي الدالة التربيعيّة ذات المتغيرات الثلاثة x و y و z بشكل حصريّ على الحدود x2 و y2 و z2 و xy و xz و yz و x و y و z وثابت: