- إبيقورية فكر الفلسفة الابيقورية
- [ متاجر السعودية ] عطر الريحان ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] دالة تربيعية
- [ تعرٌف على ] إبادة السالكنام الجماعية
- [ الهالات والرؤوس السوداء ] أفضل طريقة للتخلص من سواد تحت العين
- السلام عليكم انا بحكم شغلي حبيت اخر الدورة واخدت اقراص سيدولوت نور ووالحمد الله كان
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عواطف علي راجح المالكي ... الطائف ... منطقة مكة المكرمة
- طريقة و مراحل تصنيع البسطرمة
- [ تعرٌف على ] الجمعية العالمية للمرشدات وفتيات الكشافة
- [ رقم هاتف ] مقاولات رضا للبناء في مدينة جدحفص البحرين وعنوان شركة مقاولات في البحرين
- [ تعرٌف على ] كأس العالم 2014 المجموعة السابعة
- [ متاجر السعودية ] سر النكهة اللذيذه ... مكة المكرمة ... منطقة مكة المكرمة
- [ خذها قاعدة ] صدِّق من يبحثون عن الحقيقة، وارتب في من وجدوها. - أندريه جيد
- [ رقم هاتف ] شركة الفطيم للسيارات في عراد البحرين وعنوان معرض سيارات في البحرين
- [ باب فضل الزهد في الدنياتطريز رياض الصالحين ] عن أبي هريرة - رضي الله عنه قال: لقد رأيت سبعين من أهل الصفة، ما منهم رجل عليه رداء: إما إزار، وإما كساء، قد ربطوها في أعناقهم، فمنها ما يبلغ نصف الساقين، ومنها ما يبلغ الكعبين، فيجمعه بيده كراهية أن ترى عورته. رواه البخاري. ---------------- في هذا الحديث: أن الدنيا لو كانت مكرمة عند الله، لخص أصفياءه بها، فإن الله يعطي الدنيا من يحب ومن لا يحب، ولا يعطي الدين إلا من يحب.
- عندي التهاب في اللوز وكهرباء في القلب.. ما السبب؟
- [ رقم هاتف ] فندق الاندلس بلازا في العدلية البحرين وعنوان فندق في البحرين
- أعاني من ألم في الشرج بعد عملية التبرز، فما العلاج؟
- [ تعرٌف على ] جمعية دارين الخيرية
- [ شركات مصانع الاصباغ والدهانات قطر ] شركة دهانات رغدان raghadan paints ... الدوحة
- [ سياحة وترفيه الامارات ] الصقر للسفر والسياحة ذ م م ... راس الخيمة
- [ تعرٌف على ] مبدأ الطرفين
- معاهدة وستفاليا 1648
- [ وزارات وهيئات حكومية السعودية ] الإدارة العامة للعلاقات والمراسم
- [ تعرٌف على ] الدوادمي
- أعاني من ترهل في المنطقة الحساسة، ما نصيحتكم؟
- [ تعرٌف على ] بئر الذهب
- [ وزارات وهيئات حكومية السعودية ] مندوبية تعليم البنات
- قصائد تميم البرغوثي
- تعرٌف على ... خالد الزيني | مشاهير
- فوائد لسان العصفور
- ما سبب وجود أكياس في الدماغ لدى الجنين...وكيف نعالجها؟
- [ سياحة وترفيه الامارات ] العرين لفنون الدفاع عن النفس ... دبي
- [ تعرٌف على ] فليمنغ جينكن
- [ متاجر السعودية ] صندوق شخصيتي ... الرياض ... منطقة الرياض
- ما هو علاج الحاجز الرحمي حيث قمت بعمل فحص و أخبرتنى الطبيبة بوجود حاجز رحمى
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مخبز الصقر الماسى ... أبوظبي
- أعاني من انتفاخ في المؤخرة اليمنى، ما السبب.. وما العلاج؟
- [ حكمــــــة ] قال ابن الجوزى:واعَجَباً لقلق آدم ولا معين له على الحزن، هوام الأرض لا تفهم ما يقولى، والوحش لا تدري وملائكة السماء عندها بقايا من يوم (أتجعل فيها من يفسد فيها) فهو يجول في كربة بلا م معين ولا راحم إلى أن يتداركه مولاه بلطفه. ألا راحمٌ من آل ليلى فأشتكي ... غرامي له حتى يكلّ لساني تُرى بكى آدمُ لفراق الجنة، هيهات ! ما كان هذاالقلق لنفيس الداربل لربئ الدار، عَجَباَ لآدم لمّا غفر الله له طاف بالبيت أسبوعاً فما أتمَّهُ حتى خاضَ في دموعه، كان يبكي للدار مرّة وللجار ألفاً، والفراق يقلقل، والبعاد يزلزل، والشوق يململ، والهوى يقتل. وإني لمشتاق إلى طيب وصلكم ... كما اشتاق نحو الدار من طال لفتُهُ ولم أبكِ بُعد الدار عنِّي وإنما ... بكيتُ لفقد الصبر حتى فقدتُه إذا كان دمعُ العين بالسرَّ بائحاً ... فليس بحافٍ في الهوى ما كتمتُه
- طريقة عمل وصفة كاسترد بالبسكويت على طريقة منال العالم
- [ أمراض جلدية ] أعراض التهاب فروة الرأس الدهنية
- [ خذها قاعدة ] يعيش البشر أقصى درجات الحرية عندما لا يحسون بها، فالصياح هو دائما صليل القيود. - ديفيد هربرت لورانس
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مسفره هادي سعيد الدوسري ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فهد علي حمدان المطيري ... جدة ... منطقة مكة المكرمة
- [ خذها قاعدة ] يعتقد بعض الناس أن انتماءهم الديني يحررهم من مسؤولية التفكير. - علي عزت بيغوفيتش
- تعرف على وزير البيئه اللبناني السابق .. طارق الخطيب | مشاهير
- [ خذها قاعدة ] لم يصل احد الى النجاح الا وواجه الكثير من الخطر. - هرقليطس
- [ خذها قاعدة ] الحياة لا تعطي دروساً مجانية لأحد ، فحين أقول الحياة علّمتني تأكّد أنني دفعت الثمن. - نجيب محفوظ
- [ اضطرابات النوم وحلولها ] أسباب الشعور بالنعاس الدائم
- هاتف و عنوان مستشفى رويضة العرض و معلومات عنها بالرياض بالسعودية
- [ حكمــــــة ] لو صاح فينا أصحاب القبور لقالوا:كثرة الحسرات عندنا بقدر كثرة الغفلات عندكم.
- [ حكمــــــة ] عن وهب : ابذل علمك لمن يطلبه، وادع إليه من لا يطلبه، وإلّا فمثلك مثل من أهدي إليه فاكهة فلم يطعمها ولم يطعمها حتى فسدت .
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن ثورة 25 يناير المصرية -
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالسلام عوض ابن مسفر القحطاني ... ابها ... منطقة عسير
- [ متاجر السعودية ] كياني من سخاء لتقنية المعلومات ... جدة ... منطقة مكة المكرمة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فهد حماد رفيع العطوي ... تبوك ... منطقة تبوك
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- [ تعرٌف على ] كالدونيا (ويسكونسن)
- [ فــــــرصة ] 96. أن يكون طواف الإفاضة بعد الحلق ( أي الترتيب ) ( إن تيسر ذلك ) : كما جاء صحيح مسلم عن جابر مرفوعاً وفيه " ثم ركب رسول الله صلى الله عليه وسلم فأفاض إلى البيت ..." وهذا بعد الحلق بالإجماع .تنبيه :رمي جمرة العقبة والنحر والحلق وطواف الإفاضة ،كلها فعلها رسول الله صلى الله عليه وسلم يوم النحر.
- [ تعرٌف على ] مزرعة الرياح طرفاية
- انتصابي يضعف في حال الوقوف خلافا للجلوس.. أفيدوني
- [ وكالات سفر الامارات ] الصقر الذهبي للسياحة والسفر
- [ تعرٌف على ] طالب المعمري
- مؤسسة الالفية للتطوير العمراني
- [ تأمين السعودية ] شركة الخليج لوساطة التأمين
- مريم الصايغ في سطور
- [ مؤسسات البحرين ] فندق رامي كاليفورنيا ذ.م.م ... منامة
- [ تعرٌف على ] إليوشن إي أل-76
- كنت امارس العادة السرية ايام المراهقة بشطاف الماء هل معناته فقدت عذريتي
- [ تعرٌف على ] مشروع الكتاب الفيدراليين
- [ مؤسسات البحرين ] الرضا للخضروات والفواكه ... منامة
- كسلانيات وصف عام
- [ دليل دبي الامارات ] مجوهرات البادية ... دبي
- [ خذها قاعدة ] الكلام آية من آيات الله ، ولكننا نبتذله بالثرثرة. - أحمد بهجت
- قصة مقولة " يا جعل من لامني في سعود تلايم عليه "
- تيديس الموقع والتاريخ
- [ تعرٌف على ] العلاقات الإندونيسية البلجيكية
- [ تحليل الشخصية ] قوة الشخصية
- [ تعرٌف على ] لواء القوات الخاصة الرابع والستون
- [ مطاعم السعودية ] مطعم القرية الشعبية عرعر (بوفيهات مفتوحة وطبخ ذبائح)
- [ تعرٌف على ] العلاقات الإندونيسية الموزمبيقية
- [ تعرٌف على ] سرطان ناجم عن الإشعاع
- رسائل اعتذار واسف للحبيب, كلام اعتذار واسف لحبيبي,خواطر اعتذار للزوجة,عبارات اعتذار للزوج
- هاتف وعنوان عيادة الدكتور محمد نسيم الدين - البريد, الدمام
- [ مطاعم السعودية ] بوفيه الوجبات السريعة
- [ أكلات سريعة ] طريقة عمل ستيك اللحم
- [ تعرٌف على ] العلاقات الرومانية الكورية الجنوبية
- شعر مدح وفخر , اشعار عن المدح والفخر , اروع القصائد في المدح
- [ بلاط سيراميك ارضيات و تجارة قطر ] الدانه للعطلات
- لانتوس حقن أنسولين لعلاج مرض السكرى النوع الأول Lantus
- [ مؤسسات البحرين ] مصنع الاتقان للالمنيوم ... منامة
- تدريب وشهادات أبل فوائد ومزايا
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] هاشم بن علوي بن هاشم الشويكي ... تاروت ... المنطقة الشرقية
- [ بلاط سيراميك ارضيات و تجارة قطر ] سانيبكس قطر
- شقق مفروشة للايجار سوريا دمشق او00963967804848
- [ فيزياء ] ماذا تعرف عن الموجات الكهرومغناطيسية .. 3 خصائص فيزيائية هامة
- تعرٌف على ... شريفة بنت خلفان اليحيائية | مشاهير
- [ تعرٌف على ] العلاقات الأردنية المالية
- [ تعرٌف على ] قبر الجندي الروماني
- [ خذها قاعدة ] ليس للحق قدرة سحرية تمكنه من التحقق تلقائيا لمجرد كونه حقا ، إنما القوة هي ما به يتحول الحق إلى واقع. - طارق البشري
- إبيقورية فكر الفلسفة الابيقورية
- [ متاجر السعودية ] عطر الريحان ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ تعرٌف على ] دالة تربيعية
- [ تعرٌف على ] إبادة السالكنام الجماعية
- [ الهالات والرؤوس السوداء ] أفضل طريقة للتخلص من سواد تحت العين
- السلام عليكم انا بحكم شغلي حبيت اخر الدورة واخدت اقراص سيدولوت نور ووالحمد الله كان
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عواطف علي راجح المالكي ... الطائف ... منطقة مكة المكرمة
- طريقة و مراحل تصنيع البسطرمة
- [ تعرٌف على ] الجمعية العالمية للمرشدات وفتيات الكشافة
- [ رقم هاتف ] مقاولات رضا للبناء في مدينة جدحفص البحرين وعنوان شركة مقاولات في البحرين
- [ تعرٌف على ] كأس العالم 2014 المجموعة السابعة
- [ متاجر السعودية ] سر النكهة اللذيذه ... مكة المكرمة ... منطقة مكة المكرمة
- [ خذها قاعدة ] صدِّق من يبحثون عن الحقيقة، وارتب في من وجدوها. - أندريه جيد
- [ رقم هاتف ] شركة الفطيم للسيارات في عراد البحرين وعنوان معرض سيارات في البحرين
- [ باب فضل الزهد في الدنياتطريز رياض الصالحين ] عن أبي هريرة - رضي الله عنه قال: لقد رأيت سبعين من أهل الصفة، ما منهم رجل عليه رداء: إما إزار، وإما كساء، قد ربطوها في أعناقهم، فمنها ما يبلغ نصف الساقين، ومنها ما يبلغ الكعبين، فيجمعه بيده كراهية أن ترى عورته. رواه البخاري. ---------------- في هذا الحديث: أن الدنيا لو كانت مكرمة عند الله، لخص أصفياءه بها، فإن الله يعطي الدنيا من يحب ومن لا يحب، ولا يعطي الدين إلا من يحب.
- عندي التهاب في اللوز وكهرباء في القلب.. ما السبب؟
- [ رقم هاتف ] فندق الاندلس بلازا في العدلية البحرين وعنوان فندق في البحرين
- أعاني من ألم في الشرج بعد عملية التبرز، فما العلاج؟
- [ تعرٌف على ] جمعية دارين الخيرية
- [ شركات مصانع الاصباغ والدهانات قطر ] شركة دهانات رغدان raghadan paints ... الدوحة
- [ سياحة وترفيه الامارات ] الصقر للسفر والسياحة ذ م م ... راس الخيمة
- [ تعرٌف على ] مبدأ الطرفين
- معاهدة وستفاليا 1648
- [ وزارات وهيئات حكومية السعودية ] الإدارة العامة للعلاقات والمراسم
- [ تعرٌف على ] الدوادمي
- أعاني من ترهل في المنطقة الحساسة، ما نصيحتكم؟
- [ تعرٌف على ] بئر الذهب
- [ وزارات وهيئات حكومية السعودية ] مندوبية تعليم البنات
- قصائد تميم البرغوثي
- تعرٌف على ... خالد الزيني | مشاهير
- فوائد لسان العصفور
- ما سبب وجود أكياس في الدماغ لدى الجنين...وكيف نعالجها؟
- [ سياحة وترفيه الامارات ] العرين لفنون الدفاع عن النفس ... دبي
- [ تعرٌف على ] فليمنغ جينكن
- [ متاجر السعودية ] صندوق شخصيتي ... الرياض ... منطقة الرياض
- ما هو علاج الحاجز الرحمي حيث قمت بعمل فحص و أخبرتنى الطبيبة بوجود حاجز رحمى
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مخبز الصقر الماسى ... أبوظبي
- أعاني من انتفاخ في المؤخرة اليمنى، ما السبب.. وما العلاج؟
- [ حكمــــــة ] قال ابن الجوزى:واعَجَباً لقلق آدم ولا معين له على الحزن، هوام الأرض لا تفهم ما يقولى، والوحش لا تدري وملائكة السماء عندها بقايا من يوم (أتجعل فيها من يفسد فيها) فهو يجول في كربة بلا م معين ولا راحم إلى أن يتداركه مولاه بلطفه. ألا راحمٌ من آل ليلى فأشتكي ... غرامي له حتى يكلّ لساني تُرى بكى آدمُ لفراق الجنة، هيهات ! ما كان هذاالقلق لنفيس الداربل لربئ الدار، عَجَباَ لآدم لمّا غفر الله له طاف بالبيت أسبوعاً فما أتمَّهُ حتى خاضَ في دموعه، كان يبكي للدار مرّة وللجار ألفاً، والفراق يقلقل، والبعاد يزلزل، والشوق يململ، والهوى يقتل. وإني لمشتاق إلى طيب وصلكم ... كما اشتاق نحو الدار من طال لفتُهُ ولم أبكِ بُعد الدار عنِّي وإنما ... بكيتُ لفقد الصبر حتى فقدتُه إذا كان دمعُ العين بالسرَّ بائحاً ... فليس بحافٍ في الهوى ما كتمتُه
- طريقة عمل وصفة كاسترد بالبسكويت على طريقة منال العالم
- [ أمراض جلدية ] أعراض التهاب فروة الرأس الدهنية
- [ خذها قاعدة ] يعيش البشر أقصى درجات الحرية عندما لا يحسون بها، فالصياح هو دائما صليل القيود. - ديفيد هربرت لورانس
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مسفره هادي سعيد الدوسري ... الرياض ... منطقة الرياض
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فهد علي حمدان المطيري ... جدة ... منطقة مكة المكرمة
- [ خذها قاعدة ] يعتقد بعض الناس أن انتماءهم الديني يحررهم من مسؤولية التفكير. - علي عزت بيغوفيتش
- تعرف على وزير البيئه اللبناني السابق .. طارق الخطيب | مشاهير
- [ خذها قاعدة ] لم يصل احد الى النجاح الا وواجه الكثير من الخطر. - هرقليطس
- [ خذها قاعدة ] الحياة لا تعطي دروساً مجانية لأحد ، فحين أقول الحياة علّمتني تأكّد أنني دفعت الثمن. - نجيب محفوظ
- [ اضطرابات النوم وحلولها ] أسباب الشعور بالنعاس الدائم
- هاتف و عنوان مستشفى رويضة العرض و معلومات عنها بالرياض بالسعودية
- [ حكمــــــة ] لو صاح فينا أصحاب القبور لقالوا:كثرة الحسرات عندنا بقدر كثرة الغفلات عندكم.
- [ حكمــــــة ] عن وهب : ابذل علمك لمن يطلبه، وادع إليه من لا يطلبه، وإلّا فمثلك مثل من أهدي إليه فاكهة فلم يطعمها ولم يطعمها حتى فسدت .
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن ثورة 25 يناير المصرية -
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالسلام عوض ابن مسفر القحطاني ... ابها ... منطقة عسير
- [ متاجر السعودية ] كياني من سخاء لتقنية المعلومات ... جدة ... منطقة مكة المكرمة
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فهد حماد رفيع العطوي ... تبوك ... منطقة تبوك
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- [ تعرٌف على ] كالدونيا (ويسكونسن)
- [ فــــــرصة ] 96. أن يكون طواف الإفاضة بعد الحلق ( أي الترتيب ) ( إن تيسر ذلك ) : كما جاء صحيح مسلم عن جابر مرفوعاً وفيه " ثم ركب رسول الله صلى الله عليه وسلم فأفاض إلى البيت ..." وهذا بعد الحلق بالإجماع .تنبيه :رمي جمرة العقبة والنحر والحلق وطواف الإفاضة ،كلها فعلها رسول الله صلى الله عليه وسلم يوم النحر.
- [ تعرٌف على ] مزرعة الرياح طرفاية
- انتصابي يضعف في حال الوقوف خلافا للجلوس.. أفيدوني
- [ وكالات سفر الامارات ] الصقر الذهبي للسياحة والسفر
- [ تعرٌف على ] طالب المعمري
- مؤسسة الالفية للتطوير العمراني
- [ تأمين السعودية ] شركة الخليج لوساطة التأمين
- مريم الصايغ في سطور
- [ مؤسسات البحرين ] فندق رامي كاليفورنيا ذ.م.م ... منامة
- [ تعرٌف على ] إليوشن إي أل-76
- كنت امارس العادة السرية ايام المراهقة بشطاف الماء هل معناته فقدت عذريتي
- [ تعرٌف على ] مشروع الكتاب الفيدراليين
- [ مؤسسات البحرين ] الرضا للخضروات والفواكه ... منامة
- كسلانيات وصف عام
- [ دليل دبي الامارات ] مجوهرات البادية ... دبي
- [ خذها قاعدة ] الكلام آية من آيات الله ، ولكننا نبتذله بالثرثرة. - أحمد بهجت
- قصة مقولة " يا جعل من لامني في سعود تلايم عليه "
- تيديس الموقع والتاريخ
- [ تعرٌف على ] العلاقات الإندونيسية البلجيكية
- [ تحليل الشخصية ] قوة الشخصية
- [ تعرٌف على ] لواء القوات الخاصة الرابع والستون
- [ مطاعم السعودية ] مطعم القرية الشعبية عرعر (بوفيهات مفتوحة وطبخ ذبائح)
- [ تعرٌف على ] العلاقات الإندونيسية الموزمبيقية
- [ تعرٌف على ] سرطان ناجم عن الإشعاع
- رسائل اعتذار واسف للحبيب, كلام اعتذار واسف لحبيبي,خواطر اعتذار للزوجة,عبارات اعتذار للزوج
- هاتف وعنوان عيادة الدكتور محمد نسيم الدين - البريد, الدمام
- [ مطاعم السعودية ] بوفيه الوجبات السريعة
- [ أكلات سريعة ] طريقة عمل ستيك اللحم
- [ تعرٌف على ] العلاقات الرومانية الكورية الجنوبية
- شعر مدح وفخر , اشعار عن المدح والفخر , اروع القصائد في المدح
- [ بلاط سيراميك ارضيات و تجارة قطر ] الدانه للعطلات
- لانتوس حقن أنسولين لعلاج مرض السكرى النوع الأول Lantus
- [ مؤسسات البحرين ] مصنع الاتقان للالمنيوم ... منامة
- تدريب وشهادات أبل فوائد ومزايا
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] هاشم بن علوي بن هاشم الشويكي ... تاروت ... المنطقة الشرقية
- [ بلاط سيراميك ارضيات و تجارة قطر ] سانيبكس قطر
- شقق مفروشة للايجار سوريا دمشق او00963967804848
- [ فيزياء ] ماذا تعرف عن الموجات الكهرومغناطيسية .. 3 خصائص فيزيائية هامة
- تعرٌف على ... شريفة بنت خلفان اليحيائية | مشاهير
- [ تعرٌف على ] العلاقات الأردنية المالية
- [ تعرٌف على ] قبر الجندي الروماني
- [ خذها قاعدة ] ليس للحق قدرة سحرية تمكنه من التحقق تلقائيا لمجرد كونه حقا ، إنما القوة هي ما به يتحول الحق إلى واقع. - طارق البشري
[ تعرٌف على ] دالة تربيعية # أخر تحديث اليوم 2024/05/13
تم النشر اليوم 2024/05/13 | دالة تربيعية
دالة تربيعية ثنائية المتغيرات
المقالات الرئيسة: شكل تربيعي وسطح درجة ثانية
يشير مصطلح الدالة التربيعيّة ثنائية المتغيرات إلى كثير حدود من الدرجة الثانية من الشكل f
(
x
,
y
)
=
A x 2
+
B y 2
+
C
x
+
D
y
+
E
x
y
+
F
{displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,!}
حيث A و B و C و D و E معاملات ثابتة و F حدٌ ثابت.
تصف الدالة التربيعية ثنائية المتغيرات باعتبارها دالة سطحاً تربيعيَّاً (من الدرجة الثانية). وإن الإعداد f
(
x
,
y
)
{displaystyle f(x,y),!} يُعادل الصفر ويصف تقاطع السطح مع المستوى z
=
0
{displaystyle z=0,!} ، وهو موضع من النقاط مُعادل للقطع الناقص. النقاط الصغرى والكبرى
إذا كانت 4
A
B
− E 2
<
0 {displaystyle 4AB-E^{2}
0 {displaystyle 4AB-E^{2}>0,} فإن للدالة قيمة صغرى إذا كان A>0 وقيمة كبرى إذا كان A0 وأعلى إذا كانت A<0، ويكون رسمها البياني بشكل أسطوانة مكافئة
رسم الدالة التربيعية وحيدة المتغير
f
(
x
)
=
a x 2
|
a
=
{
0.1
,
0.3
,
1
,
3
} {displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a={0.1,0.3,1,3}}!}
f
(
x
)
= x 2
+
b
x
|
b
=
{
1
,
2
,
3
,
4
} {displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b={1,2,3,4}}!}
f
(
x
)
= x 2
+
b
x
|
b
=
{
−
1
,
−
2
,
−
3
,
−
4
} {displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b={-1,-2,-3,-4}}!}
بغض النظر عن صيغة الدالة التربيعيّة، فإن الرسم البيانيّ للدالة التربيعيّة وحيدة المتغيّر f
(
x
)
=
a x 2
+
b
x
+
c
{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} يُمثِّلُ قطعاً مكافئاً (كما هو واضح في الشكل إلى اليسار). وبالمقابل، فإن الرسم البياني للمعادلة التربيعيّة ثنائية المتغيرات y
=
a x 2
+
b
x
+
c
{displaystyle y=ax^{2}+bx+c} . إذا كان a > 0، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأعلى
إذا كان a < 0، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأسفل
يتحكَّم المعامل a بدرجة انحناء الرسم البيانيّ، كلَّما ازدادت قيمة a يصبح انحناء الرسم البيانيّ أكثر حدَّةً أي أكثر انغلاقاً.
يتحكَّم المعاملان b وa معاً بموقع محور التناظر للقطع المكافئ (أيضاً إحداثيات x لذروة المنحني) والذي x
=
−
b 2
a .
{displaystyle x=-{frac {b}{2a}}.}
بينما يتحكَّم المعامل c بنقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور y. الذروة
تقابل ذروة القطع المكافئ نقطة انحراف القطع المكافئ، لذا قد تُدعى بنقطة الانحراف. وإذا كانت الدالة التربيعيّة في الشكل المتجهيّ، فإن إحداثيات الذروة هي (h, k). ويمكن باستخدام طريقة إكمال المربع، تحويل الشكل المعياريّ f
(
x
)
=
a x 2
+
b
x
+
c
{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,!}
إلى الشكل f
(
x
) =
a x 2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
h ) 2
+
k
=
a
( x
− −
b
2
a
)
2
+ ( c
− b 2 4
a
) ,
{displaystyle {begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\&=a(x-h)^{2}+k\&=aleft(x-{frac {-b}{2a}}right)^{2}+left(c-{frac {b^{2}}{4a}}right),\end{aligned}}}
لذا تكون ذروة القطع المكافئ (h, k) في الشكل المعياريّ
( −
b 2
a ,
c
− b 2 4
a
) .
{displaystyle left(-{frac {b}{2a}},c-{frac {b^{2}}{4a}}right).}
وإذا كانت الدالة التربيعيّة بالشكل المتفكك (المتحلِّل إلى عوامله) f
(
x
)
=
a
(
x
− r 1
)
(
x
− r 2
)
{displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2}),!}
فإن متوسط الجذرين r 1
+ r 2 2
{displaystyle {frac {r_{1}+r_{2}}{2}},!}
هو إحداثية x الموافقة لذروة القطع، وتكون إحداثيات الذروة (h, k)
( r 1
+ r 2 2
,
f (
r 1
+ r 2 2
)
) . {displaystyle left({frac {r_{1}+r_{2}}{2}},fleft({frac {r_{1}+r_{2}}{2}}right)right).!}
كما أن الذروة أيضاً هي أكبر نقطة إذا كانت a 0
وإن الخط العمدي التالي x
=
h
=
−
b 2
a {displaystyle x=h=-{frac {b}{2a}}}
والذي يم من الذروة هو أيضاً محور تناظر القطع المكافئ. القيمتين الكبرى والصغرى
باستخدام التفاضل والتكامل، يمكن الحصول على نقظة الذروة والتمي تمثِّل القيمة الكبرى أو الصغرى للدالة، وذلك عبر إيجاد جذور الاشتقاق: f
(
x
)
=
a x 2
+
b
x
+
c ⇒
f
′ (
x
)
=
2
a
x
+
b
.
{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+cquad Rightarrow quad f'(x)=2ax+b,!.}
x هي جذر f ‘(x) إذا كانت f ‘(x) = 0 وبالتالي x
=
−
b 2
a {displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}
وبالتعويض في الدالة نجد f
(
x
)
=
a
( −
b 2
a
)
2
+
b ( −
b 2
a
) +
c
=
c
− b 2 4
a ,
{displaystyle f(x)=aleft(-{frac {b}{2a}}right)^{2}+bleft(-{frac {b}{2a}}right)+c=c-{frac {b^{2}}{4a}},!,}
وبالتالي يمكن التعبير عن إحداثيات الذروة (h, k) بالصيغة
( −
b 2
a ,
c
− b 2 4
a
) .
{displaystyle left(-{frac {b}{2a}},c-{frac {b^{2}}{4a}}right).}
جذور الدالة وحيدة المتغير
المقالة الرئيسة: معادلة تربيعية
رسم بياني لكثير الحدود y = ax2 + bx + c, حيث a وb2? 4ac موجب, و الجذور وy-مشار إليها بـالأحمر الذروة ومحور التناظر مُشارٌ إليهما بـالأزرق البؤرة والمِحرَق مُشار إليهما بـالوردي
تصوُّر الجذور العُقَدِيّة لِـ y = ax2 + bx + c: تم تدوير القطع المكافئ 180° حول ذروته باللون البرتقالي). مُقابلاته من x-intercepts دُوِّرَت 90° حول نقاطها المتوسطة، و يُفسَّر حينها المستوى الديكارتي كمستوى معقَّد.(أخضر).
الجذور
إن جذور (أو أصفار) الدالة التربيعيّة أحاديّة المتغيّر r1 وr2 f
(
x
) =
a x 2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
− r 1
)
(
x
− r 2
)
,
{displaystyle {begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\end{aligned}}}
هي قيم x التي تجعل f(x) = 0.
وعندما تكون المعاملات a وb وc أعداد حقيقية أو أعداد عُقديّة تكون حينها الجذور
r 1
= −
b
− b 2
−
4
a
c
2
a ,
{displaystyle r_{1}={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},} r 2
= −
b
+ b 2
−
4
a
c
2
a .
{displaystyle r_{2}={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
الحد الأعلى لحد الجذور
لا يمكن للقيمة المطلقة لجذور كثير حدود تربيعيّ (من الدرجة الثانية) a x 2
+
b
x
+
c {displaystyle ax^{2}+bx+c,} أن تكون أكبر من
max
( | a | , | b | , | c | ) | a |
×
ϕ
, {displaystyle {frac {max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}times phi ,,} حيث ϕ
{displaystyle phi } النسبة الذهبيّة وهي
1
+
5 2
.
{displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}.}
أشكال الدالة التربيعيّة ذات المتغير الواحد
يمكن التعبير عن الدالة التربيعيّة وحيدة المتغير بثلاثة صيغ: f
(
x
)
=
a x 2
+
b
x
+
c
{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,!} يُدعى الشكل المعياريّ
f
(
x
)
=
a
(
x
− r 1
)
(
x
− r 2
)
{displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2}),!} يُدعى الشَّكل المُفَكَّك (المُحلَّل إلى عوامل)، حيث r1 وr2 جذور للدالة التربيعيّة وحلول للمعادلة التربيعيّة (من الدرجة الثانية) الموافقة لهذه الدالة.
f
(
x
)
=
a
(
x
−
h ) 2
+
k
{displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k,!} يُدعى الشكل المُتَّجِهيّ h وkوx وy هي إحداثيّات المتجه على التوالي.
للمعامل a القيمة ذاتها في الأشكال الثلاثة. وللتحويل من الشكل المعياري إلى الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله)، يحتاج المرء فقط للصيغة التربيعيّة لتحديد الجذرين r1 وr2. وللتحويل من الشكل المعياريّ إلى الشكل المتجهيّ، يحتاج المرء إلى القيام بعملية تُدعى إكمال المربع. وللتحويل من الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله) إلى الشكل المعياريّ، يحتاج المرء إلى مضاعفة و/أو توسيعها و/أو نشر العوامل.
المصطلح
المعاملات
تكون عادةً معاملات كثيرات الحدود أرقام حقيقية أو عقديّة، ولكن في الواقع، يمكن تعريف كثير الحدود بأي حلقة. الدرجة
عند استخدام مصطلح «كثير حدود من الدرجة الثانية»، يقصد الكتاب أحياناً «أن لكثير الحدود الدرجة 2 تماماً»، وأحياناً «أن لكثير الحدود الدرجة 2 على الأكثر». وإذا كانت الدرجة أقل من 2، قد يُدعى كثير الحدود حينها «حالة تدهور». وغالباً يتحدد المعنى المقصود من السياق. أحياناً تُستخدم كلمة «المرتبة» بمعنى «درجة»، مثلاً كثير حدود من المرتبة الثانية. المتغيرات
يمكن أن يشتمل كثير الحدود التربيعيّ على متغيّر (متحوِّل) مفرد X (حالة المتغيّر الأحادي) أو عدة متغيرات كـ X و Y و Z (حالة متعددة المتغيِّرات). حالة متغير واحد
قد يكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيّر واحد على الشكل الآتي a x 2
+
b
x
+
c
,
{displaystyle ax^{2}+bx+c,,!}
حيث x هو المتغيِّر، و aو b و c تُمثِّل المعاملات. وفي الجبر الأولي، غالباً ما تنشأ هكذا كثيرات حدود في شكل معادلة من الدرجة الثانية a x 2
+
b
x
+
c
=
0
{displaystyle ax^{2}+bx+c=0} وتُدعى حلول هذه المعادلة بجذور كثير الحدود من الدرجة الثانية (التربيعيّ)، وقد يكون من الممكن إيجادها من خلال تحليل كثير الحدود إلى عوامله الأوليّة أو إكمال المربع أو من خلال رسم بياني للدالة أو من خلال طريقة نيوتن أو من خلال استخدام الصيغة التربيعية. لكل كثير حدود تربيعيّ دالة تربيعيّة مرافقة يكون تمثيلها البيانيّ قطعاً مكافئاً. حالة متغيران
قد يُكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيرين على الشكل الآتي f
(
x
,
y
)
=
a x 2
+
b y 2
+
c
x
y
+
d
x
+
e
y
+
f
,
{displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,,!}
حيث x و y متغيِّرات، بينما a و b و c و d و e و f معاملات عدديّة. تُعتبر متحولات كهذه أساساً لدراسة لـلقطوع المخروطيّة، التي تتظاهر بتساوي التعبير عن الدالة f (x, y) إلى الصفر. وبشكل مشابه، فإن كثيرات الحدود بثلاثة متغيرات أو أكثر تتطابق مع السطوح التربيعيّة والسطوح الفائقة. في الجبر الخطيّ، يمكن تعميم فكرة كثيرات الحدود التربيعيّة (من الدرجة الثانية) على فكرة الشكل التربيعيّ على الفضاء المتجهيّ.
الجذر التربيعي لدالة تربيعية وحيدة المتغير
يؤدي الجذر التربيعيّ لدالة تربيعية أحادية المتغيّر إلى واحدة من أربع مقاطع مخروطيّة غالباً على نحو أكيد إلى قطع ناقص أو إلى قطع زائد.
إذا كانت a
>
0
{displaystyle a>0,!} فإن المعادلة y
=
±
a x 2
+
b
x
+
c
{displaystyle y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}} تصف قطعاً زائداً، كما يمكن رؤيته من خلال تربيع الجانبين. تتحدَّد اتجاهات محاور القطع الزائد بواسطة ترتيب النقطة الأدنى (قيمتها على محور y) من القطع المكافئ المقابل
y p
=
a x 2
+
b
x
+
c
{displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c,!} . إذا كان ترتيبها سالباً، فإن المحور الرئيسي للقطع الزائد (المار من ذروته) أفقيّ، بينما إذا كان ترتيبها موجباً سيكون المحور الرئيسي للقطع الزائد عموديَّاً.
إذا كانت a
<
0
{displaystyle a<0,!} فإن المعادلة y
=
±
a x 2
+
b
x
+
c
{displaystyle y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}} تصف إما دائرة أو قطعاً ناقصاً أو لا تصف شيئاً على الإطلاق. إذا كان ترتيب النقطة الأكبر من القطع المكافئ المقابل
y p
=
a x 2
+
b
x
+
c
{displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c,!} موجباً فإن الجذر التربيعيّ يصف قطعاً ناقصاً، ولكن إذا كان الترتيب سالباً فإنه يصف موضع فارغ من النقاط.
اشتقاق الاسم
يُطلَق على الدالة التربيعيّة اسم (بالإنجليزية: Quadratic function) باللغة الإنجليزيّة، وتُشتقُّ من الكلمة اللاتينيّة quadrātum والتي تعني «مُرَبَّع». كما يُطلَق اسم مُربَّع أيضاً في الجبر على الرمز x2 وذلك بسبب تشكُّل منطقة بشكل مربَّع بجانب X.
التكرار
لتكرار دالة f
(
x
)
=
a x 2
+
b
x
+
c
{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} يتم تطبيق الدالة مراراً وتكراراً، باستخدام المخرجات من أحد التكرارات كمُدخل في التكرار التالي.
لا يمكن للمرء أن يستنتج دائماً الشكل التحليليّ لـ
f (
n
)
(
x
)
{displaystyle f^{(n)}(x)} والذي يعني أن nth تكراراً لِـ f
(
x
)
{displaystyle f(x)} .(يمكن أن يمتد الخط العلوي حتى أرقام سالبة، مما يشير إلى تكرار عكس f
(
x
)
{displaystyle f(x)} إذا كان العكس موجوداً) ولكن هناك حالات يكون التعبير فيها بالشكل المغلق.
على سبيل المثال، للمعادلة التكرارايّة الآتية f
(
x
)
=
a
(
x
−
c ) 2
+
c
{displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c}
وعندما يكون f
(
x
)
=
a
(
x
−
c ) 2
+
c
= h (
−
1
)
(
g
(
h
(
x
)
)
)
,
{displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),,!}
حيث g
(
x
)
=
a x 2
{displaystyle g(x)=ax^{2},!} and h
(
x
)
=
x
−
c
.
{displaystyle h(x)=x-c.,!}
و بالاستقراء نجد
f (
n
)
(
x
)
= h (
−
1
)
( g (
n
)
(
h
(
x
)
)
)
{displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x))),!}
يمكن الحصول عليه، حيث
g (
n
)
(
x
)
{displaystyle g^{(n)}(x)} يمكن حسابه بسهولة كـ
g (
n
)
(
x
)
= a
2 n
−
1 x
2 n
.
{displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.,!}
أخيراً لدينا
f (
n
)
(
x
)
= a
2 n
−
1
(
x
−
c )
2 n
+
c
{displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c,!}
وهو الحل.
يمكن حل المتتالية اللوجستية
x n
+
1
=
r x n
(
1
− x n
)
, 0
≤ x 0
<
1
{displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),quad 0leq x_{0}<1}
بالمعلمة 2<r و r<4 في حالات محددة، إحداها الحالة الفوضويّة وإحداها ليست. في الحالات الفوضويّة r=4 الحل هو
x n
= sin 2
( 2 n
θ
π
)
{displaystyle x_{n}=sin ^{2}(2^{n}theta pi )}
حيث تُعطى معلمة الحالة البدئية θ
{displaystyle theta } بواسطة θ
= 1
π
sin −
1
( x 0
1 / 2
)
{displaystyle theta ={tfrac {1}{pi }}sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})} . ولقيمة عقلانية لِـ θ
{displaystyle theta } ، بعد عدد منتهي من التكرارات
x n
{displaystyle x_{n}} متتالية إلى سلسلة دوريّة. ولكن تقريباً جميع θ
{displaystyle theta } غير منطقيّة، ومن أجل θ
{displaystyle theta } منطقية لا تُكرِّر
x n
{displaystyle x_{n}} نفسها أبداً، وهي غير دوريّة وتعتمد على الحالة البدئية، لذا يُقال أنها فوضويّة.
حل المتتالية اللوجيستية عندما تكون r=2
الحل: x n
=
1
2
−
1
2
(
1
−
2 x 0 )
2 n
{displaystyle x_{n}={frac {1}{2}}-{frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}} من أجل
x 0
∈
[
0
,
1
)
{displaystyle x_{0}in [0,1)} . وإذا (
1
−
2 x 0
)
∈
(
−
1
,
1
)
{displaystyle (1-2x_{0})in (-1,1)} لأي قيمة من
x 0
{displaystyle x_{0}} ما عدا النقطة المثبتة غير المستقرة 0، المصطلح (
1
−
2 x 0 )
2 n
{displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}} يسعى إلى 0 كما تسعى n إلى اللانهاية، لذا فإن
x n
{displaystyle x_{n}} تسعى إلى النقطة الثابتة المستقرة
1
2 .
{displaystyle {tfrac {1}{2}}.} .
شرح مبسط
في علم الجبر، يشير مصطلح الدالة التربيعيّة أو كثير الحدود التربيعيّ أو كثير الحدود من الدرجة الثانية أو ببساطة التربيعيّ إلى دالة كثير حدود بمتغير واحد أو أكثر، أعلى درجة فيه هي 2. على سبيل المثال، تحتوي الدالة التربيعيّة ذات المتغيرات الثلاثة x و y و z بشكل حصريّ على الحدود x2 و y2 و z2 و xy و xz و yz و x و y و z وثابت: