تم النشر اليوم 2024/05/12 | مجموعة مفتوحة

تعريف

توجد عدة تعاريف للمفهوم، تختلف حسب نوع الفضاء. لكنها لا تتعارض مع تعريف عام: حيث Eمجموعةما و T مجموعةٌ عناصرها هي مجوعات جزئية لِ E, إذا تحققت الخاصياتُ الثلاثة الآتية مجتمعةً: الفراغُوالشمولُ:المجموعة الفارغة Ø و E عضوان في T.
الوَصْل:أيُ اتحادٍ لاعضاء من T ينتمي لِ T (إن كان نهائياً أو غير نهائي).
البَيْن:تقاطع أي مجموعتين من T ينتمي هو أيضا لِ T (ليس ضروريا ان ينتمي تقاطع عدد لا نهائي من المجموعات من داخل T إلى TT).
و في هذه الحالة نسمي Tطوبولوجيّةًالفضاء، والمجموعات الاعضاء فيها نسميهنالمجموعات المفتوحةفي الفضاء. مجموعةٌ التي مكَمّلتها مجموعة مفتوحة تُسمّىمجموعة مغلقة. بالنسبة للفضائات المترية فنقول أن مجموعة هي مجموعة مفتوحة اٍذا كان بالنسبة لأي عنصر x من المجموعة، فاٍنه يوجد عدد حقيقي r موجب قطعا، حيت تكون الفلكة التي مركزها x وشعاعها r مضمونة في المجموعة.

أمثلة

في مجموعة الأعداد الحقيقية يتقاطع مفهوم المجموعة المفتوحة مع مجال مفتوح. فكل مجموعة مفتوحة هي اتحاد مجالات مفتوحة قابلة للعد متفارقة (منفصلة) فيما بينها مثنى مثنى.

شرح مبسط

في الطوبولوجيا، تدعى المجموعة U بالمجموعة المفتوحة (بالإنجليزية: Open set)‏ إذا كان، ابتداءً من أي نقطة x في المجموعة U من الممكن التحرك في أي اتجاه بشكل بسيط دون الخروج خارج المجموعة.[1][2][3]