تم النشر اليوم 2024/05/13 | مصفوفة ياكوبية

أمثلة

المثال الأول
لتكن الدالة f: ℝ2 → ℝ2 المعرفة كما يلي
f (
x
,
y
)
=
[
x 2
y
5
x
+
sin
⁡
y ]
.
{displaystyle mathbf {f} (x,y)={begin{bmatrix}x^{2}y\5x+sin yend{bmatrix}}.}
إذن
f 1
(
x
,
y
)
= x 2
y
{displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}
و
f 2
(
x
,
y
)
=
5
x
+
sin
⁡
y
{displaystyle f_{2}(x,y)=5x+sin y}
والمصفوفة الياكوبية ل F هي J f (
x
,
y
)
=
[ ∂ f 1
∂
x
∂ f 1
∂
y
∂ f 2
∂
x
∂ f 2
∂
y ]
=
[ 2
x
y x 2
5
cos
⁡
y ]
{displaystyle mathbf {J} _{mathbf {f} }(x,y)={begin{bmatrix}{dfrac {partial f_{1}}{partial x}}&{dfrac {partial f_{1}}{partial y}}\[1em]{dfrac {partial f_{2}}{partial x}}&{dfrac {partial f_{2}}{partial y}}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}2xy&x^{2}\5&cos yend{bmatrix}}}
أما المحددة الجاكوبية فهي det
(
J f (
x
,
y
)
)
=
2
x
y
cos
⁡
y
−
5 x 2
.
{displaystyle det(mathbf {J} _{mathbf {f} }(x,y))=2xycos y-5x^{2}.}
المثال الثاني: التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية
التحويل من نظام إحداثي قطبي (r, φ) إلى نظام إحداثي ديكارتي (x, y), توفره الدالة التالية F: ℝ+ × [0, 2π) → ℝ2 حيث: x =
r
cos
⁡
φ
;
y =
r
sin
⁡
φ
.
{displaystyle {begin{aligned}x&=rcos varphi ;\y&=rsin varphi .end{aligned}}}
J F (
r
,
φ
)
=
[ ∂
x
∂
r
∂
x
∂
φ
∂
y
∂
r
∂
y
∂
φ ]
=
[ cos
⁡
φ
−
r
sin
⁡
φ
sin
⁡
φ
r
cos
⁡
φ ]
{displaystyle mathbf {J} _{mathbf {F} }(r,varphi )={begin{bmatrix}{dfrac {partial x}{partial r}}&{dfrac {partial x}{partial varphi }}\[1em]{dfrac {partial y}{partial r}}&{dfrac {partial y}{partial varphi }}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}cos varphi &-rsin varphi \sin varphi &rcos varphi end{bmatrix}}}
المحددة الياكوبية تساوي r. هذا التساوي يستعمل من أجل تحويل التكاملات من نظام إحداثيات إلى آخر:
∬
F (
A
)
f
(
x
,
y
) d
x d
y
= ∬ A
f
(
r
cos
⁡
φ
,
r
sin
⁡
φ
) r d
r d
φ
.
{displaystyle iint _{mathbf {F} (A)}f(x,y),dx,dy=iint _{A}f(rcos varphi ,rsin varphi ),r,dr,dvarphi .}

شرح مبسط

مصفوفة ياكوبية (بالإنجليزية: Jacobian matrix)‏ هي مصفوفة تعبر عن مشتق متجه من الدالات ولها أهمية كبيرة في الرياضيات والهندسة خاصة في إخطاط الأنظمة اللاخطية ودراستها وفي الرياضيات العددية.[1][2]