[ تعرٌف على ] مصفوفة ياكوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28

تم النشر اليوم 2024-04-28 | مصفوفة ياكوبية

أمثلة

المثال الأول
لتكن الدالة f: ℝ2 → ℝ2 المعرفة كما يلي
f (
x
,
y
)
=
[
x 2
y
5
x
+
sin
⁡
y ]
.
{\displaystyle \mathbf {f} (x,y)={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}
إذن
f 1
(
x
,
y
)
= x 2
y
{\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}
و
f 2
(
x
,
y
)
=
5
x
+
sin
⁡
y
{\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}
والمصفوفة الياكوبية ل F هي J f (
x
,
y
)
=
[ ∂ f 1
∂
x
∂ f 1
∂
y
∂ f 2
∂
x
∂ f 2
∂
y ]
=
[ 2
x
y x 2
5
cos
⁡
y ]
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}
أما المحددة الجاكوبية فهي det
(
J f (
x
,
y
)
)
=
2
x
y
cos
⁡
y
−
5 x 2
.
{\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}
المثال الثاني: التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية
التحويل من نظام إحداثي قطبي (r, φ) إلى نظام إحداثي ديكارتي (x, y), توفره الدالة التالية F: ℝ+ × [0, 2π) → ℝ2 حيث: x =
r
cos
⁡
φ
;
y =
r
sin
⁡
φ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}
J F (
r
,
φ
)
=
[ ∂
x
∂
r
∂
x
∂
φ
∂
y
∂
r
∂
y
∂
φ ]
=
[ cos
⁡
φ
−
r
sin
⁡
φ
sin
⁡
φ
r
cos
⁡
φ ]
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}
المحددة الياكوبية تساوي r. هذا التساوي يستعمل من أجل تحويل التكاملات من نظام إحداثيات إلى آخر:
∬
F (
A
)
f
(
x
,
y
) d
x d
y
= ∬ A
f
(
r
cos
⁡
φ
,
r
sin
⁡
φ
) r d
r d
φ
.
{\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}

شرح مبسط

مصفوفة ياكوبية (بالإنجليزية: Jacobian matrix)‏ هي مصفوفة تعبر عن مشتق متجه من الدالات ولها أهمية كبيرة في الرياضيات والهندسة خاصة في إخطاط الأنظمة اللاخطية ودراستها وفي الرياضيات العددية.[1][2]