أمثلة على متسلسلات متباعدة ومتسلسلات متقاربة

• مجموع مقلوبات عدد طبيعي الأعداد الطبيعية يعطي متسلسلة متباعدة تسمى متسلسلة متناسقة المتسلسلة المتناسقة
• 1 over 1 + 1 over 2 + 1 over 3 + 1 over 4 + 1 over 5 + 1 over 6 +cdots
  ightarrow infty.
• مجموع مقلوبات عدد طبيعي الأعداد الطبيعية مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب, يعطي متسلسة متقاربة
• 1over 1 – 1over 2 + 1over 3 – 1over 4 + 1over 5 cdots ln(2)
• مجموع مقلوبات أعداد زوجية وأعداد فردية الأعداد الطبيعية الفردية مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب ( صيغة لايبنتس ل د€ ), يعطي متسلسة متقاربة
• 1 over 1 – 1 over 3 + 1 over 5 – 1 over 7 + 1 over 9 – 1 over 11 +cdots pi over 4 .
• مجموع مقلوبات عدد أولي الأعداد الأولية يعطي متسلسة متباعدة (هذا برهان على أن عدد الأعداد الأولية غير منته)
• 1 over 2 + 1 over 3 + 1 over 5 + 1 over 7 + 1 over 11 + 1 over 13 +cdots
  ightarrow infty.
• مجموع مقلوبات عدد مثلثي الأعداد المثلثية يعطي متسلسلة متقاربة
• 1 over 1 + 1 over 3 + 1 over 6 + 1 over 10 + 1 over 15 + 1 over 21 +cdots 2.
• مجموع مقلوبات عاملي الأعداد الطبيعية يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى ه (رياضيات) العدد e )
• frac 1 1 + frac 1 1 + frac 1 2 + frac 1 6 + frac 1 24 + frac 1 120 + cdots e.
• مجموع مقلوبات مربع كامل المربعات الكاملة يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى معضلة بازل )
• 1 over 1 + 1 over 4 + 1 over 9 + 1 over 16 + 1 over 25 + 1 over 36 +cdots pi^2 over 6 .
• مجموع مقلوبات قوة العدد اثنين قوى العدد اثنين يعطي متسلسلة متقاربة
• 1 over 1 + 1 over 2 + 1 over 4 + 1 over 8 + 1 over 16 + 1 over 32 +cdots 2.
• مجموع مقلوبات قوة العدد اثنين قوى العدد اثنين مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب, يعطي أيضا متسلسلة متقاربة
• 1 over 1 – 1 over 2 + 1 over 4 – 1 over 8 + 1 over 16 – 1 over 32 +cdots 2over3 .
• مجموع مقلوبات عدد فيبوناتشي أعداد فيبوناتشي يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى ثابتة المقلوبات لفيبوناتشي العدد دˆ )
• frac 1 1 + frac 1 1 + frac 1 2 + frac 1 3 + frac 1 5 + frac 1 8 + cdots psi.

اختبارات التقارب

مفصلة اختبارات تقارب متسلسلة

Comparison test series.svg 250 إذا بُرهن على أن المتسلسلة الزرقاء Sigma b_n متقاربة، فإن المتسلسلة الأصغر منها Sigma a_n متقاربة أيضا. وبشكل مماثل، إذا بُرهن على أن المتسلسلة الحمراء Sigma a_n متباعدة, فإن Sigma b_n أيضا متباعدة.

هناك عدة طرق تمكن من معرفة هل متسلسلة ما تتقارب أو تتباعد.

اختبار المقارنة (رياضيات) اختبار المقارنة حدود المتتالية a_n
ight تُقارن مع حدود متتالية أخرى b_n
ight . إذا توفر ما يلي مهما كانت قيمة n

0 le a_n le b_n, و sum_ n 1 ^infty b_n متسلسلة متقاربة، فإن sum_ n 1 ^infty a_n. متقاربة أيضا.

وبشكل مماثل، إذا توفر ما يلي مهما كانت قيمة n

0 le a_n le b_n, و sum_ n 1 ^infty a_n متباعدة, فإن sum_ n 1 ^infty b_n أيضا متباعدة.

اختبار النسبة (رياضيات) اختبار النسبة يُفترض أنه مهما كانت قيمة n فإن a_n> 0 وأنه يوجد عدد r حيث

lim_ n o infty frac a_ n+1 a_n r.

إذا كان r 1, فإن المتسلسلة متباعدة. أما إذا كان nowrap 1 r 1, فإن اختبار النسبة يصير غير مجد وغير نافع وأن المتسلسلة قد تكون متقاربة وقد تكون متباعدة.

اختبار الجذر أو الجذر النوني

اختبار التكامل

اختبار مقارنة النهايات

اختبار المتسلسلات المتناونة الإشارة

معيار التقارب لكوشي

في الرياضيات ، متسلسلة إنج Convergent series هي مجموع حدود متتالية من الأعداد.

لتكن a_1, a_2, a_3,dots
ight متتالية ما. الحد النوني متسلسلة (رياضيات) خصائص أساسية للمجموع الجزئي S_n هو مجموع الحدود n الأولى للمتتالية، أي

S_n sum_ k 1 ^n a_k.

تكون متسلسلة (رياضيات) متسلسلة ما نهاية متتالية متقاربة إذا كانت متتالية المجاميع الجزئية S_1, S_2, S_3,dots
ight متقاربة. وبشكل رسمي، تكون متسلسلة متقاربة إذا وُجدت نهاية متتالية نهاية ell حيث كيفما كان عدد موجب صغير ما varepsilon> 0، فإنه يوجد عدد N حيث مهما كان n ge N فإن

S_n – ell
ight vert le varepsilon.

يقال عن متسلسلة غير متقاربة متسلسلة متباعدة .