دالة هاميلتون و دالة لاغرانج

تمكن تحويل دالة هاميلتون عن طريق تحويل ليجاندر فنحصل على ميكانيك لاغرانج دالة لاغرانج

mathcal L(t,q,dot q) التي تعتمد على الإحداثيات المعممة للوضع والسرعات ,
dot q (dot q_1,dot q_2dots dot q_n)

mathcal H(t,q,p) sum_ k 1 ^n dot q_k, p_k – mathcal L(t, q,dot q)

نجد على اليمين السرعات

dot q التي تؤول إلى الدوال dot q(t,q,p) عند تعريف زخم الحركة زخوم الحركة حيث زخم الحركة p

p_k frac partial mathcal L partial dot q_k

واستنباطها من السرعات.

وعلى سبيل المثال يعتمد زخم الحركة لجسيم يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء طبقا لدالة لاغرانج

mathcal L – m,c^2 sqrt 1-dot mathbf q^2/c^2

mathbf p frac m dot mathbf q sqrt 1-dot mathbf q^2/c^2

أي يعتمد زخم الحركة على السرعة السرعات .

وبالعكس نجد ان السرعة دالة لزخم الحركة

dotmathbf q frac mathbf p,c^2 sqrt m^2,c^4+mathbf p^2,c^2

وتحدد دالة هاميلتون تغير مكان الجسيمات و زخمها الحركي مع الزمن من خلال معادلة هاميلتون للحركة .

dot q_k frac partial mathcal H partial p_k ,quad dot p_k -frac partial mathcal H partial q_k ,.

كذلك يعين معامل هاميلتون التغير مع الزمن في ميكانيكا الكم . ويمكن الحصول عليه في مسائل كثيرة من دالة هاميلتون مع أخذ كمومية الكمومية في الاعتبار ، وصياغة الدالة mathcal H(t,q,p) كدالة للمعاملين q و p .

معادلة هاميلتون في الفيزياء (بالإنجليزية Hamilton function ) mathcal H(t,q,p) هي معادلة تصف حركة نظام مكون من جسيمات وتعطي طاقة طاقته كدالة لموضع الجسيمات و زخم الحركة وزخم حركتها . وهي معادلة تعتمد على الزمن t و إحداثيات الوضع q (q_1,q_2dots q_n) و زخم الحركة لكل الجسيمات p (p_1,p_2dots p_n) .

عند دراسة حركة جسيم كتلة كتلته m يتحرك بسرعة أقل بكثير من سرعة الضوء ويوجد في جسيم في صندوق بئر جهدي V (مثال تقريبي إلكترون يتحرك في جهد نواة ذرة الذرة ) ، فيمكن حساب طاقة الحركة و طاقة الوضع للجسيم (الإلكترون) بالمعادلة

mathcal H(t,mathbf q,mathbf p) frac mathbf p^2 2,m +V(mathbf q)

أما إذا أردنا وصف جسيم حر طليق يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء نحصل على العلاقة بين الطاقة E وزخم الحركة p للجسيم الحر كالآتي

E^2-mathbf p^2,c^2 m^2,c^4

حيث c سرعة الضوء ,

وتكون معادلة هاميلتون للجسيم الحر (مع أخذ تأثيرات النظرية النسبية الخاصة أينشتاين لأينشتاين في الحسبان)

mathcal H(t,mathbf q,mathbf p) sqrt m^2,c^4+ mathbf p^2,c^2 ,.

في ذلك المثالين (جسيم يتحرك في بئر جهدي لنواة أو جسيم حر) لا تعتمد دالة هاميلتون على الزمن ، وعلى ذلك يحتفظ الجسيم بطاقته الابتدائية ، فتكون طاقة الجسيم بقاء الطاقة كمية محفوطة .