شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
تجربة هيدر2
اليوم: الجمعة 29 مارس 2024 , الساعة: 6:19 ص


اخر المشاهدات
الأكثر قراءة
اعلانات

مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات


عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع متعددات الحدود لشيبيشيف تعريف # اخر تحديث اليوم 2024-03-29 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 28/03/2024

اعلانات

متعددات الحدود لشيبيشيف تعريف # اخر تحديث اليوم 2024-03-29

آخر تحديث منذ 6 ساعة و 59 دقيقة
4 مشاهدة

تعريف


تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول استدعاء ذاتي بالعلاقة التكرارية








egin


T_0(x) & 1 \


T_1(x) & x \


T_ n+1 (x) & 2xT_n(x) - T_ n-1 (x).


end




وتكون دالة مولدة الدالة المولدة التقليدية لـ < >T< >n






sum_ n 0 ^ infty T_n(x) t^n frac 1-tx 1-2tx+t^2 . ,!



ودالة التوليد الأسية هي




sum_ n 0 ^ infty T_n(x) frac t^n n! 1 over 2 (e^ (x-sqrt x^2 -1 )t +e^ (x+sqrt x^2 -1 )t
ight). ,!



تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الثاني بطريقة مشابهة








egin


U_0(x) & 1 \


U_1(x) & 2x \


U_ n+1 (x) & 2xU_n(x) - U_ n-1 (x).


end




من أمثلة دالة مولدة الدوال المولدة لـ < >U< >n






sum_ n 0 ^ infty U_n(x) t^n frac 1 1-2 t x+t^2 . ,!



تعريف بالنسب المثلثية


النوع الأول




T_n(x) cos(n arccos x) cosh(n,mathrm arccosh ,x) ,!



حيث




T_n(cos(vartheta)) cos(nvartheta) ,!



لقيم < >n 0, 1, 2, 3,..., أما النوع الثاني






U_n(cos(vartheta)) frac sin((n+1)vartheta) sinvartheta ,!



لهذه المتطابقة فائدة قصوى مع وجود صيغة التوليد التكرارية لأنها تسمح بحساب جيب التمام لأي تكامل من مضاعفات زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية الأساسية.بتقييم كثيرتي حدود شيبيشف الأوليتين




T_0(x) cos 0x 1 ,!



و




T_1(cos(x)) cos(x) ,!



يمكن بيان أن






cos(2 vartheta) 2cosvartheta cosvartheta - cos(0 vartheta) 2cos^ 2 ,vartheta - 1 ,!







cos(3 vartheta) 2cosvartheta cos(2vartheta) - cosvartheta 4cos^3,vartheta - 3cosvartheta ,!




وهكذا.



تعريف معادلة بل


يمكن تعريف كثيرات حدود شيبيشف أيضاً بأنها حلول معادلة بل




T_i^2 - (x^2-1) U_ i-1 ^2 1 ,!



في حلقة R[< >x].Jeroen D eyer Diophantine Sets over Polynomial Rings and Hilbert's Tenth Probl for Function Fields, Ph.D. theses ( ), p.70. بالتالي، يمكن توليدها بالطريقة القياسية لمعادلات بل بأخذ قوى حل أساسي






T_i + U_ i-1 sqrt x^2-1 (x + sqrt x^2-1 )^i. ,!



العلاقة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني


العلاقة متشابهة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني بالمعالات التالية




frac d dx , T_n(x) n U_ n-1 (x) mbox , n 1,ldots




T_n(x) frac 1 2 (U_n(x) - , U_ n-2 (x)).




T_ n+1 (x) xT_n(x) - (1 - x^2)U_ n-1 (x),




T_n(x) U_n(x) - x , U_ n-1 (x).



العلاقة التكرارية لمشتقات كثيرات حدود شيبيشيف يمكن اشتقاقها من هذه العلاقات



2 T_n(x) frac 1 n+1 frac d dx T_ n+1 (x) - frac 1 n-1 frac d dx T_ n-1 (x) mbox , quad n 1,ldots



تستعمل هذه العلاقة في طريقة طيفية شيبيشيف لحل المعادلات التفاضلية.



بالمثل، يمكن تعريف التعاقبين من أزواج معادلات تكرار متبادل






T_0(x) 1,!




U_ -1 (x) 0,!




T_ n+1 (x) xT_n(x) - (1 - x^2)U_ n-1 (x),




U_n(x) xU_ n-1 (x) + T_n(x),



صيغ صريحة




T_n(x)


egin cases


cos(narccos(x)), & x in [-1,1] \


cosh(n , mathrm arccosh (x)), & x ge 1 \ (-1)^n cosh(n , mathrm arccosh (-x)), & x le -1 \


end cases ,!









egin


T_n(x) & frac (x-sqrt x^2-1 )^n+(x+sqrt x^2-1 )^n 2 \


& sum_ k 0 ^ lfloor n/2
floor inom n 2k (x^2-1)^k x^ n-2k \


& x^n sum_ k 0 ^ lfloor n/2
floor inom n 2k (1 - x^ -2 )^k \


& frac n 2 sum_ k 0 ^ lfloor n/2
floor (-1)^k frac (n-k-1)! k!(n-2k)! ~(2x)^ n-2k quad (n>0) \
& n sum_ k 0 ^ n (-2)^ k frac (n+k-1)! (n-k)!(2k)! (1 - x)^k quad (n>0)\
& , _2F_1 (-n,n frac 1 2 frac 1-x 2
ight) \


end







egin


U_n(x) & frac (x+sqrt x^2-1 )^ n+1 - (x-sqrt x^2-1 )^ n+1 2sqrt x^2-1 \


& sum_ k 0 ^ lfloor n/2
floor inom n+1 2k+1 (x^2-1)^k x^ n-2k \


& x^n sum_ k 0 ^ lfloor n/2
floor inom n+1 2k+1 (1 - x^ -2 )^k \


& sum_ k 0 ^ lfloor n/2
floor inom 2k-(n+1) k ~(2x)^ n-2k quad (n>0)\
& sum_ k 0 ^ lfloor n/2
floor (-1)^k inom n-k k ~(2x)^ n-2k quad (n>0)\
& sum_ k 0 ^ n (-2)^ k frac (n+k+1)! (n-k)!(2k+1)! (1 - x)^k quad (n>0)\
& (n+1) , _2F_1 (-n,n+2 frac 3 2 frac 1-x 2
ight)


end




حيث _2F_1 هي دالة مثلثية زائدية .

الخواص


التحويل


من المتطابقات المفيدة في تحويل كثيرات الحدود



T_n (1-2x^2
ight) (-1)^n T_ 2n (x)


و



U_n (1-2x^2
ight) x (-1)^n U_ 2n+1 (x).


الجذور والقيم القصوى


لأي من النوعين في كثيرات حدود شيبيشف من الدرجة < >n يوجد لها < >n جذور بسيطة مختلفة تدعى جذور شيبيشف في الفترة [−1,1]. باستعمال التعريف المثلثي والحقيقة القائلة بأن






cos (frac pi 2 ,(2k+1)
ight) 0



يمن إثبات أن جذور < >T< >n هي






x_k cos (frac pi 2 ,frac 2k-1 n
ight),quad k 1,ldots,n.



بالمثل جذور < >U< >n هي






x_k cos (frac k n+1 pi
ight),quad k 1,ldots,n.



التفاضل والتكامل


باشتقاق كثيرات الحدود في صورها المثلثية، يمكن بسهولة الوصل لايلي




frac d T_n d x n U_ n - 1 ,




frac d U_n d x frac (n + 1)T_ n + 1 - x U_n x^2 - 1 ,




frac d^2 T_n d x^2 n frac n T_n - x U_ n - 1 x^2 - 1 n frac (n + 1)T_n - U_n x^2 - 1 .,



التعامدية


إن كلا من < >T< >n و< >U< >n تكونان تعاقب كثيرات حدود متعامدة . كثيرات الحدود من النوع الأول تكون متعامدة بالنسبة للوزن






frac 1 sqrt 1-x^2 , ,!



في الفترة (−1,1), أي أن




int_ -1 ^1 T_n(x)T_m(x),frac dx sqrt 1-x^2


egin cases


0 & n
e m \


pi & n m 0\


pi/2 & n m
e 0


end cases




بالمثل، كثيرات الحدود من النوع الثاني تكون متعامدة بالنسبة للوزن




sqrt 1-x^2 ,!



على الفترة [−1,1], أي أن




int_ -1 ^1 U_n(x)U_m(x)sqrt 1-x^2 ,dx


egin cases


0 & n
e m, \


pi/2 & n m.


end cases




الأصغرية âˆ‍-طبيعي


لأي قيمة < >n ≥ 1, بين كثيرات الحدود من الدرجة < >nمع معامل أسبقية 1,






f(x) frac1 2^ n-1 T_n(x)



هي تلك التي لها قيمة مطلقة أعظمية في الفترة [−1,  1] تكون أصغرية.



هذه القيمة الأعظمية تكون



frac1 2^ n-1



و ƒ(< >x) تصل لهذه القيمة العظمى تماماً nowrap < >n + 1 من المرات عند






x cos frac kpi n ext for 0 le k le n.



صلتها بكثيرات حدود أخرى




  • T_n(x) frac 1 n-frac 1 2 choose n P_n^ -frac 1 2, -frac 1 2 (x) frac n 2 C_n^0(x),

  • U_n(x) frac 1 2 n+frac 1 2 choose n P_n^ frac 1 2, frac 1 2 (x) C_n^1(x).



أمثلة


Chebyshev Polynomials of the 1st Kind (n 0-5, x (-1,1)).svg تصغير 300بك بعض من كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول في المجال nowrap −1 < < >x < 1




الأسطح < >T0, < >T1, < >T2, < >T3, < >T4 و< >T5.





بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول هي




T_0(x) 1 ,




T_1(x) x ,




T_2(x) 2x^2 - 1 ,




T_3(x) 4x^3 - 3x ,




T_4(x) 8x^4 - 8x^2 + 1 ,




T_5(x) 16x^5 - 20x^3 + 5x ,




T_6(x) 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 ,




T_7(x) 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x ,




T_8(x) 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 ,




T_9(x) 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. ,



Chebyshev Polynomials of the 2nd Kind (n 0-5, x (-1,1)).svg 300 بعض من كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الثاني في المجال −1  ميز متعددة الحدود المتقطعة لشيبيشيف



في الرياضيات ، متعددات الحدود لشيبيشيف إنج Chebyshev polynomials هي متعددات حدود يعود اسمها إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف ,Chebyshev polynomials were first presented in P. L. Chebyshev (1854) Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes, < >Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg, vol. 7, pages 539-586. هي متتالية متعددات حدود متتالية من متعددة الحدود المتعامدة متعددات حدود متعامدة لها صلة ب صيغة دي موافر وتعرف ببساطة بواسطة استدعاء ذاتي ذاتية الاستدعاء .





عادة هناك فرق بين متعددات حدود شيبيشيف من النوع الأول والتي يرمز لها ب < >T< >n وبين متعددات حدود شيبيشيف من النوع الثاني ويرمز لها < >U< >n.





متعددات الحدود لشيبيشيف < >T< >n أو < >U< >n هي متعددات حدود من الدرجة < >n و تعاقب كثيرات حدود شيبيشيف لأي من النوعين تكون تعاقب كثيرات حدود .





متعددات حدود شيبيشيف مهمة في نظرية التقريب لأن جذور كثيرات حدود شيبيشيف ذات النوع الأول، والتي يطلق عليها أيضاً عقد شيبيشيف ، تستخدم عقدا في استيفاء كثيرات الحدود .



في مجال المعادلات التفاضلية ، تأتي متعددات الحدود لشيبيشيف حلحلة ل معادلة شيبيشيف .




(1-x^2),y< > - x,y' + n^2,y 0 ,!






و



(1-x^2),y - 3x,y' + n(n+2),y 0 ,!






(الصنف الأول حلحلة للمعادلة الأولى والثاني حلحلة للمعادلة الثانية). هاتان المعادلتان حالتان خاصتان من نظرية ستورم-ليوفيل معادلة ستورم-ليوفيل التفاضلية .



شاركنا رأيك

 
التعليقات

لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا

أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع متعددات الحدود لشيبيشيف تعريف # اخر تحديث اليوم 2024-03-29 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 28/03/2024


اعلاناتتجربة فوتر 1