ضرب المصفوفات العادي

عملية الضرب العادية المذكورة هنا هي الأكثر شيوعًا لدى استخدام المصفوفات وأكثرها أهميّة. عملية الضرب هذه تكون معرّفة بين المصفوفتين A وB فقط إذا كان عدد أعمدة الأولى مساويًا لعدد الأسطر في الثانية. أي أنّ العملية معرّفة إذا كانت A من درجة m imes n، وB من درجة n imes p، وتكون مصفوفة حاصل الضرب C A cdot B من درجة m imes p.
ووفق نفس المنطق، فإذا تمّ ضرب سلسلة مصفوفات ضرب سلسلة من المصفوفات ذات درجات n_ 1 imes n_ 2 ، n_ 2 imes n_ 3 وn_ k-1 imes n_ k ، فإنّ مصفوفة حاصل الضرب ستكون من درجة n_ 1 imes n_ k . من هنا، فإنّ ضرب المصفوفات ليست عملية تبديلية على الأطلاق، إذ قد لا يكون الضرب معرفًا أصلاً إذا ما استبدلت المصفوفتان.

في العملية C_ m imes q A_ m imes n cdot B_ n imes q يتم حساب كل عنصر في مصفوفة حاصل الضرب، بالطريقة الآتية

c_ i,j sum_ k 1 ^ n a_ i,k cdot b_ k,j .

أي أنّه لحساب العنصر الواقع في السطر < >i والعمود < >j من مصفوفة حاصل الضرب ، يجب حساب فضاء الجداء الداخلي الجداء الداخلي متجه للمتجهين المكوّنين من السطر < >i من المصفوفة الأولى والعمود < >j من المصفوفة الثانية. ويوضح الرسم التالي تلك العملية

overbrace egin bmatrix


cdot & cdot & cdot & cdot \


cdot & cdot & cdot & cdot \


color Blue a_ 3,1 & color Blue a_ 3,2 & color Blue a_ 3,3 & color Blue a_ 3,4 \


end bmatrix ^ A_ 3 imes 4


overbrace egin bmatrix


cdot & cdot & cdot & color Red b_ 1,4 & cdot \


cdot & cdot & cdot & color Red b_ 2,4 & cdot \


cdot & cdot & cdot & color Red b_ 3,4 & cdot \


cdot & cdot & cdot & color Red b_ 4,4 & cdot \


end bmatrix ^ B_ 4 imes 5





overbrace egin bmatrix


cdot & cdot & cdot & cdot & cdot \


cdot & cdot & cdot & cdot & cdot \


cdot & cdot & cdot & c_ 3,4 & cdot \


end bmatrix ^ C_ 3 imes 5




إذ يتحقّق

c_ color Blue 3 , color Red 4 color Blue a_ 3,1 cdot color Red b_ 1,4 + color Blue a_ 3,2 cdot color Red b_ 2,4 + color Blue a_ 3,3 cdot color Red b_ 3,4 + color Blue a_ 3,4 cdot color Red b_ 4,4

خواص الضرب العادي

ليست عملية ضرب المصفوفات عملية تبديلية عمومًا، وإن كانت العملية التبديلية معرّفة. أي

mathbf AB
e mathbf BA .

أحد الاستثنائات بالنسبة للخاصة السابقة هي كون المصفوفتين مصفوفة قطرية قطريتين ، إذ عندها تكون عملية الضرب تبديلية.

إذا كانت المصفوفتان < >A و< >B مصفوفة المصفوفة المربعة مربّعتين ، يتحقّق

mbox det (mathbf AB
ight) mbox det (mathbf BA
ight)

أي أنّ عمليّة حساب محدّد حاصل الضرب هي عملية تبديلية.

إنّ عملية ضرب المصفوفات هي عملية تجميعية ، إذ

(mathbf AB
ight) mathbf C mathbf A (mathbf BC
ight).

إنّ عملية ضرب المصفوفات هي توزيعية عملية توزيعية ، إذ

mathbf A (mathbf B + mathbf C
ight) mathbf AB + mathbf AC ،

(mathbf A + mathbf B
ight) mathbf C mathbf AC + mathbf BC

إذا كانت المصفوفات معرّفة فوق حقل (رياضيات) حقل ما (حقلا الأعداد الطبيعية و الأعداد المركبة مثالان)، فضرب المصفوفات يتلائم مع الضرب مع كمية عددية من الحقل، أي

c (mathbf AB
ight) (cmathbf A
ight) mathbf B (mathbf A c
ight) mathbf B mathbf A (c mathbf B
ight) mathbf A (mathbf B c
ight) (mathbf AB
ight) c.

أشكال أخرى من ضرب المصفوفات

ضرب هادامار

ضرب فروبينيوس

ضرب كرونكر

مقال تفصيلي جداء كرونكر

أنظر أيضا

• جداء ثلاثي


• ضرب متجهي


• مصفوفة قابلة للعكس قلب مصفوفة

في الرياضيات ، يشير ضرب المصفوفات إنك Matrix multiplication إلى عملية ضرب مصفوفة ما بعدد أو بمصفوفة أخرى.