الصيغة

إذا كان < >n عدد طبيعي عددا طبيعيا , وكانت f(x), دالة أكثر سلاسة(بمعنى أنها قابلة اشتقاق للاشتقاق بما يكفي) معرفة لجميع عدد حقيقي الأعداد الحقيقية < >x بين 0 و< >n, فإن التكامل

I int_0^n f(x),dx

يمكن تقريبه بالمجموع (والعكس صحيح)

S frac 1 2 f(0)+f (1
ight) +cdots+f (n-1
ight) +frac 1 2 f(n)




تعطي صيغة أويلر-ماكلورين تعابير للفرق بين المجموع والتكامل بدلالة المشتقات العليا f^ (k) , عند اطراف النقاط على الفترة 0 و< >n. وبوضوح, لأي عدد طبيعي < >p, يكون لدينا (انظر قاعدة شبه المنحرف ).

S-I sum_ k 2 ^p frac B_k k! (f^ (k-1) (n)-f^ (k-1) (0)
ight) +R

حيث < >B1 −1/2، < >B2 1/6، < >B3 0، < >B4 −1/30, < >B5 0، < >B6 1/42، < >B7 0، < >B8 −1/30,... هي أعداد بيرنولي , و< >R هو حد الخطأ وعادة مايكون صغيرا عند قيم مناسبة لـ< >p. (غالبا يتم كتابة الصيغة بالقيم الزوجية, بما أن أعداد بيرنولي الفردية أصفار عدا < >B1.)





لاحظ أن

-B_1(f(n)+f(0)) frac 1 2 (f(n)+f(0)).

وعليه يمكن أيضا كتابة الصيغة كما يلي

egin


& quad sum_ i 0 ^n f(i) int^n_0f(x),dx-B_1(f(n)+f(0))+sum_ k 2 ^pfrac B_k k! (f^ (k-1) (n)-f^ (k-1) (0)
ight)+R.


end




باستخدام قاعدة التعويض, يمكن مواءمة هذه الصيغة أيضا للدوال < >ƒ والمعرفة على فترة (رياضيات) فترة ما أخرى من الخط الحقيقي.

الحد المتبقي

الحد المتبقي < >R يعبر عنه غالبا باستخدام كثيرة حدود بيرنولي كثيرات حدود بيرنولي الدورية (< >P< >n(< >x. تعرف كثيرة حدود بيرنولي < >B< >n(< >x)، < >n 0,  1,  2,  ... بشكل تعاودي على أنها

B_0(x) 1, ,

B_n'(x) nB_ n-1 (x)mbox and int_0^1 B_n(x),dx 0mbox for n ge 1.

حينئذ فإن دوال بيرنولي الدورية < >P< >n تعرف بالشكل

P_n(x) B_n(x - lfloor x
floor)mbox for x> 0, ,

حيث ترمزscript lfloor x
floor إلى العدد الصحيح الأكبر والذي لا يكون أكبر من < >x. وعليه, بدلالة < >P< >n(< >x), فإن الحد المتبقي < >R يمكن كتابته بالصورة

R (-1)^ p+1 int_0^n f^ (p) (x) P_p(x) over p! ,dx,

بما أن P_p(x) , عادة أقل من 2p!/(2pi)^p,, فيمكن توقع حجم الحد المتبقي باستخدام

R
ight leqfrac 2 (2pi)^p int_0^n f^ (p) (x)
ight ,dx.

تطبيقات

مسألة بازل

كانت مسألة بازل تتسأل عن إيجاد المجموع

1 + frac14 + frac19 + frac1 16 + frac1 25 + cdots sum_ n 1 ^infty frac 1 n^2 .

قام اويلر بحساب هذا المجموع بدقة عشرين خانة عشرية باستعمال حدود معدودة من صيغة أويلر ماكلورين سنة 1735. وربما أقنعه هذا بأن المجوموع مكافئا ل د€2 / 6, والتي أثبتها في نفس العام.David J. Pengelley, Dances between continuous and discrete Euler's summation formula , in Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), < >Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002)، Euler Society, 2003.

مجاميع ذات كثيرة حدود

إذا كانت < >f دالة كثيرة حدود و< >p كبيرة بشكل كاف, فإن الحد المتبقي يتلاشى. على سبيل المثال، إذا كانت < >f(< >x) < >x3,, فيمكننا اختيار < >p 2 لتوضيح الاتي بعد التبسيط

sum_ i 0 ^n i^3 (frac n(n+1) 2
ight)^2

(انظر صيغة فاولابر ).

التكامل العددي

تستخدم صيغة أويلر ماكلورين أيضا في تفصيل تحليل الخطأ في تربيع عددي التربيع العددي ، وخاصة طرق التقدير الاستقرائي المعتمدة عليها. يعتبر تربيع كلينشو-كيرتيس في الأساس تحويلا في المتغيرات لتمثيل تكامل اعتباطي بدلالة تكاملات دوال دورية تكون فيها صيغة أويلر ماكلورين دقيقة جدا (وفي تلك الحالة تأخذ صيغة أويلر ماكلورين شكل تحويل جيب تمام متقطع )

نشر المحاميع المقارب

في سياق حساب نشر مقارب المتسلسلات المقاربة للمجاميع و متسلسلة المتسلسلات , فإن الشكل التالي يكون عالبا أفضل صيغة في أويلر ماكلورين

sum_ n a ^b f(n) sim int_a^b f(x),dx + frac f(a)+f(b) 2 + sum_ k 1 ^infty ,frac B_ 2k (2k)! (f^ (2k-1) (b)-f^ (2k-1) (a)
ight), ,

حيث< >a و< >b أعداد صحيحة. harvtxt Abramowitz Stegun 1972 , 23.1.30 وفي الغالب يبقى النشر مشروعا حتى بعد أحذ النهايات script a o -infty , أو script b o +infty ,, أو كلاهما. في حالات عديدة يمكن تقدير التكامل في الجانب الأيمن في نظرية غالويس التفاضلية شكل مغلق بدلالة دالة أساسية الدوال الأساسية حتى ولو أن الجمع على الجانب الأيسر غير قادر على ذلك. حينئذ يمكن التعبير عن جميع الحدود في السلسلة المقاربة بدلالة دوال أساسية.

sum_ k 0 ^infty frac 1 (z+k)^2 sim underbrace int_0^inftyfrac 1 (z+k)^2 ,dk _ 1/z +frac 1 2z^2

+sum_ t 1 ^infty frac B_ 2t z^ 2t+1 .,

هنا الجانب الأيسر يساوي script psi^ (1) (z) ,, بالاسم دالة متعدد غاما من الرتبة الأولى المعرفة من خلال script psi^ (1) (z) frac d^2 dz^2 ln Gamma(z) , دالة غاما script Gamma(z) , تساوي script (z-1)! , إذا كان script z , عدد صحيح . ينتج عن هذا نشر مقارب لـ script psi^ (1) (z) ,. وهذا النشر بدوره, يخدمنا كنقطة بداية لواحدة من اشتقاقات دقيقة لتوقع الخطأ في تقريب ستيرلينغ لدالة المضروب .

البراهين

الاشتقاق بالاستقراء الرياضي

باتباع النقاش المعطى في (Apostol) cite doi 10.2307/2589145 .

يمكن تعريف كثيرات حدود بيرنولي < >B< >n(< >x), < >n 0,  1,  2,  ... بشكل معاود كما يلي

B_0(x) 1, ,

B_n'(x) nB_ n-1 (x)mbox and int_0^1 B_n(x),dx 0mbox for n ge 1.

البعض الأولى من هذه هي

B_1(x) x-1/2, quad B_2(x) x^2-x+1/6,

B_3(x) x^3-frac 3 2 x^2+frac 1 2 x, quad B_4(x) x^4-2x^3+x^2-frac 1 30 , dots

القيم < >B< >n(1) هي أعداد بيرنولي . لاحظ أن




لأجل < >n  ≥  2 يكون لدينا

B_n(0) B_n(1) B_nquad( n ext th Bernoulli number ).

نعرف دوال بيرنولي الدورية < >P< >n بالصورة

P_n(x) B_n(x - lfloor x
floor)mbox for 0 في الرياضيات , تعطي صيغة أويلر-ماكلورين ارتباطا وثيقا بين التكامل (انظر التفاضل والتكامل ) والمجموع.





يمكن استخدام الصيغة لتقريب التكاملات بعدد محدود من المجاميع, أو تقييم مجاميع محدودة و متسلسلة سلاسل غير منتهية باستعمال التكاملات والية التفاضل على نحو مضاد.


على سبيل المثال, العديد من المنشورات المقاربة يتم اشتقاقها من هذه الصيغة و صيغة فاولابر لمجموع القوى هو نتيجة مباشرة لذلك.



اكتشفت الصيغة من قبل ليونارد أويلر و كولين ماكلورين كل على حده في حوالى 1735 (وعممت فيما بعد تحت صيغة داربوكس ). احتاج إليها أويلر ليحسب متسلسلة لانهائية بطيئة التقارب بينما استخدمها ماكلورين لحساب التكاملات.