أهمية قانون الجيب

• يستخدم قانون الجيب بشكل رئيس عند حساب طولي ضلعين مجهولين في مثلث بمعرفة طول الضلع الثالث و قياس أي زاويتين من زواياه الثلاث، تعد هذه المسألة من أشهر مسألة رياضية المسائل الرياضية في تثليث التثليث في علم المثلثات حساب المثلثات .


• يمكن استخدام قانون الجيب لمعرفة قياس زاوية ما في مثلث إذا علم طولا أي ضلعين فيه و قياس زاوية غير المحصورة بينهما، و في هذا النوع من المسائل قد نصل أحياناً إلى ما يعرف بالحالة المبهمة للمثلث، حيث نحصل على قيمتين مختلفتين للزاوية المحصورة بين الضلعين المعلومين.


• يكثر استخدام قانون الجيب في مسائل التفكير العالي و في برهان رياضي البراهين و الإثباتات في هندسة رياضية الهندسة الرياضية .

إثبات القانون

البرهان الأول

LabeledTriangle.svg المثلث ABC.



في حساب المثلثات يمكن حساب مساحة المثلث بدلالة ضلعين و جيب جيب الزاوية المحصورة بينهما بالعلاقة

k frac 1 2 ab sin C frac 1 2 ac sin B frac 1 2 bc sin A

حيث K مساحة المثلث ABC.

frac 1 2 ab sin C frac 1 2 ac sin B

â†گ

b sin C c sin B

â†گ

frac c sin C frac b sin B

و بتكرار الخطوات السابقة مرة أخرى نصل إلى ما تبقى من القانون.

البرهان الثاني

Sine law.png المثلث ABC.



نسقط عمودي عمود من أي زاوية في المثلث ولتكن A على الضلع المقابل لها يقطعه في N.



من المعلوم أن جيب جيب الزاوية في مثلث قائم المثلث القائم الزاية يساوي النسبة بين طولي الضلع المقابل لها و وتر المثلث القائم الوتر .



في المثلث ANC

sin C frac AN b

â†گ


AN b sin C



و في المثلث ANB

sin B frac AN c

â†گ


AN c sin B



مما سبق نصل إلى أن c sin B b sin C و منها نصل إلى القانون.

الحالة المبهمة

Sine Law - Ambiguous Case.svg تصغير الحالة المبهمة لمثلث مستوٍ



عند استخدام قانون الجيب لحساب قياس زاوية قد نحصل أحياناً على حلين مختلفين للمثلث، هذا يعني أنه يوجد مثلثان يتفقان في عناصر المثلث المعلومة و لكنهما يختلفان في قيم العناصر المجهولة. هذه الحالة تسمى الحالة المبهمة، و لا تحصل هذه الحالة إلا بتحقق الشروط التالية

1. أن تكون العناصر المعلومة في المثلث هي طول ضلعين و ليكونا < >b ، < >a و قياس زاوية غير المحصورة بينهما، ولتكن الزاوية < >A.


2. أن تكون الزاوية المعلومة < >A زاوية زاوية حادة (< >A < 90°).


3. أن يكون الضلع المقابل للزاوية المعلومة (الضلع < >a في حالتنا) أصغر طولاً من الضلع الآخر المعلوم (الضلع < >b) أي أن < >a < < >b.


4. أن يكون الضلع < >a أطول من ارتفاع (مثلث) ارتفاع المثلث القائم الذي وتره < >b و إحدى زاوياه < >A (أي < >a > < >b sin < >A).

في الواقع هذه الحالة ناتجة من إحدى خواص دوال مثلثية الدوال المثلثية وبالتحديد دالة جيب الجيب لأن (Sin x Sin (180-x.



ولهذا سنحصل على قيمتين للزاوية < >B عند تحقق هذه الشروط الأربعة إما أن تكون حادة < >B < 90 أو أن تكون منفرجة < >B > 90.

B sin^ -1 ( b sin A over a
ight)

أو

B 180^circ - sin^ -1 ( b sin A over a
ight)

علاقة قانون الجيب بالدائرة المحيطة بالمثلث

Sines law.PNG المثلث ABC.



إذا كان R نصف قطر دائرة محيطة الدائرة المارة برؤوس المثلث ( الدائرة المحيطة بالمثلث أو الدائرة الخارجة للمثلث ) فإن

frac a sin A frac b sin B frac c sin C 2R

لإثبات ما سبق نرسم دائرة محيطة الدائرة المحيطة بالمثلث ABC و التي مركز (هندسة رياضية) مركزها M و نصف قطر نصف قطرها R و نسقط عمودي عمود من M على AB يقطعه في N.



المثلث BMA مثلث متساوي الساقين متساوي الساقين فيه BM,AM يساويان نصف القطر R.



قياس الزاوية ACB يساوي نصف قياس الزاوية AMB (قياس زاوية محيطية يساوي نصف قياس زاوية مركزية الزاوية المركزية التي تشترك معها في نفس قوس (هندسة) القوس ).



و قياس الزاوية AMN يساوي نصف قياس الزاوية AMB ( من تطابق (هندسة) تطابق المثلثين AMN و BMN ).



â†گ AMN ACB



â†گ

Sin AMN frac AN AM ( جيب جيب الزاوية يساوي المقابل على وتر المثلث القائم الوتر في مثلث قائم المثلث القائم ).

â†گ

Sin C frac frac AB 2 R (الزاوية AMN الزاوية C، نصف القطر R AM، طول القطعة المستقيمة AN نصف طول القطعة AB).

â†گ

R Sin C frac AB 2 .

â†گ

2R frac c Sin C (لأن AB c).

و بما أن اختيارنا للزاوية C لم يكن لميزة خاصة بها فبإمكاننا تكرار ما سبق مع الزاويتين A,B.

التاريخ

نسبة إلى أوبيراتان دامبروزو و سيلين هيلين ، فإن قانون الجيب قد اكتشف في القرن العاشر الميلادي. نسب إلى كل من العلماء الخجندي و أبو الوفا البوزجاني و نصير الدين الطوسي و منصور بن عراق .Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) Islamic math atics pp. 137–157, in citation Math atics Across Cultures The History of Non-western Math atics first1 Helaine last1 Selin first2 Ubiratan last2 D'Ambrosio year 2000 publisher Springer Science+Business Media Springer isbn 1-4020-0260-2

اقرأ أيضاً

• تثليث


• قانون جيب التمام


• منحنى الجيب دالة الجيب


• دوال مثلثية

شريط بوابات رياضيات هندسة رياضية


معلومات نظرية


الاسم


صورة


تعليق


النوع


تاريخ


الصيغة


جزء من


سميت بأسم


صاحبها





مصادر أكثر


LabeledTriangle.svg المثلث ABC.



في حساب مثلثات حساب المثلثات ، قانون الجيب هو قانون أو معادلة تربط بين أطوال أضلاع مثلث المثلث جيب بجيوب زاوية داخلية زواياه الداخلية طبقاً للعلاقة

frac a sin A frac b sin B frac c sin C

حيث < >c ،< >b ،< >a هي أطوال ضلع أضلاع المثلث، و< >C ،< >B ،< >A، هي زاوية الزوايا المقابلة لهذه الأضلاع على الترتيب.





من المفيد أحياناً كتابة قانون الجيب بصورة مقلوبة

frac sin A a frac sin B b frac sin C c