تحويل فورييه

Fourier_Series.svg تصغير 200بك تقريبات متسلسلة فورييه الأربعة الأولى لدالة دورية مربعة.


تحويل فورييه هو عملية رياضية تستخدم لتحويل الدوال الرياضية من مجال الزمن إلى مجال التردد. وهي مفيدة لتحليل الإشارات ومعرفة الترددات التي تتضمنها، كما أن لها تطبيقاً في حل المعادلات التفاضلية. واسم العملية مشتق من اسم العالم الفرنسي فوريي.











إذا رمزنا ب t للزمن







واعتبرنا w ترددا فإن تحويل فوريي الذي نرمز له هنا ب M هو تبسيطا دالة تحول إشارة أو دالة من دالة متغير بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد.أما الأصح هو أنها عملية أي operator (أي مثل الضرب والجمع والقسمة ولكنها أكثر تعقيدا حيث أنها عملية بين دالتين وليست عملية بين عدد عددين ) على كل فإن تأثير العملية مبين أسفله.









f(t)^
ightarrow^ M _ arrow_ m F(w)









و دالة التحويل M أي التي تحول دالة بمتغيير هو الزمن إلى دالة بمتغيير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي

















M f(t)
ight F(w) int^ +infty _ -infty f(t)e^ -jwt dt









و كما يوجد تحويل فوريي فإنه يوجد تحويل فوريي معاكس رمزت له هنا ب m وهو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل فورييه أي من دالة بمتغير قيمته معقدة إلى دالة بمتغير قيمته حقيقية. ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي

صيغة فورييه للدوال الدورية ذات الدور 2< >د€ في صورة مثلثية

بالنسبة للدالة الدورية (< >ƒ(< >x القابلة للتكامل على [−< >د€,  < >د€]، الإعداد

a_n frac 1 pi int_ -pi ^pi f(x) cos(nx), dx, quad n ge 0

و

b_n frac 1 pi int_ -pi ^pi f(x) sin(nx), dx, quad n ge 1

يطلق عليها معاملات فورييه للدالة < >ƒ. أحدها يعطي < >المجاميع الجزئية لمتسلسلات فورييه للدالة < >ƒ, يرمز لها عادة بـ

(S_N f)(x) frac a_0 2 + sum_ n 1 ^N , [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)], quad N ge 0.

المجاميع الجزئية لـ < >ƒ هي كثيرات حدود مثلثية . يتوقع المرء أن الدوال < >S< >N  < >ƒ هي تقريبات للدالة < >ƒ، وأن التقارب يتحسن عندما تقترب < >N من مالانهاية. يطلق على المجموع المحدود

frac a_0 2 + sum_ n 1 ^infty , [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)]

اسم متسلسلة فورييه للدالة < >ƒ.





لا تتقارب متسلسلات فورييه دائما، وحتى عندما تتقارب بالنسبة لقيمة معينة، < >x0 of < >x، فإن مجموع السلسلة عند < >x0 قد تختلف من قيمة < >ƒ(< >x0) للدالة.

مثال 1 متسلسلة فورييه بسيطة

Sawtooth_pi.svg تصغير 400بك مخطط بياني لدالة دورية مكافئة لـ— موجة سن المنشار


Periodic identity function تصغير 400بك مخطط حركي للأجزاء الخمسة الأولى من متسلسلة فورييه



باستعمال الصيغة المذكورة آنفا، نفرض معادلة سن المنشار

f(x) x, quad mathrm for -pi


Fourier series integral identities تصغير تعامد دوال الجيب و جيب التمام يجعل تكامل مضروب زوج منهم صفرا



في الرياضيات ، متسلسلة فورييه إنك Fourier series هي طريقة تتيح كتابة أي دالة رياضية دورية في شكل متسلسلة أو مجموع من دوال الجيب و جيب التمام مضروب بمعامل معين.





يعزى اسمها إلى العالم الفرنسي جوزيف فورييه تقديرا لأعماله الفذة في المتسلسلات المثلثية.