تعريف

المصفوفة هي تنظيم مستطيل الشكل لمجموعة من الاعداد على هيئة صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين. Harvard citations last1 Brown year 1991 nb yes loc Chapter I.1 . Alternative references for this book include Harvard citations author Lang year 1987b nb yes and استشهاد هارفرد last1 Greub year 1975 nb yes على سبيل المثال

mathbf A egin bmatrix

9 & 8 & 6 \


1 & 2 & 7 \


4 & 9 & 2 \


6 & 0 & 5 end bmatrix

يمكن أن تضع المصفوفة بين قوسين مربعين أو بين قوسين هلاليين

mathbf A egin pmatrix

9 & 8 & 6 \


1 & 2 & 7 \


4 & 9 & 2 \


6 & 0 & 5 end pmatrix
تدعى الخطوط الأفقية في المصفوفة بالأسطر بينما تدعى الخطوط العمودية باسم عمود. أما الأعداد فتدعى مدخلات المصفوفة أو عناصر المصفوفة. ترمز إلى مصفوفة بحرف لاتيني كبير وتحته عددين طبيعيين على شكل جداء هما m و n حيث m هو عدد الصفوف و n عدد الأعمدة. وبالتالي تعرف المصفوفة بعدد الصفوف والأعمدة (< >m  ×  n مصفوفة), وتعرف m و n بأبعاد المصفوفة. فأبعاد المصفوفة أعلاه هي 3*4 أي 4 أسطر و 3 أعمدة.





أما المصفوفة ذات العمود الواحد تحدد بالشكل (< >m  ×  1 مصفوفة) وتعرف باسم متجه عمودي . بينما المصفوفة المؤلفة من صف وحيد و n عمود تحدد بالشكل (a 1  ×  < >n مصفوفة) وتعرف باسم متجه صفي




.
مرجع كتاب العنوان الرياضيات 1 جامعة دمشق المؤلف عازار الشايب 1000journal الصفحات سنة 1990

المصفوفة هي جدول من العناصر، قد تكون أعدادا حقيقية أو أعدادا مركبة وقد تكون دوالا وهي صورة رياضية لوضع الأعداد في جدول.

حيز المصفوفة

هو عدد الصفوف والأعمدة المكونة لهذه المصفوفة التي تحتوى على M من الصفوف وN من الأعمدة والحيز m*n وتكتب (A (m*n.

المصفوفة تابعا

إن مصفوفة على الشكل ,m imes n,,(m, n in mathbb N )، هي تابع
mathbf A colon 1, 2, ldots, m imes 1, 2, ldots, n o mathbf S ,,,

حيث ( 1, 2, ldots, m imes 1, 2, ldots, n , هو الجداء الديكارتي للمجموعتين 1, 2, ldots, m , و 1, 2, ldots, n .),.

العمليات على المصفوفات

المصفوفات الجزئية

mathbf A egin bmatrix


color red 1 & 2 & color red 3 & color red 4 \


color red 5 & 6 & color red 7 & color red 8 \


9 & 10 & 11 & 12


end bmatrix
ightarrow egin bmatrix


1 & 3 & 4 \


5 & 7 & 8


end bmatrix




انظر إلى محدد (مصفوفات) .

الجمع

مفصلة جمع المصفوفات


لكى يمكن جمع مصفوفتين فلابد أن يكونا من نفس القياس. ويعرف حاصل جمع مصفوفتين بأنه المصفوفة الناتجة عن جمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين. فيتم جمع العناصر الناتجة عن تقاطع نفس الأعمدة والأسطر في كلا المصفوفتين وفق القاعدة











egin bmatrix a _ 11 & a _ 12 &cdots& a _ 1n \ a _ 21 & a _ 22 &cdots& a _ 2n \vdots & ddots & ddots & vdots\ a _ m1 & a _ m2 &cdots& a _ mn end bmatrix + egin bmatrix b _ 11 & b _ 12 &cdots& b _ 1n \ b _ 21 & b _ 22 &cdots& b _ 2n \vdots & ddots & ddots & vdots\ b _ m1 & b _ m2 &cdots& b _ mn end bmatrix egin bmatrix a _ 11 + b _ 11 & a _ 12 + b _ 12 &cdots& a _ 1n + b 1n \ a _ 21 + b _ 21 & a _ 22 + b _ 22 &cdots& a _ 2n + b _ 2n \vdots & ddots & ddots & vdots\ a _ m1 + b _ m1 & a _ m2 + b _ m2 &cdots& a _ mn + b _ mn end bmatrix









.

فعلى سبيل المثال إذا كان



ِA egin bmatrix 1&2&3\0&-1&2end bmatrix
,B egin bmatrix 0&-1&2\7&2&3end bmatrix

فإن C A+B egin bmatrix 1&1&5\7&1&5end bmatrix

الضرب

مفصلة ضرب المصفوفات

ضرب مصفوفة وحيدة العنصر مع مصفوفة متعددة العناصر

يُضرب العنصر الوحيد مع كل عنصر من عناصر المصفوفة، وتكون النتيجة مصفوفة جديدة تحوي العدد نفسه من العناصر.


egin bmatrix 5&3&2\1&7&6 end bmatrix * 2 egin bmatrix 10&6&4\2&14&12 end bmatrix

ضرب مصفوفة في مصفوفة

-Matrix multiplication diagram 2 svg.png‏ 300 رسم تخطيطي يوضح طريقة ضرب مصفوفة A بمصفوفة B.

• يجب في البداية أن نعلم أن ضرب المصفوفات غير تبديلي.


• من أجل إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين (وهو مصفوفة)، يجب أن يتحقق الشرط التالي

عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى عدد الأسطر في مصفوفة الثانية.





بفرض A مصفوفة من الشكل a x b، وB مصفوفة من الشكل c x d، فمن أجل إيجاد A * B، يجب أن يكون b c.

سنبدأ في البداية بضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود، فبفرض A وB مصفوفتان، حيث



A egin bmatrix a_1&a_2&a_3end bmatrix

B egin bmatrix b_1\b_2 \b_3 end bmatrix

فيكون


A * B egin bmatrix (a_1)(b_1) + (a_2)(b_2) + (a_3)(b_3)end bmatrix

ونلاحظ أن المصفوفة الناتجة هي مصفوفة وحيدة العنصر، وبالتالي، فإن ضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود ينتج مصفوفة وحيدة العنصر.



أما عند ضرب مصفوفتين متعددتي العناصر (وبفرض تحقق شروط الضرب)، فعندئذ، نقوم بتقسيم المصفوفة الأولى إلى سطور، والثانية إلى أعمدة، ونقوم بضرب الصف الأول بالعمود الأول (والنتيجة هي العنصر a_11 من النتيجة)، ثم نقوم بضرب الصف الأول مرة أخرى بالعمود الثاني (والنتيجة هي العنصر a_12 من النتيجة، وهكذا.



مثال توضيحي بالرموز





بفرض


A egin bmatrix a _ 11 & a _ 12 & a _ 13 \ a _ 21 & a _ 22 & a _ 23 end bmatrix

B egin bmatrix b _ 11 & b _ 12 \ b _ 21 & b _ 22 \ b _ 31 & b _ 32 end bmatrix

فيكون




A * B egin bmatrix


( a _ 11 imes b _ 11 + a _ 12 imes b _ 21 + a _ 13 imes b _ 31 )


& ( a _ 11 imes b _ 12 + a _ 12 imes b _ 22 + a _ 13 imes b _ 32 ) \


( a _ 21 imes b _ 11 + a _ 22 imes b _ 21 + a _ 23 imes b _ 31 )


& ( a _ 21 imes b _ 12 + a _ 22 imes b _ 22 + a _ 23 imes b _ 32 )



end bmatrix





مثال بالأرقام







egin bmatrix


1 & 0 & 2 \


-1 & 3 & 1 \


end bmatrix


imes


egin bmatrix


3 & 1 \


2 & 1 \


1 & 0 \


end bmatrix





egin bmatrix


(1 imes 3 + 0 imes 2 + 2 imes 1)


& (1 imes 1 + 0 imes 1 + 2 imes 0) \


(-1 imes 3 + 3 imes 2 + 1 imes 1)


& (-1 imes 1 + 3 imes 1 + 1 imes 0) \



end bmatrix

egin bmatrix


5 & 1 \


4 & 2 \


end bmatrix .

منقول مصفوفة

منقول مصفوفة ما هو المصفوفة الناتجة عن المصفوفة A< >mx< >n بعد أن يتم تبديل الأعمدة بالأسطر وبالتالي تصبح A< >nx< >m ويرمز لها بالرمز AT. يلاحظ أن العنصر الذي يقع في الصف i والعمود j في المصفوفة A، سيقع في الصف j والعمود i في منقول المصفوفة.




.
مرجع كتاب العنوان نظريات ومسائل في المصفوفات المؤلف فرانك أيرز 1000journal الدار الدولية للنشر والتوزيع الصفحات 13 سنة

على سبيل المثال، منقول المصفوفة A
egin bmatrix


1 & 9 & 13 \


20 & 55 & 4


end bmatrix



هو المصفوفة
egin bmatrix


1 & 20 \


9&55 \


13&4 \


end bmatrix




من خواص منقول المصفوفة
مرجع كتاب العنوان نظريات ومسائل في المصفوفات المؤلف فرانك أيرز 1000journal الدار الدولية للنشر والتوزيع الصفحات 14 سنة

منقول مجموع مصفوفتين هو مجموع منقول هاتين المصفوفتين أي أن

A+B)T AT + BT)

منقول حاصل ضرب مصفوفتين يساوي حاصل ضرب المصفوفتين بشكل معاكس لمنقولهما أي

A.B)T BT × AT)

معكوس المصفوفة

مفصلة معكوس المصفوفة


معكوس المصفوفة يقصد به المعكوس الضربى للمصفوفة بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يساوى مصفوفة الوحدة.



تدعى المصفوفة A مصفوفة قابلة للعكس إذا وجدت مصفوفة B تحقق العلاقة التالية

AB I< >n

و تدعى المصفوفة B بمقلوب المصفوفة A ويرمز لها بالرمز A−1. يكون للمصفوفة المربعة من الدرجة n إذا كانت مصفوفة غير شاذة ويكون معكوسها وحيد. ويحسب معكوس المصفوفة من العلاقة




مرجع كتاب


وصلة المؤلف Gilbert Strang


الأخير Strang


الأول Gilbert


العنوان Linear Algebra and Its Applications


الناشر Thomson Brooks/Cole


date


الصفحات 46


الرقم المعياري 0-03-010567-6

mathbf A ^ -1 1 over egin vmatrix mathbf A end vmatrix (mathbf C ^ mathrm T
ight)_ ij 1 over egin vmatrix mathbf A end vmatrix (mathbf C _ ji
ight) 1 over egin vmatrix mathbf A end vmatrix

egin pmatrix


mathbf C _ 11 & mathbf C _ 21 & cdots & mathbf C _ n1 \


mathbf C _ 12 & mathbf C _ 22 & cdots & mathbf C _ n2 \


vdots & vdots & ddots & vdots \


mathbf C _ 1n & mathbf C _ 2n & cdots & mathbf C _ nn \


end pmatrix

حيث A محدد المصفوفة A وC< >ij مصفوفة مصاحبة المصفوفة المرافقة





و يكون بالتالي معكوس المصفوفة المربع ذات الدرجة الثاني

mathbf A ^ -1 egin bmatrix

a & b \ c & d \


end bmatrix ^ -1


frac 1 ad - bc egin bmatrix


,,,d & !!-b \ -c & ,a \


end bmatrix .
تمتاز معكوس المصفوفة بالخصائص التالية
مرجع كتاب


وصلة المؤلف t2


الأخير lay


الأول david


العنوان Linear Algebra and Its Applications


الناشر person educatiom


date


الصفحات 137

معكوكس معكوس مصفوفة هو المصفوفة الأصلية نفسها أي

(mathbf A ^ -1
ight)^ -1 mathbf A .

منقول معكوس مصفوفة يساوي إلى معكوس منقول المصفوفة أي

(mathbf A ^mathrm T )^ -1 (mathbf A ^ -1 )^mathrm T ,

معكوس جداء مصفوفتين يساوي إلى حاصل ضرب معكوس المصفوفة الثانية في معكوس المصفوفة الأولى أي

(mathbf AB
ight)^ -1 mathbf B ^ -1 mathbf A ^ -1

مثال على تحويل من مجموعة انطلاق إلى مجموعة وصول

لنعتبر مثلا الشعاع التالي








V egin bmatrix s _ 1 \ s _ 2 \ s _ 3 \ s _ 4 end bmatrix in R ^ 4









و المصفوفة التالية


A egin bmatrix a _ 11 & a _ 12 & a _ 13 & a _ 14 \ a _ 21 & a _ 22 & a _ 23 & a _ 24 end bmatrix

عملية تحويل الشعاع تتم على نحو النحو التالي








X A*V egin bmatrix a _ 11 & a _ 12 & a _ 13 & a _ 14 \ a _ 21 & a _ 22 & a _ 23 & a _ 24 end bmatrix egin bmatrix s _ 1 \ s _ 2 \ s _ 3 \ s _ 4 end bmatrix egin bmatrix a _ 11 s _ 1 + a _ 12 s _ 2 + a _ 13 s _ 3 + a _ 14 s _ 4 \ a _ 21 s _ 1 + a _ 22 s _ 2 + a _ 23 s _ 3 + a _ 24 s _ 4 end bmatrix

وهكذا نكون قد حولنا شعاعا V ينتمي إلى R ^ 4 إلى شعاع X ينتمي إلى ال R ^ 2 . أما عامة إذا كانت المصفوفة تحتوي على عدد m من الأسطر و n من الأعمدة فإنها تحول مجموعة الانطلاق المكونة من أشعة تنتمي إلى ال K ^ n إلى مجموعة الوصول المتكونة من أشعة تنتمي إلى ال K ^ m .









كما يمكن اعتبار المصفوفات نوعا خاصا من تنسور التنسورات ألا وهي التنسورات من الدرجة الثانية

المعادلات الخطية

إذا وضع عدد من المتغيرات x في متجه عمودي حيث n عدد المتغيرات وبذلك يتكون المتجه من المتغيرات < >x2,..., < >x< >n, و A مصفوفة ذات قياس nxm بحيث تتألف مدخلات المصفوفة من ثوابت المتغيرات, و b متجه عمودي يتألف من ثوابت المعادلات فإن

Ax b

بحيث

< >a1,1< >x1 + < >a1,2< >x2 +... + < >a1,< >n< >x< >n < >b1

و

< >a< >m,1< >x1 + < >a< >m,2< >x2 +... + < >a< >m,< >n< >x< >n < >b< >m. Harvard citations last1 Brown year 1991 nb yes loc I.2.21 and 22

النقل الخطي

المصفوفة المربعة

مفصلة مصفوفة مربعة


المصفوفة المربعة هي مصفوفة تحوي نفس العدد من الأسطر والأعمدة. فالمصفوفة n imes n تعرف بمصفوفة مربعة ذات بعد n. يمكن جمع أو ضرب أي مصفوفتين مربعتين لهما نفس البعد. وتدعى المصفوفة A مصفوفة قابلة للعكس إذا وجدت مصفوفة B تحقق العلاقة التالية

AB I< >n

و تدعى المصفوفة B بمقلوب المصفوفة A ويرمز لها بالرمز A−1. ** المصفوفة المنفردة




المصفوفة المربعة التي ليس لها نظير ضربي تسمى مصفوفة منفردة.


والمصفوفة المربعة التي لها نظير ضربي تسمى غير منفردة.

نظرية

تكون المصفوفة A مصفوفة منفردة إذا وفقط إذا كان محددها يساوي صفرا.

الأنواع الرئيسية للمصفوفات المربعة

float 0ex 0ex 2ex 2ex

-


! الاسم !! مثال حيث < >n 3




-


مصفوفة قطرية text-
egin bmatrix


a_ 11 & 0 & 0 \


0 & a_ 22 & 0 \


0 & 0 & a_ 33 \


end bmatrix



-


مصفوفة مثلثية مصفوفة مثلثية سفلى text-
egin bmatrix


a_ 11 & 0 & 0 \


a_ 21 & a_ 22 & 0 \


a_ 31 & a_ 32 & a_ 33 \


end bmatrix



-


مصفوفة مثلثية مصفوفة مثلثية عليا text-
egin bmatrix


a_ 11 & a_ 12 & a_ 13 \


0 & a_ 22 & a_ 23 \


0 & 0 & a_ 33 \


end bmatrix

المصفوفة المثلثية والمصفوفة القُطرية

• المصفوفة الصفرية.


• مصفوفه العمود.

مصفوفة الوحدة

العمليات الأساسية على المصفوفات المربعة

أثر مصفوفة

يدعى مجموع عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة أثر (جبر خطي) بأثر المصفوفة (tr(A وبما أن الأثر التاتج عن مصفوفتين مستقل فإن ضرب أثري مصفوفتين هو عملية تبديلية أي (tr(AB) tr(BA. كما أن أثر مصفوفة يساوي أثر منقول المصفوفة




tr(A) tr(A)T

محدد مصفوفة

حساب قيمة محدد الدرجة الثالثة


هناك طريقتان لحساب محدد مصفوفة من الدرجة الثالثة



الطريقة الأولى

1. نكرر كتابة العمود الأول والثاني على الترتيب بعد العمود الثالث.


2. نكون مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليسار إلى اليمين ونطرح منه مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليمين إلى اليسار.

egin bmatrix


a_ 11 & a_ 12 & a_ 13 & a_ 11 & a_ 12 \


a_ 21 & a_ 22 & a_ 23 & a_ 21 & a_ 22 \


a_ 31 & a_ 32 & a_ 33 & a_ 31 & a_ 32 \


end bmatrix




الطريقة الثانية



ملحوظة


الطريقة الأولى لا تصلح للتطبيق على محددات المصفوفات


حيث بينما الطريقة الثانية يمكن تعميمها على محدد أي مصفوفة مع الاستفادة من خواص المحددات السابقة للتقليل من العمليات الحسابية.



الفك عن طريق المتعاملات


إذا كانت مصفوفة من الدرجة


نفرض أن هي المصفوفة الناتجة من المصفوفة A بعد حذف الصف رقمi والعمود رقم j في لمصفوفة A المحدد تسمى المحددة الصغرى للعنصر ويعرف متعامل العنصر بأنه





ولأي مصفوفة مربعة يتحقق الآتي


مجموع حاصل ضرب عناصر أي صف أو عمود في متعاملاتها يعطي قيمة المحدد أي انه إذا كانت مصفوفة من الدرجة فان

1. ويسمى مفكوك المحدد حول الصف رقم i


2. ويسمى مفكوك الصف حول العمود

بالنسبة للمصفوفات التي تكون من الدرجة الرابعة أو أكثر يستحسن تحويلها إلى مصفوفة مثلثية لتبسيط حساب المحدد وبالتالي يصبح يساوي جداء عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة المثلثية الجديدة

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة

مفصلة القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

تطبيقات

للمصفوفات العديد من التطبيقات في الرياضيات وفي غيرها من العلوم.

نظرية المخططات

Labelled undirected graph.svg 150 مخطط غير موجه مع مصفوفة القُرب المنبثقة عنه egin bmatrix
1 & 1 & 0 \


1 & 0 & 1 \


0 & 1 & 0


end bmatrix .

التحليل والهندسة

انظر إلى اشتقاق من الدرجة الثانية .

H(f) [frac partial^2f partial x_i , partial x_j
ight ].

نظرية الاحتمال والإحصاء

البصريات الهندسية

انظر إلى بصريات هندسية .

التاريخ

للمصفوفات تاريخ طويل في استخدامها في حل معادلة خطية المعادلات الخطية . فأقدم شكل لاستخدام المصفوفات في حل المعادلات كان نص صيني يدعى الفصول التسع في الرياضيات , كما تضمن مبدأ المحددات والذي يرجع تاريخه إلى ما بين 300 قبل الميلاد إلى 200 ميلادي , Harvard citations last1 Shen last2 Crossley last3 Lun year 1999 nb yes cited by استشهاد هارفرد last1 Bretscher year 2005 nb yes loc p. 1 في سنة 1683 نشر بحث عن المصفوفات من قبل الرياضي الياباني سيكي تاكازاو . بعد ذلك نشر بحوث متعلقة بالمصفوفات العالم الألماني جوتفريد لايبنتز في سنة 1693. ومن ثم نشر غابرييل كرامر قواعده في الحساب سنة 1750.

ركزت نظريات المصفوفات المبكرة على دور المحددات بدلا عن المصفوفات بشكل مستقل. ولم يظهر مفهوم المصفوفة بشكل مستقل حتى وقت حديث, في سنة 1858 مع أرثور كايلي ونظرياته حول المصفوفات. Harvard citations last1 Cayley year 1889 nb yes loc vol. II, p. 475–496 Harvard citations editor1-last Dieudonné year 1978 loc Vol. 1, Ch. III, p. 96 nb yes

نظرية المصفوفات هي فرع رياضيات الرياضيات الذي يركز على دراسة المصفوفات. فعليا يعتبر أحد فروع جبر خطي الجبر الخطي , ثم نمى ليغطي موضوعات ذات علاقة نظرية المخططات بنظرية المخططات و الجبر , و توافقيات التوافقيات و إحصاء الإحصاء .





المصفوفة تمثل منظومة (array) مربعة (rectangular) من الأرقام.


تم ابتكار مصطلح المصفوفة لاول مرة في سنة 1848 عن طريق جى.جى.سلفستر كإٍسم لمجموعة مرتبة من الأرقام. في 1855, قدم ارثر كايلي المصفوفة على أنها تمثيل لعناصر خطية. هذه الفترة اعتبرت بداية الجبر الخطى ونظرية المصفوفات. دراسة فضاء المتجه على المجال المحدد, فرع من الجبر الخطى يفيد في نظرية التشفير, يقود طبيبعيا إلى دراسة واستخدام المصفوفات عن المجال المحدد في نظرية التشفير.



الوحدة هو تعميم لفضاء المتجه. من الممكن اعتباره فضاء المتجه على حلقة. وهذا يؤدى إلى دراسة المصفوفات حول الحلقة. نظرية المصفوفات في هذه المنطقة لا تعتبر فرع من الجبر الخطى. بين النتائج الموجودة ضمن نظريات مفيدة ونظرية كايلى هاملتون تكون قابلة إذا كانت الحلقة الواقعة تبادلية, شكل سميث الطبيعي قابل لو كانت الحلقة الواقعة هي مجال مثالى رئيسي, لكن الآخرين قابلين فقط للمصفوفات ذات الأرقام المركبة أو الأرقام الحقيقية.



في الرياضيات ، المصفوفة إنج Matrix هي مجموعة مستطيل مستطيلة من الأعداد أو من رمز الرموز أو من عبارة (رياضيات) التعبيرات منتظمة بشكل أعمدة وأسطر. يُدعى كل عنصر من هذا المجموعة بعنصرٍ أو مدخلٍ للمصفوفة. فيما يلي، على سبيل المثال، مصفوفة تحتوي على صفين وعلى ثلاثة أعمدة

egin bmatrix


1 & 9 & 13 \


20 & 55 & 4


end bmatrix




مثالا على المدخلات في المصفوفة أعلاه 1, 9, 13, 20, 55 ,4. يدل عادة على أي مدخل في مصفوفة ما باسم المصفوفة بحرف لاتيني صغير وأسفله رقمين صغيرين بحيث يمثل العدد الأول رقم الصف والثاني رقم العمود مثل الشكل المرفق.


ويعرف عدد الأسطر في عدد الأعمدة برتبة المصفوفة أو قياس المصفوفة.مثال ذلك المصفوفة المحتوية على 4 أسطر و 3 أعمدة قياسها هو 4*3 ويمكن اجراء عمليتي الجمع والطرح على المصفوفات المتساوية القياس. كما يمكن ضرب المصفوفات بأنسجام معين في القياس. ولهذه العمليات العديد من خصائص الحساب العادي, باستثناء أن ضرب المصفوفات ليس عملية تبديلية بعملية تبديلية , وبشكل عام يمكن أن نقول أن A.B لا يساوي B.A. تعرف المصفوف المؤلفة من صف واحد أو عمود واحد متجه بمتجه . أما المصفوفة ذات القياس الأكبر تعرف موتر بموتر .



تعتبر المصفوفات من إحدى أهم مفاتيح جبر خطي الجبر الخطي . فيمكن أن تستخدم المصفوفات في حل نقل خطي النقل الخطي . يتوافق ضرب المصفوفات مع النقل الخطي تراكب دالة الدالة المركبة . كما يمكن للمصفوفات تتبع المعاملات في نظام المعادلات الخطية





يمكن تعريف المصفوفة عامة على أنها دالة رياضيات رياضية خطية تحول مجموعة بداية أي انطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى). مجموعة الانطلاق والوصول يمكن أن تكون متكونة من عدد صحيح أعداد صحيحة أو عدد عقدي عقدية أو أشعة من الأعداد كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية أو أشعة دالات رياضية. ويمكن أن نرمز للمصفوفة بمعقفين يكتب بينهما عناصر المصفوفة كما هو مبين أسفله












egin bmatrix a _ 11 & a _ 12 &cdots& a _ 1n \ a _ 21 & a _ 22 &cdots& a _ 2n \vdots & ddots & ddots & vdots\ a _ m1 & a _ m2 &cdots& a _ mn end bmatrix









حيث a _ ij يمكن أن تكون أعدادا صحيحة أو مركبة كما يمكن أن تكون دالات رياضية.