مثال على حساب الانحراف المعياري

سنأخذ هذا المثال البسيط على حساب الانحراف المعياري لكل من الرقمين 8 و4.

الخطوة 1 إحسب الـ متوسط حسابي للرقمين. (4 + 8) / 2 6

الخطوة 2 احسب انحراف كل من الرقمين السابقين عن الـ متوسط حسابي .

4 - 6 -2

8 - 6 2

الخطوة 3 قم بتربيع الانحرافين (-2)^2 4 و (2)^2 4

الخطوة 4 إجمع التربيعين الناتجين 4 + 4 8

الخطوة 5 قم بتقسيم الناتج على عدد القيم (وهو في مثالنا 2) 8/2 4

الخطوة 6 قم بإيجاد الجذر التربيعي الموجب sqrt 4 2

إذًا الانحراف المعياري هو 2.

حساب الانحراف المعياري لمتغير

لمتغير عشوائي متقطع

نفرض أن لدينا المتحولات (أو المتغيرات)script x_1,dots,x_N، يعطى الانحراف المعياري لهذه القيم بالعلاقة

sigma sqrt frac 1 N sum_ i 1 ^N (x_i - overline x )^2 .

حيث أن < >N هو عدد المتحولات (المتغيرات). ويمكن تبسيط العبارة السابقة إلى التالي





sigma sqrt frac 1 N (sum_ i 1 ^N x_i^2 - Noverline x ^2
ight) .

يمكن البرهنة على ذلك بواسطة العملية الجبرية التالية

egin

sum_ i 1 ^N (x_i - overline x )^2 & sum_ i 1 ^N (x_i^2 - 2 x_ioverline x + overline x ^2) \


& (sum_ i 1 ^N x_i^2
ight) - (2 overline x sum_ i 1 ^N x_i
ight) + Noverline x ^2 \


& (sum_ i 1 ^N x_i^2
ight) - 2 overline x (Noverline x ) + Noverline x ^2 \


& (sum_ i 1 ^N x_i^2
ight) - 2Noverline x ^2 + Noverline x ^2 \


& (sum_ i 1 ^N x_i^2
ight) - Noverline x ^2.


end
بما أن علم الإحصاء يحلل ويعرض البيانات المتفرقة بحيث تكون ذات معنى معين أو تعطي انطباعا معينًا فان تباين هذه البيانات يمثل مشكلة كبيرة في فهم سلوك البيانات.

لمتغير عشوائي متصل

الانحراف المعياري توزيع احتمال توزيعات احتمالية مستمرة لمتغير عشوائي متصل ذي قيم حقيقية X دالة الكثافة الاحتمالية دالة كثافته الاحتمالية هي (p(x هو

sigma sqrt int_mathbf X (x-mu)^2 , p(x) , dx ,
m حيث mu int_mathbf X x , p(x) , dx

التشتت

لشرح معنى التشتت يمكن أن نقدم المثال البسيط التالي


بالنظر للمفردات 9، 10، 11 فأن وسطها الحسابي هو 10 وهو أفضل قيمة تصلح لتمثيل هذه المجموعة، لكن بالنظر إلى 8، 10، 12 فإن وسطهم الحسابي هو أيضا 10 وكذلك 6، 10، 14 أي أن الوسط الحسابي فقط لا يكفي لتعريف مجموعة البيانات تعريفا دقيقا بل نحتاج لمعيار إضافي يوضح مدى تشتت هذه البيانات حول الوسط الإحصائي ولذلك اقترح الإحصائيون إدخال مفهوم الانحراف المعياري وغيره من القيم التي تعبر عن مدى تشتت البيانات.

التاريخ

standard deviation diagram.svg 325 رسم بياني ل توزيع احتمالي طبيعي (أو منحنى على شكل جرس) حيث لكل شريط عرض يساوي انحرافا معياريا واحدا   – انظرأيضا قاعدة 68-95-99.7


Normal-distribution-cumulative-density-function.svg Cumulative probability dispersion Cumulative probability of a normal distribution with expected value 0 and standard deviation 1.



Standard deviation.svg تصغير بيان الانحراف المعياري





في إحصاء الإحصاء ونظرية الاحتمالات، يعتبر الانحراف المعياري إنك Standard deviation القيمة الأكثر استخداما من بين مقاييس تشتت إحصائي التشتت الإحصائي لقياس مدى التبعثر الإحصائي، أي أنه يدل على مدى امتداد مجالات القيم ضمن مجموعة البيانات الإحصائية. عادة ما يرمز إلى الانحراف المعياري بالحرف الإغريقي الصغير سيغما دƒ .





و تباين التباين وهو معدل مربعات انحرافات العلامات في التوزيع عن الوسط الحسابي. ويكون الانحراف المعياري عندها الجذر التربيعي للتباين بالنسبة لمجموعة البيانات الإحصائية.



يتأثر التباين أو الانحراف المعياري بالقيم المتباعدة أو المتطرفة ولكنه لا يتأثر كثيرا بالتغيرات التي تطرأ على العينة, كما أنهما يرتبطان بالوسط الحسابي للتوزيع، بمعنى ان التشتت الذي نعبر عنه بالتباين أو الانحراف المعياري ينسب إلى الوسط الحسابي وليس لاي نقطة أخرى في التوزيع.