مقدمة

إذا اعتبرنا أن t الزمن

، وأن s عدد مركب عددا مركبا


فإن تحويل بيير لابلاس لابلاس الذي نرمز له هنا بالرمز L هو عملية تحويل إشارة أو دالة من دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير آخر هو التردد، أما الأصح هو أنها مؤثر يحول دالة بمتغير قيمته عدد حقيقي إلى دالة بمتغير قيمته ( عدد مركب ).



تحويل الدالة من متغير في الزمن إلى دالة في متغير للمسافة مثلا


مثال ذلك


تحويل السرعة المتغيرة التي هي دالة في الزمن


إلى دالة في المسافة


تحويل درجة الحرارة من دالة في الزمن إلى دالة في درجة حرارة المصدر





f(t)^
ightarrow^ L _ arrow_ l F(s)



و دالة التحويل L أي التي تحول دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي





L f(t)
ight F(s) int^ infty _ 0 f(t)e^ -st dt



و كما يوجد تحويل لابلاس فإنه يوجد تحويل بيير لابلاس لابلاس معاكس، ويُرمز له بالرمز mathcal L ^ -1 وهو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل لابلاس أي من دالة بمتغير قيمته عدد مركب إلى دالة بمتغير قيمته عدد حقيقي، ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي

f(t) mathcal L ^ -1 F mathcal L ^ -1 _s F(s) frac 1 2 pi i lim_ T oinfty int_ gamma - i T ^ gamma + i T e^ st F(s),ds,

خصائص ونظريات

هناك مجموعة من الخصائص لتحويل لابلاس لابد من معرفتها لتسهيل استخدامه وبخاصة في تحليل النظم الخطية، من أهمها حالات التفاضل والتكامل.



والجدول التالي يبين ملخصا لهذه الخصائص والنظريات



إذا كان هناك دالتين



(< >f(< >t و (< >g(< >t




وكان تحويل لابلاس لهما هو


(< >F(< >s و (< >G(< >s

f(t) mathcal L ^ -1 F(s)

g(t) mathcal L ^ -1 G(s)

وفيما يلي بيان تلك الخصائص والنظريات transform harvard citation no brackets Korn Korn 1967 pp 226–227




+ خصائص تحويل لابلاس


!


! مجال الزمن t


! مجال التردد s


! ملاحظات


-


! خطية الخطية


a f(t) + b g(t)
a F(s) + b G(s)
يمكن إثباتها بالقواعد الأساسية للتكامل.


-


! مشتق (رياضيات) التفاضل (الاشتقاق) في مجال التردد


t f(t)
-F'(s)
< >F′ هي مشتق (رياضيات) المشتقة الأولى لـ < >F.




-


! مشتق (رياضيات) التفاضل (الاشتقاق) في مجال التردد


t^ n f(t)
(-1)^ n F^ (n) (s)
< >F(n)′ هي مشتق (رياضيات) المشتقة رقم < >n لـ < >F.




-


! مشتق (رياضيات) التفاضل (الاشتقاق) في مجال الزمن


f'(t)
s F(s) - f(0)
بفرض < >f قابلة للاشتقاق، ومشتقاتها على صورة دالة أسية الدالة الأسية للثابت الطبيعي e دالة أسية للثابت الطبيعي e . ويمكن إثبات ذلك بواسطة ال تكامل بالتجزيء




-


! مشتق (رياضيات) التفاضل (الاشتقاق) الثاني في مجال الزمن


f< >(t)




s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)
بفرض f< > قابلة للاشتقاق مرتين، ومشتقاتها الثانية على صورة دالة أسية الدالة الأسية للثابت الطبيعي e دالة أسية للثابت الطبيعي e




-


! مشتق (رياضيات) التفاضل (الاشتقاق) عامةً في مجال الزمن


f^ (n) (t)
s^n F(s) - sum_ k 1 ^ n s^ k-1 f^ (n-k) (0)
بفرض f< > قابلة للاشتقاق n< > من المرات، ومشتقاتها رقم n< > على صورة دالة أسية .




-


! تكامل في مجال التردد


frac f(t) t
int_s^infty F(sigma), dsigma
يمكن استنتاجه باستخدام التفاضل في مجال التردد.


-


! التكامل في مجال الزمن


int_0^t f( au), d au (u * f)(t)
1 over s F(s)
u< >(t< >) هي دالة قفزة. لاحظ أن (u< > ∗ f< >)(t< >) يمثل التفاف (رياضيات) of u< >(t< >) و f< >(t< >).




-


! تحجيم الزمن


f(at)
frac 1 a F ( s over a
ight )



-


! إزاحة التردد


e^ at f(t)
F(s - a)



-


! إزاحة الزمن


f(t - a) u(t - a)
e^ -as F(s)
u(t)< > هي دالة قفزة أحادية




-


! ضرب


f(t)g(t)
frac 1 2pi i lim_ T oinfty int_ c-iT ^ c+iT F(sigma)G(s-sigma),dsigma
التكامل يتم على الخط الرأسي Re(دƒ) c< > الذي يقع في منطقة تقارب F< >. harvard citation no brackets Bracewell 2000 loc Table 14.1, p. 385




-


! التفاف (رياضيات)


(f * g)(t) int_0^t f( au)g(t- au),d au
F(s) cdot G(s)



-


! مرافق عدد مركب


f^*(t)
F^*(s^*)



-


! ارتباط (إحصاء)


f(t)star g(t)
F^*(-s^*)cdot G(s)



-


! دالة دورية


f(t)
1 over 1 - e^ -Ts int_0^T e^ -st f(t),dt
f< >(t< >) هي دالة دورية زمنها الدوري هو T< > أي أن f< >(t< >) f< >(t< > + T< >), لكل t'' ≥ 0.

بعض الدوال ومقابلها في تحويل بيير لابلاس لابلاس

أهمية وفوائد تحويل بيير لابلاس لابلاس

تسهيل حل المعادلات التفاضلية

فلنعتبر مثلا المعادلة التفاضلية التالية



2ddot x(t) +3dot x(t) +4x(t) f(t)

مع اعتبار الحالة أو قيمة x في الزمن 0 أي أخذ ما يسمى بال initial conditions بعين الاعتبار



dot x(0) a وx(0) b

إعطاء الحل مباشرة لهذه المعادلة (التي قد تكون مثلا معادلة جسم يقوم بحركة ما أي أنها نموذج عنه) قد يكون صعبا فما العمل? الحل هو تحويل المعادلة عن طريق تحويل لابلاس فتصير المعادلة كالاتي



2(s^ 2 X(s)-sx(0)-dot x(0) )+3(sX(s)-x(0))+4X(s) F(S)

و ذلك عملا بالقاعدة التي تقول



و بذلك كل ما تبقى فعله الآن هو حل معادلة غير تفاضلية بسيطة وهي معادلة بولينوم من الدرجة الثانية.

طرق رياضياتية مساعدة

كثيرا ما نحتاج إلى استخدام طريقة إكمال المربع عند حساب تحويلات لابلاس العسكية، وذلك لوضع الدالة المراد تحويلها في صورة مربعة تناسب أحد الصور الموجودة بالجدول السابق.



معلومات نظرية


الاسم


صورة


تعليق


النوع


تاريخ


الصيغة


جزء من


سميت بأسم


صاحبها





تحويل لابلاس عملية تجرى على دالة رياضية الدوال الرياضية لتحويلها من مجال إلى آخر، وعادة يكون التحويل من مجال زمن الزمن إلى مجال التردد، وهو شبيه ب تحويل فوريي إلا أنه تم تطويرهما بشكل مستقل. وتحويل لابلاس مفيد في تحليل نظام خطي النظم الخطية (بخلاف تحويل فوريي الذي يستخدم عادة في تحليل إشارة (كهرباء) الإشارات )، كما يستخدم لحل معادلات تفاضلية المعادلات التفاضلية لأنه يحولها إلى معادلات جبرية . وسمي التحويل بهذا الاسم نسبة إلى العالم فرنسا الفرنسي بيير لابلاس لابلاس الذي عاش في القرن التاسع عشر.